《概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案 習(xí)題 二》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題及答案 習(xí)題 二(24頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球,編號為1,2,3,4,5,在其中同時取3只,以X表示取出的3只球中的最大號碼,寫出隨機變量X的分布律.【解】故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽樣,以X表示取出的次品個數(shù),求:(1) X的分布律;(2) X的分布函數(shù)并作圖;(3).【解】故X的分布律為X012P(2) 當(dāng)x0時,F(xiàn)(x)=P(Xx)=0當(dāng)0x1時,F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)= 當(dāng)1x2時,F(xiàn)(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x2時,F(xiàn)(x)=P(Xx)=1故X的分布函數(shù)(3) 3.射手向目標(biāo)
2、獨立地進行了3次射擊,每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù),并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0,1,2,3.故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù)4.(1) 設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=,其中k=0,1,2,0為常數(shù),試確定常數(shù)a.(2) 設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=a/N, k=1,2,N,試確定常數(shù)a.【解】(1) 由分布律的性質(zhì)知故 (2) 由分布律的性質(zhì)知即 .5.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次,求:(1) 兩人投中次數(shù)相等的概率;(2) 甲比乙投中
3、次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù),則Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.設(shè)某機場每天有200架飛機在此降落,任一飛機在某一時刻降落的概率設(shè)為0.02,且設(shè)各飛機降落是相互獨立的.試問該機場需配備多少條跑道,才能保證某一時刻飛機需立即降落而沒有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機降落)?【解】設(shè)X為某一時刻需立即降落的飛機數(shù),則Xb(200,0.02),設(shè)機場需配備N條跑道,則有即 利用泊松近似查表得N9.故機場至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過,設(shè)每輛車在一天的某時段出事故的概率為0.0001,在
4、某天的該時段內(nèi)有1000輛汽車通過,問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù),則Xb(1000,0.0001) 8.已知在五重貝努里試驗中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗中成功的概率為p,則故 所以 .9.設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時,指示燈發(fā)出信號,(1) 進行了5次獨立試驗,試求指示燈發(fā)出信號的概率;(2) 進行了7次獨立試驗,試求指示燈發(fā)出信號的概率.【解】(1) 設(shè)X表示5次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù),則X6(5,0.3)(2) 令Y表示7次獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù),則Yb(7,0.
5、3)10.某公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為(1/2)t的泊松分布,而與時間間隔起點無關(guān)(時間以小時計).(1) 求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率;(2) 求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.【解】(1) (2) 11.設(shè)PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分別為隨機變量X,Y的概率分布,如果已知PX1=,試求PY1.【解】因為,故.而 故得 即 從而 12.某教科書出版了2000冊,因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001,試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù),則Xb(
6、2000,0.001).利用泊松近似計算,得 13.進行某種試驗,成功的概率為,失敗的概率為.以X表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù),試寫出X的分布律,并計算X取偶數(shù)的概率.【解】14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費,而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求:(1) 保險公司虧本的概率;(2) 保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.(1) 在1月1日,保險公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500
7、,0.002),則所求概率為由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有(2) P(保險公司獲利不少于10000) 即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P(保險公司獲利不少于20000) 即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae-|x|, -x+,求:(1)A值;(2)P0X1; (3) F(x).【解】(1) 由得故 .(2) (3) 當(dāng)x0時,當(dāng)x0時, 故 16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管,電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求:(1) 在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率;(2) 在這段時間內(nèi)有一只電子管
8、損壞的概率;(3) F(x).【解】(1) (2) (3) 當(dāng)x100時F(x)=0當(dāng)x100時 故 17.在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點,以X表示這質(zhì)點的坐標(biāo),設(shè)這質(zhì)點落在0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長度成正比例,試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X0,a,密度函數(shù)為故當(dāng)xa時,F(xiàn)(x)=1即分布函數(shù)18.設(shè)隨機變量X在2,5上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測,求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分鐘計)服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次,以Y表示一個月內(nèi)他未
9、等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),試寫出Y的分布律,并求PY1.【解】依題意知,即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車,有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠,所需時間X服從N(40,102);第二條路程較長,但阻塞少,所需時間X服從N(50,42).(1) 若動身時離火車開車只有1小時,問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些?(2) 又若離火車開車時間只有45分鐘,問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些?【解】(1) 若走第一條路,XN(40,102),則若走第二條路,XN(50,42),則+故走第二條路乘上火車的把握大些.(2) 若XN(40,102),則若XN(
10、50,42),則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)XN(3,22),(1) 求P2X5,P-4X10,PX2,PX3;(2) 確定c使PXc=PXc.【解】(1) (2) c=322.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度(cm)XN(10.05,0.062),規(guī)定長度在10.050.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(小時)服從正態(tài)分布N(160,2),若要求P120X2000.8,允許最大不超過多少?【解】 故 24.設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為F(x)=(1) 求常數(shù)A,B;(2) 求PX2,PX3;(3) 求分布密度f(x).【解】(1)由得(2) (3
11、) 25.設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=求X的分布函數(shù)F(x),并畫出f(x)及F(x).【解】當(dāng)x0時F(x)=0當(dāng)0x1時 當(dāng)1x0;(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b,并求其分布函數(shù)F(x).【解】(1) 由知故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x0時當(dāng)x0時 故其分布函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當(dāng)x0時F(x)=0當(dāng)0x1時 當(dāng)1x0時, 故 (2)當(dāng)y1時當(dāng)y1時 故 (3) 當(dāng)y0時當(dāng)y0時 故31.設(shè)隨機變量XU(0,1),試求:(1) Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù);(2) Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】(1) 故 當(dāng)時當(dāng)1ye時當(dāng)ye時即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為(2
12、) 由P(0X0時, 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為32.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y0時,當(dāng)0y1時, 當(dāng)y1時,故Y的密度函數(shù)為33.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)如下:試填上(1),(2),(3)項.【解】由知填1。由右連續(xù)性知,故為0。從而亦為0。即34.同時擲兩枚骰子,直到一枚骰子出現(xiàn)6點為止,求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點。(i=1,2),P(Ai)=.且A1與A2相互獨立。再設(shè)C=每次拋擲出現(xiàn)6點。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機數(shù)字序列要多長才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次
13、數(shù),設(shè)數(shù)字序列中要包含n個數(shù)字,則Xb(n,0.1)即 得 n22即隨機數(shù)字序列至少要有22個數(shù)字。36.已知F(x)=則F(x)是( )隨機變量的分布函數(shù).(A) 連續(xù)型; (B)離散型;(C) 非連續(xù)亦非離散型.【解】因為F(x)在(-,+)上單調(diào)不減右連續(xù),且,所以F(x)是一個分布函數(shù)。但是F(x)在x=0處不連續(xù),也不是階梯狀曲線,故F(x)是非連續(xù)亦非離散型隨機變量的分布函數(shù)。選(C)37.設(shè)在區(qū)間a,b上,隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx,而在a,b外,f(x)=0,則區(qū)間 a,b等于( )(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上s
14、inx0,且.故f(x)是密度函數(shù)。在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上,故f(x)不是密度函數(shù)。在上,當(dāng)時,sinx0)=1,故01-e-2X1,即P(0Y1)=1當(dāng)y0時,F(xiàn)Y(y)=0當(dāng)y1時,F(xiàn)Y(y)=1當(dāng)0y1時,即Y的密度函數(shù)為即YU(0,1)41.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=若k使得PXk=2/3,求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P(Xk)=知P(Xk)=若k0,P(Xk)=0若0k1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時P(Xk)=若1k3時P(Xk)=若3k6,則P(X6,則P(Xk)=1故只有當(dāng)1k3時滿足P(Xk)=.42.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=求X的概率
15、分布. (1991研考)【解】由離散型隨機變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系,可知X的概率分布為X-113P0.40.40.243.設(shè)三次獨立試驗中,事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27,求A在一次試驗中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨立試驗中A出現(xiàn)的次數(shù),若設(shè)P(A)=p,則Xb(3,p)由P(X1)=知P(X=0)=(1-p)3=故p=44.若隨機變量X在(1,6)上服從均勻分布,則方程y2+Xy+1=0有實根的概率是多少? 【解】45.若隨機變量XN(2,2),且P2X4=0.3,則PX0= . 【解】故 因此 46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺儀器,以概率0.7可以直接出廠
16、;以概率0.3需進一步調(diào)試,經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠,以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n2)臺儀器(假設(shè)各臺儀器的生產(chǎn)過程相互獨立).求(1) 全部能出廠的概率;(2) 其中恰好有兩臺不能出廠的概率;(3)其中至少有兩臺不能出廠的概率. 【解】設(shè)A=需進一步調(diào)試,B=儀器能出廠,則=能直接出廠,AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠由題意知B=AB,且令X為新生產(chǎn)的n臺儀器中能出廠的臺數(shù),則X6(n,0.94),故 47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60分至84分之間的概率.【解】
17、設(shè)X為考生的外語成績,則XN(72,2)故 查表知 ,即=12從而XN(72,122)故 48.在電源電壓不超過200V、200V240V和超過240V三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2(假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252).試求:(1) 該電子元件損壞的概率;(2) 該電子元件損壞時,電源電壓在200240V的概率【解】設(shè)A1=電壓不超過200V,A2=電壓在200240V,A3=電壓超過240V,B=元件損壞。由XN(220,252)知 由全概率公式有由貝葉斯公式有49.設(shè)隨機變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布,試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因為P(1X2)=1,故P(e2Ye4)=1當(dāng)ye2時FY(y)=P(Yy)=0. 當(dāng)e2y1時, 即 故 51.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為fX(x)=,求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的泊松分布.(1) 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布;(2) 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下,再無故障運行8小時的概率Q.(1993研考)【解】(1) 當(dāng)tt與N(t)=0等價,有即 即間隔時間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。(2) 24