2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 數(shù)列教案 舊人教版

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1、2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本數(shù)列教案舊人教版 一、基礎(chǔ)知識(shí) 定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1,2,3,…，①….數(shù)列分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列｛a｝的一般形式通常記作a,a,a,…，a或a,a,a,…，a…。其中 n123n123n a叫做數(shù)列的首項(xiàng)，a是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通項(xiàng)。 1n 定理1若S表示｛a｝的前n項(xiàng)和，則S=a,當(dāng)n〉1時(shí)，a=S-S. nn11nnn-1 定義2等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n,都有a-a=d(常數(shù))，貝^｛a｝稱為等差數(shù)列, n+1nn d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2b=a+c,則稱b為a和c的

2、等差中項(xiàng)，若公差為d,則a=b-d,c=b+d. 定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1)通項(xiàng)公式a=a+(n-1)d；2)前n項(xiàng)和公式： n1 n(a+a)n(n-1), S=1n=na+d；3)a-a=(n-m)d,其中n,m為正整數(shù)；4)若n+m=p+q, n212nm 則a+a=a+a；5)對(duì)任意正整數(shù)p,q,恒有a-a=(p-q)(a-a)；6)若A,B至少有一個(gè)nmpqpq21 不為零，則｛a｝是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn. n 定義3等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n,都有，貝^｛a｝稱為等比數(shù)列，q叫做公比。 n 定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1)a=aqn-1；2)前n

3、項(xiàng)和S，當(dāng)q1時(shí)，S=；當(dāng)q=1時(shí)，S=na；n1nnn1 3)如果a,b,c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a,c的等比中項(xiàng)；4)若m+n=p+q,則aa=aa。 mnpq 定義4極限，給定數(shù)列｛a｝和實(shí)數(shù)A,若對(duì)任意的＞0,存在M,對(duì)任意的n〉M(nwN)，都有n |a-A|〈，則稱A為n—+B時(shí)數(shù)列｛a｝的極限，記作 nn, 定義5無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列｛a｝的公比q滿足|q|〈1,則稱之為無(wú)窮遞增等比 n 數(shù)列，其前n項(xiàng)和S的極限(即其所有項(xiàng)的和)為(由極限的定義可得)。 n 定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：(1)p(no)成立；(2)當(dāng)

4、p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由(1),(2)可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n三氣成立。 競(jìng)賽常用定理 定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：(1)p(n°)成立；(2)當(dāng)p(n)對(duì)一切nWk的自然數(shù)n都成立時(shí)(k三氣)可推出p(k+1)成立，則由((1),(2)可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n三n°成立?！? 定理5對(duì)于齊次二階線性遞歸數(shù)列x=ax+bx，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為a, nn-1n-2 B:⑴若aB，則x=can-1+cpn-1,其中c,c由初始條件x,x的值確定；⑵若a邙, n121212 則x=(cn+c)an-1，其中

5、c,c的值由x,x的值確定。 n121212 二、方法與例題1．不完全歸納法。 這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊一猜想一數(shù)學(xué)歸納法證明。 例1試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)(不要求證明)；1)0,3,8,15,24,35,…；2)1, 5, 19,65,…；3)-1,0,3,8,15,…。 【解】1)a=n-1；2)a=3n-2n；3)a=n2-2n. n2nn 例2已知數(shù)列｛a｝滿足a=,a+a+???+a=n2a,n±1,求通項(xiàng)a. n112nnn 【解】因?yàn)閍1=,又a1+a2=22?

6、a?,所以a2=,a3二,猜想(n三1). 證明；1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=，猜想正確。2)假設(shè)當(dāng)nWk時(shí)猜想成立。當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a+a+???+a二[(k+1)2-1]ak,, 111k+1 所以 =k(k+2)ak+1, ++ 3x2kx(k+1) 111111+1 =k(k+2)ak+1, 即1-1+1-1+…+1-丄 223kk+1 所以=k(k+2)a，所以a= k+1k+1 由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以 例3設(shè)O〈a〈l,數(shù)列｛a｝滿足a=1+a,a=a+,求證：對(duì)任意nwN,有a>1. nnn-1+n 【證明】證明更強(qiáng)的結(jié)論：1〈

7、aW1+a. n 1) 當(dāng)n=1時(shí)，1a=——+a>+a二>=1. k+ia1+a1+a1+a k 由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。 2．迭代法。 數(shù)列的通項(xiàng)a或前n項(xiàng)和S中的n通常是對(duì)任意neN成立，因此可將其中的n換成n+1nn 或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。 例4數(shù)列｛a｝滿足a+pa+qa=0,n±3,qO,求證：存在常數(shù)c,使得?a+ nnn-1n-2n 【證明]?a+(pa+a)+=a?(—qa)+二

8、 n+1n+1n+2n+2n +a(pq+qa)]=q(). nn+1n 若=0，則對(duì)任意n,+=0,取c=0即可. 若0,貝9｛+｝是首項(xiàng)為，公式為q的等比數(shù)列。 所以+=?qn. 取?即可. 綜上，結(jié)論成立。 例5已知a=0,a=5a+,求證：a都是整數(shù)，neN. 1n+1nn+ 【證明】因?yàn)閍=0,a=1，所以由題設(shè)知當(dāng)n±1時(shí)a>a. 12n+1n 又由a=5a+移項(xiàng)、平方得 n+1n a2一10aa+a2一1=0.① n+1nn+1n 當(dāng)n±2時(shí)，把①式中的n換成n-1得a2-10aa+a2-1=0，即 nnn一1n一1 a2一10aa+a2一1=

9、0.② n+1nn+1n 因?yàn)閍

10、二￡(a+a)=~X 992n100一n2 n=1 例7求和：+…+ 解】 一般地， k(k+1)(k+2)= 1) k+2一k 2k(k+1)(k+2) 21k(k+1)(k+1)(k+2)丿 所以Sn= n 11111 =一+一+ 21_1x22x32x33x4 11 +一 n(n+1)(n+1)(n+2) 例8已知數(shù)列｛a｝滿足a=a=1,a=a+a,S為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證: n12n+2n+1nn S<2。 n 1 1 2 3 5 8 a 因?yàn)镾=+ — +- +- +- ++- …+—n, n2 2

11、2 23 24 25 26 2n 【證明】由遞推公式可知，數(shù)列｛a｝前幾項(xiàng)為1,1,2,3,5,8,13。 n 11 2 3 5 a 所以一S=—— +— -+ -+ — -+ +——。 2n22 23 24 25 2n+1 1 1 1 r1 1 、 a a 由①-②得三S =— +—— +? +?—+—n-2 —n- 2n 2 22 V2 22 2n-2丿 2n+1 所以。 又因?yàn)镾0, -2 所以S,所以， n 所以S<2，得證。 n 4．特

12、征方程法。 例9已知數(shù)列｛a｝滿足a=3,a=6,a=4-4a，求a. 12+2+1 【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2. 故設(shè)a=(a+Bn)?2n-i,其中，12 n 所以a=3,B=0, 所以a=3?2n-i. n 例10已知數(shù)列｛a｝滿足a=3,a=6,a=2a+3a，求通項(xiàng)a. n12n+2n+1nn 【解】由特征方程X2=2x+3得xg,x2=-1, 所以a=a?3n+B?(-1)n,其中， n 解得a=,B, 所以?3］。 5．構(gòu)造等差或等比數(shù)列。 例11正數(shù)列a,a,…，a,…滿足=2a(n±2)且a=a=1，求通項(xiàng)。 01nn-

13、101 iI 【解】由aa-xaa=2a得=1, 'nn-2-n-1n-2n-1 I(、 Iarclar 即In—+1二2I—n-1+1. \aVa n-1vn-2丿 令b=+1,貝y｛b｝是首項(xiàng)為+1=2，公比為2的等比數(shù)列， nn 所以b=+1=2n，所以=(2n-1)2, n 所以aa= n0 注:C?C?…?C. 12n 例12已知數(shù)列｛x｝滿足x=2,x=,neN,求通項(xiàng)。 n1n+1+ 【解】考慮函數(shù)f(x)=的不動(dòng)點(diǎn)，由=乂得x= 因?yàn)閤=2,x=，可知｛x｝的每項(xiàng)均為正數(shù)。 1n+1n 又+2三，所以x ] Xn+1-==, n

14、+1 X+==, n+1 由①三②得。 n+1 三（n±1）。又 ① ② ③ 又>0， 由③可知對(duì)任意neN,>0且lg + x-%2 —n+4— x+2 n+1 =2lg 所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列。 所以?，所以, 解得? (2+邁) (2+邁)2n-1—(2—、：2)2n—1 注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1. 數(shù)列｛x｝滿足x=2,X=S+(n+l)，其中S為｛x｝前n項(xiàng)和，當(dāng)n±2時(shí)，x=, n1n+1nnnn 2. 數(shù)列｛x｝滿足x=,x二，則｛x｝的通項(xiàng)x=. n1n+1nn 3. 數(shù)

15、列｛x｝滿足x=1,x=+2n-1(n22)，則｛x｝的通項(xiàng)x=. n1nnn 4. 等差數(shù)列｛a｝滿足3a=5a，且a>0,S為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)S最大時(shí)，n=. n8131nn 5. 等比數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)之和記為S,若S=10，S=70，則S=. nn103040 6. 數(shù)列｛x｝滿足x=x-x(n三2),x=a,x=b,S=x+x+???+x，則S=. nn+1nn-112n12n100 7. 數(shù)列｛a｝中，S=a+a+???+a二n2—4n+1貝則|a|+|a|+???+]a|=. nn12n1210 x xTinn-T'并且尸尸…+于8,則x1= xxx 8.

16、 9. 10. 若一i—二2=3— x+1x+3x+5 123n 等差數(shù)列｛a｝，｛b｝的前n項(xiàng)和分別為S和T,若，則=, nnnn 若n!=n(n—1)???2?1,則=. 11. 若｛a｝是無(wú)窮等比數(shù)列，a為正整數(shù)，且滿足a+a=4&loga?loga+loga?loga+ nn5622232225 loga?loga+loga?loga=36,求的通項(xiàng)。 22262526 12. 已知數(shù)列｛a｝是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列｛｝是公比為q的等比數(shù)列，且b=1,b=5, n12b=17,求：(1)q的值；(2)數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S。 四、高考水平訓(xùn)練題 c

17、 1 x+— 2 1.已知函數(shù)f(x)二<2x—1 x一1 3nn (1) I2丿 (1A -1) 則axx=. xx2?已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a二a+2a+3a+???+(n-1)a(n22),則｛a｝的通項(xiàng)a=. n1n123n—1nn 3. 若a=n2+,且｛a｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是. nn 4. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)a=,前n項(xiàng)和為S,且2吧—(2】。+1)S+S=0,則 n1n302010 a=. n 5. 已知，則a的取值范圍是.

18、 6. 數(shù)列｛a｝滿足a=3a+n(nwN+)，存在個(gè)a值，使｛a｝成等差數(shù)列；存在 nn+1n1n 個(gè)a值，使｛a｝成等比數(shù)列。1n 7. 已知(nGN+),貝在數(shù)列｛an｝的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是. 8. 有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù) 的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為. 9. 設(shè)｛a｝是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n,a與2的等差中項(xiàng)等于S與2的等比 nnn 中項(xiàng)，則a=. n 10. 在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù). 11. 已知數(shù)列｛a｝中

19、，a0,求證：數(shù)列｛a｝成等差數(shù)列的充要條件是 nnn 11111 ++++-(n三2)①恒成立。 aaaaaaaaaa 122334nn+11n+1 12. 已知數(shù)列｛a｝和｛b｝中有a=ab,b=(n三2),當(dāng)a=p,b=q(p>0,q>0)且p+q=1時(shí)， nnnn—1nn11 (1) 求證：a>0,b>0且a+b=1(neN)；(2)求證：a+1=；(3)求數(shù)列 nnnnn 13. 是否存在常數(shù)a,b,c,使題設(shè)等式 1?22+2?32+???+n?(n+l)2=(an2+bn+c)對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1．設(shè)等差數(shù)列的首

20、項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有個(gè)。 2. 設(shè)數(shù)列｛x｝滿足x=1,x=，則通項(xiàng)x=. n1nn 3. 設(shè)數(shù)列｛a｝滿足a=3,a>0，且，則通項(xiàng)a=. n1nn 4. 已知數(shù)列a,a,a,…，a,…滿足關(guān)系式(3-a)?(6+a)=18,且a=3,則二. 012+10 5. 等比數(shù)列a+log3,a+log3,a+log3的公比為=. 248 6. 各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣 的數(shù)列至多有項(xiàng). 7. 數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=6,且=2,則 12 a+、:'a\a lim―12

21、n=. nT8n2 &數(shù)列｛a｝稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a=0,｛a-qa｝構(gòu)成公比為q的等比 0+1 數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大 于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有項(xiàng). a為偶數(shù) n。問(wèn)：對(duì)于怎樣的h a為奇數(shù) n a 9.設(shè)heN，數(shù)列｛a｝定義為：a=1,a=<2 +n0n+1 a+h n 存在大于0的整數(shù)n,使得a=1? n 10?設(shè)｛a｝為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k±l,滿足a三a+a，(1)求證：對(duì)任意正整kk21k2k2k+1 數(shù)n,數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；(2)求出一個(gè)滿足以上條件，且其存在無(wú)限

22、個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。 11.求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列％,篤,…,使得a1=1,a2>1,an+1(an+1-1)=六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1. 設(shè)a為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1,3或4,求 n 證：a是完全平方數(shù)，這里n=1,2,…. 2n 2. 設(shè)a,a,…，a表示整數(shù)1,2,…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質(zhì) 12n 的排列數(shù)目：①a=1;②la.-a.|W2,i=1,2,…,nT。 1ii+1 試問(wèn)f(xx)能否被3整除？ 3.設(shè)數(shù)列｛a｝和｛b｝滿足a=1,b=0，且 nn00 Ia=7a+6b-3, /n+1n

23、n b=8a+7b-4,n=0,1,2,…. n+1nn 求證：a(n=0,1,2,…)是完全平方數(shù)。 n 4. 無(wú)窮正實(shí)數(shù)數(shù)列｛x｝具有以下性質(zhì)：x=1,x.〈x.(i=0,1,2,…)， n0i+1i (1) 求證：對(duì)具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個(gè)n±1,使三3.999均成立； (2) 尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式〈4對(duì)任一n均成立。 5. 設(shè)x,x,…,x是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿足xk=|xk-xk|(k=3,4,…,n)①.試 12nkk-1k-2 問(wèn)這樣的序列最多有多少項(xiàng)？ 6. 設(shè)a=a=，且當(dāng)n=3,4,5,…時(shí)，a=, 12n (i)求數(shù)

24、列｛an｝的通項(xiàng)公式；(ii)求證：是整數(shù)的平方。 7. 整數(shù)列u,U,u,u,…滿足u=1，且對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,uu=ku，這里k是某個(gè)固定的 01230n+1n-1u 正整數(shù)。如果u=xx，求k的所有可能的值。 xx 8. 求證：存在無(wú)窮有界數(shù)列｛x｝，使得對(duì)任何不同的m,k,有|x-xj三 nmk 9. 已知n個(gè)正整數(shù)a,a,…,a和實(shí)數(shù)q,其中0〈q〈1,求證：n個(gè)實(shí)數(shù)b,b,…,b和滿 01n01n 足：(1)a〈b(k=l,2,…，n)； kk 2)q〈〈(k=1,2,…,n)； (3) b+b+???+b〈(a+a+???+a). 12n01n 2019

25、-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本極限與導(dǎo)數(shù)教案舊人教版 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1. 極限定義：(1)若數(shù)列｛u｝滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)￡，總存在正數(shù)m,當(dāng)n>m且n^N n 時(shí)，恒有|u-A|〈￡成立(A為常數(shù))，則稱A為數(shù)列u當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為,nn 另外=A表示x大于xo且趨向于xo時(shí)f(x)極限為A,稱右極限。類似地表示x小于xo且趨向于X時(shí)f(x)的左極限。 0 2. 極限的四則運(yùn)算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b,[f(x)?g(x)]=ab, 3?連續(xù):如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，

26、則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。 4. 最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5. 導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量4x時(shí)(4x充分小)，因變量y也隨之取得增量4y(Ay=f(x0+Ax)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x°處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)，記作(x0)或或:即 )二lim f(X)—f(%) 由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若 xf f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)

27、數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。 6. 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)=0(c為常數(shù))；(2)(a為任意常數(shù))；(3)(4);(5);(6);(7)；(8) 7. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)工0,則 (1)[u(x)土v(x)]'=u'(x)土v'(x)；(2)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)；(3)(c為 常數(shù))；(4)；(5)[學(xué)^]'= u(x) u(x)v'(x)—u'(x)v(x) u2(x) 8. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u)

28、,u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且(f[(x)]=. 9?導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：(1)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；(2)若對(duì)一切xw(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；(3)若對(duì)一切x￡(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。 10. 極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在乂處可導(dǎo)，且在x處取得極值，則 00 11. 極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x°-B,x0+6)內(nèi)可導(dǎo)，(1)若當(dāng)x￡(x-6,x)時(shí)，當(dāng)xW(x,x+B)時(shí)，則f(x)在x處取得

29、極小值；(2)若當(dāng)xG(x-6， 00000 x0)時(shí)，當(dāng)xG(x0,x0+6)時(shí)，則f(x)在x0處取得極大值。 12. 極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在X。的某領(lǐng)域(x0-6,x0+6)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。(1)若，則f(x)在x0處取得極小值；(°2)若，則f(x)在x0處取得極大值。 13. 羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b),貝V存在§丘(a,b)，使 ［證明］若當(dāng)xW(a,b),f(x)三f(a),則對(duì)任意x￡(a,b),.若當(dāng)x￡(a,b)時(shí),f(x)Mf(a),因?yàn)閒(x)在［a,b］上連續(xù)，所以

30、f(x)在［a,b］上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a),不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則cW(a,b),且f(c)為最大值，故，綜上得證。 14. Lagrange中值定理：若f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在gW(a,b),使［證明］令F(x)=f(x)-,則F(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b),所以由13知存在gW(a,b)使=0,即 15. 曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)如果對(duì)任意xWI,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；(2)如果對(duì)任意xWI,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。

31、通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。 16. 琴生不等式：設(shè)a,a，…,awr+,a+a+???+a=1。(1)若f(x)是［a,b］上的凸函 12n12n 數(shù)，則x,x,xW［a,b］有f(ax+ax+???+ax)Waf(x)+af(x)+???+af(x). 12n1122nn1122nn 二、方法與例題 1.極限的求法。 例1 求下列極限：(1)；(2)；(3)lim ns 11]■+…+-?J Vn2+2yn2+n丿 ；(4) =1. 1 1)=； 2) an 當(dāng)a>1時(shí)，lim nT81+an =lim1 ng(1\

32、 =1. 當(dāng)0〈a〈1時(shí)，lim nT81+an liman ——n阿 1+liman ns 1+0 當(dāng)a=1時(shí)， lim an 1+an =lim 1 f+1 lim-+1 nT^Va丿 =0. n (3)因?yàn)?= n2+n +…+ \-n2+2 vn2+1 而lim= =lim nTg\：n2+n 二1,lim1—— 1+1nTg\：n2+1 i1n =lim 二1, …：1+丄 所以lim +…+ mg 4)lim*n(、n+1一*n)=lim nTgnTg y.n

33、 例2求下列極限：(1)(1+x)(1+x2)(1+)???(1+)(|x|〈1)； (2)；(3)。 [解](l)(l+x)(l+x2)(l+)…(1+) (1—x)(1+x)(1+x2)(1+x2n)1一x2n+11 lim=lim= ns1一xnT81一x1一x 2)lim =lim xt1\ ((1—x)(2+x)) =lim xI =lim xtII =lim2+x=1.xT11+x+x2 (x2—1)(*3—x+1+x) x2一1 (3)lim=lim xtiJ3—x一+'1+xxti(<3—x一■y'1+x)(a/3—x+a/

34、1+x) 2(1-x) xtI (x一1)(x+1)(—3—x+\：1+x)一(x+1)(蘋(píng)?3—x+1+x)lim=lim xtI 2．連續(xù)性的討論。 例3設(shè)f(x)在(-00，+00)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x),又當(dāng)xG[0,1)時(shí)，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。 [解]當(dāng)x￡[0,1)時(shí)，有f(x)=x(1-x)2,在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t則x=t-1,當(dāng)x [1,2)時(shí)，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠TW[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-1

35、)2,從而tw[1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)?(2-1)2；同理，當(dāng)x￡[1,2)時(shí)，令x+1=t，則當(dāng)tw[2,3)時(shí)，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-1)2.從而 〔2(x—1)(2—x)2,xe1,2) f(x)=<「、所以 4(x—2)(3—x)2,xe「2,3丿 limf(x)=lim2(x—1)(2—x)2=0,limf(x)=lim4(x—2)(3—x)2=0，所以 x-2—x-^2—x-2+x-2+ f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。 [解]因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)

36、坐標(biāo)為(x0,y0)，貝9，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)(2,0)，所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0. 4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=sin(3x+1)；(2)；(3)y=ecos2x；(4)；(5)y=(1-2x)x(x>0且)。 [解](1)y'=cos(3x+1)-(3x+1)'=3cos(3x+1). (2)y'= (5x2+3x—、?'x)'?x—(5x2+3xx)-(x)' x2 1) 10x+3———x—5x2+3x+寸x2jx丿 x2 (3)y'二ecos2x-(c

37、os2x)'=ecos2x-(-sin2x)-(2x)'=-2ecos2x?sin2x. 4) I ?(x+px2-1)'= x+i：x2—1 (5)y'=[(1—2x)x]'=[exin(1-2x)]'二exin(1-2x)(xln(1—2x))' 二(I-2x)xln(1-2x)-y 5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。 例6設(shè)a〉0,求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(xW(0,+b))的單調(diào)區(qū)間。 [解] 1 x+a (x>0) 因?yàn)閤〉0,a〉0,所以x2+(2a-4)x+a2〉0； x2+(2a-4)x+a+<0. (1) 當(dāng)a〉l時(shí)，對(duì)所有x>

38、0,有x2+(2a-4)x+a2〉0，即(x)〉0,f(x)在(0,+^)上單調(diào)遞增; (2) 當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)xMl,有x2+(2a-4)x+a2〉0，即，所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+s)內(nèi)遞增；(3)當(dāng)0〈a〈1時(shí), 令，即x2+(2a-4)x+a2〉0，解得x〈2-a-或x〉2-a+，因此,f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+00)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-aYx〈2-a+時(shí)，x2+(2a-4)x+^<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。 6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。 例7設(shè)

39、，求證：sinx+tanx〉2x. [證明]設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時(shí)， 1 cosx+一 cos2x I1 >2.'cosx?- cos2x 因?yàn)?〈cosx〈1) 所以 cosx 二cosx+sec2x-2二cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x丘時(shí)，f(x)>f(0)=0,即sinx+tanx〉2x. 7. 利用導(dǎo)數(shù)討論極值。 例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在xi=1和x「2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)在xi與x2處是取得極大值還是極小值。 [解]因?yàn)閒(x

40、)在(0,+o)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在xi=1,x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1, 所以 a+2b+1=0, 0, 解得 2 3 1 6 2 121(x—1)(2—x) 所以f(x)=~~lnx—x2+X,f(x)=———x+1= 3 63x33x 所以當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，，所以f(x)在(0,1]上遞減； 當(dāng)xe(1,2)時(shí)，，所以f(x)在[1,2]上遞增； 當(dāng)xW(2,+8)時(shí)，，所以f(x)在[2,+8)上遞減。 綜上可知f(x)在xi=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。 例9設(shè)x￡[0,n],yW[0,1],試求函數(shù)f(x,y)=

41、(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 [解]首先，當(dāng)x￡[0,n],yW[0,1]時(shí)， f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x sin(1—y)x (1—y)x sinx + x y2 (1—y)2 sinx sin(1—y)x+ (1—y)x 令g(x)=, 2y—1 (1—y)2 sinx =(1-y)2x ,/、cosx(x—tanxV兀、 x2 g'(x)=(x豐-) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx〉0,tanx〉x，所以; 當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx〈0,tanx〈0,x-tanx〉0，所以

42、；又因?yàn)間(x)在(0,n)上連續(xù)，所以g(x)在(0,n)上單調(diào)遞減。又因?yàn)?〈(1-y)x〈x〈n，所以g[(1-y)x]〉g(x),即，又因?yàn)椋援?dāng)xW(0,n),yW(0,1)時(shí)，f(x,y)>0. 其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=n時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)n20.當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)二-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx20. 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=n且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．=. 2．已知，則a-b= 3． lim ns 1+cos 2(n+1) 3 3x

43、2—4x+1 +lim nT8 3 3x—2x2+2 4． 2+(—1)nI} 5.計(jì)算lim+lim&x2+1—px2—1)=. nsnxT+8 6. 若f(x)是定義在(-8,+8)上的偶函數(shù)，且存在，貝y. f(2+h)—f(2—h) 7. 函數(shù)f(x)在(-8,+8)上可導(dǎo)，且，則lim—=. h—02h 8. 若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為. 9. 函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是. 10. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為. 11?若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a. 12.求sin29。的近似值。 13

44、.設(shè)0〈b〈a〈，求證： 四、高考水平練習(xí)題 1．計(jì)算=. 2．計(jì)算. 3．函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是.。 4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是. 5．函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實(shí)常數(shù)，若，則 十f(x+aAx)-f(x-bAx) limoo=. AxtOAx 6．函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域?yàn)? 7.過(guò)拋物線X2=2py上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為. 8. 當(dāng)x>0時(shí)，比較大?。簂n(x+l)x. 9?函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+l,x丘[-1,2]的最大值為，最小值為. 10. 曲線y=e-x(x±O)在點(diǎn)M(t,

45、e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t), 則S(t)的最大值為. 11. 若x>0,求證：(x2-1)lnx三(x-1)2. 12. 函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+b)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且〉0,X0W(0,+s).y二kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m,(1)用x0，f(x0),表示m；(2)證明：當(dāng)xW(0,+8)時(shí)，g(x)2f(x)；(3)若關(guān)于x的不等式x2+1±ax+b三在(0,+^)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。 13. 設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列｛x｝滿足lnx+,證

46、明：xW1(nWN)? nnn+ 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1. 設(shè)M=｛(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0?只取0或1(i=1,2,…,n-1),a=1｝，T是M中元素的 nnnn 個(gè)數(shù)，S是M中所有元素的和，則. nn 2. 若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則. 3. 設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)， f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為. 4. 曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是. 5. 已知a^R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為. 6. 已知在(a,3-a2)上有最大值

47、，則a的取值范圍是. 7. 當(dāng)x￡(1,2]時(shí)，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為. 8. 已知f(x)=ln(ex+a)(a〉0)，若對(duì)任意x￡[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-i(x)|+ln[]〈0 恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是. 9. 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)設(shè)0〈a〈b,證明：0〈g(a)+g(b)-〈(b-a)ln2. 10. (1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0

48、+=1，求證：plogp+plogp+???+log三-n. 1231212222 11. 若函數(shù)gA(x)的定義域A=[a,b)，且gA(x)=，其中a,b為任意的正實(shí)數(shù)，且a I1I2 kk+1 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1. 證明下列不等式：(1)x—0)； 22(1+x) (2)。 2. 當(dāng)0〈aWbWcWd時(shí)，求f(a,b,c,d)二的最小值。 3. 已知x,y丘(0,1)求證:xy+yx〉1.