材料力學(xué) 第五章 彎曲內(nèi)力 北航課程課件

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1、Page1 Page2上圖：水閘立柱上圖：水閘立柱下圖：跳板下圖：跳板彎曲實(shí)例彎曲實(shí)例Page3哪些構(gòu)件承受哪些構(gòu)件承受彎曲載荷？彎曲載荷？Page4彎曲的定義、力學(xué)彎曲的定義、力學(xué)特征與計(jì)算簡(jiǎn)圖特征與計(jì)算簡(jiǎn)圖上圖：彎曲構(gòu)件上圖：彎曲構(gòu)件下圖：計(jì)算簡(jiǎn)圖下圖：計(jì)算簡(jiǎn)圖外力特征：外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于桿軸外力或外力偶的矢量垂直于桿軸變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€變形特征：桿軸由直線變?yōu)榍€彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲彎曲與梁：以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲 以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。計(jì)算簡(jiǎn)圖通常以軸線代表梁計(jì)算簡(jiǎn)圖通常以軸線代

2、表梁Page5主要約束形式與反力主要約束形式與反力 固定鉸支座：固定鉸支座：支反力支反力 FRx 與與 FRy 可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座：垂直于支承平面的支反力垂直于支承平面的支反力 FR 固定端：固定端：支反力支反力 FRx,FRy 與矩為與矩為 M 的支反力偶的支反力偶Page6FFFF 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁：一端固定鉸支、另一端固定鉸支、另一端可動(dòng)鉸支的梁一端可動(dòng)鉸支的梁 外伸梁外伸梁：具有一個(gè)或兩個(gè)具有一個(gè)或兩個(gè)外伸部分的簡(jiǎn)支梁外伸部分的簡(jiǎn)支梁 懸臂梁：懸臂梁：一端固定、另一一端固定、另一端自由的梁端自由的梁約束反力數(shù)超過(guò)有效平衡方程數(shù)的梁（約束反力數(shù)超過(guò)有效平衡方程數(shù)的梁（Ch7 研究）研究）常

3、見(jiàn)靜定梁常見(jiàn)靜定梁靜不定梁靜不定梁Page7FS剪力剪力M彎矩彎矩梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力分析方法：分析方法：截面法截面法剪力剪力作用線沿所切作用線沿所切橫截面的內(nèi)力分量橫截面的內(nèi)力分量彎矩彎矩矢量沿所切橫截面的矢量沿所切橫截面的內(nèi)力偶矩分量?jī)?nèi)力偶矩分量S 1AyFFF()1AyMF bF ba由梁左段平衡求得由梁左段平衡求得在在m-m截面：截面：注意：設(shè)正法。注意：設(shè)正法。Page8剪力：剪力：使微段有沿順時(shí)使微段有沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正彎矩：彎矩：使微段彎曲呈使微段彎曲呈下凹形為正下凹形為正彎矩符號(hào)另一定義：彎矩符號(hào)另一定義：使使橫截面頂部受壓為正橫截面頂部受壓為正剪力與彎矩的

4、符號(hào)規(guī)定剪力與彎矩的符號(hào)規(guī)定Page9 假想地將梁切開(kāi)，并任選一段為研究對(duì)象假想地將梁切開(kāi)，并任選一段為研究對(duì)象 畫所選梁段的受力圖畫所選梁段的受力圖，F(xiàn)S 與與 M 宜均設(shè)為正宜均設(shè)為正 由由 S S Fy=0 計(jì)算計(jì)算 FS 由由 S S MC=0 計(jì)算計(jì)算 M，C 為截面形心為截面形心小結(jié)：任一指定截面剪力與彎矩的計(jì)算小結(jié)：任一指定截面剪力與彎矩的計(jì)算思考：均布載荷、集中載荷、集中力偶兩思考：均布載荷、集中載荷、集中力偶兩側(cè)剪力是否相等？彎矩是否相等？側(cè)剪力是否相等？彎矩是否相等？Page10bFMxl 11aFMxl 22S1bFFl,S2aFFl ,AC段段(0 x1a)：CB段段(

5、0 x2b)：Page11lABqFAyFByqFAyxFSM例例5-1：試建立圖示簡(jiǎn)支梁試建立圖示簡(jiǎn)支梁的剪力、彎矩方程，畫剪力、的剪力、彎矩方程，畫剪力、彎矩圖。彎矩圖。解：解：1、求支反力，由梁的平衡：求支反力，由梁的平衡：FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)軸Ox軸軸3、在截面在截面x處截取左段為研處截取左段為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件：究對(duì)象，根據(jù)平衡條件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2)=qx(l-x)/2 0 xlPage12FS=q(l-2x)/2 M=qx(l-x)/2 0 xllABqFAyFByxoFS:xFSql/2ql/2

6、+_M:xMql2/8+4、根據(jù)剪力、彎矩方程畫根據(jù)剪力、彎矩方程畫剪力、彎矩圖剪力、彎矩圖注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)：載荷、剪力、彎矩圖對(duì)齊載荷、剪力、彎矩圖對(duì)齊標(biāo)注段值、極值、正負(fù)號(hào)標(biāo)注段值、極值、正負(fù)號(hào)按工程圖要求，請(qǐng)用工具按工程圖要求，請(qǐng)用工具 作圖作圖Page13Aq4RFqaBCa3aAyFByF()a1x2x43qa53qaqa()csF212qa289qa()dMRFqa4 AByMFqa30,4 AM0 ByFqa83 解：解：1、計(jì)算支座反力、計(jì)算支座反力，作用于，作用于AC梁中點(diǎn)。梁中點(diǎn)。例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖43qa1SF1x1

7、M2SF2x2M22RFqx()b11RFqxsFqaqx1143 Mqaxqx21114132 xa103 AB段內(nèi)力段內(nèi)力sFqx22 Mqx22212 xa20 BC段內(nèi)力段內(nèi)力Page14例：例：建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖建立剪力彎矩方程，并畫剪力彎矩圖qqa2aaABCx可以不求支反力可以不求支反力建立坐標(biāo)建立坐標(biāo)建立剪力彎矩方程：建立剪力彎矩方程：FS=-qx (0 x a)M=-qx2/2 (0 x a)FS=-qa (a x 2a)M=qa2-qa(x-a/2)(a x 0，F(xiàn)s上斜；上斜；q0，M上斜；上斜；Fs 0，M凹；凹；q0,上斜；上斜；Fs0處處,M圖凹圖凹;

8、q0,上斜上斜;q0,下斜下斜 集中力集中力F處處,Fs按按F大小大小,方向跳方向跳 各段起終點(diǎn)各段起終點(diǎn)Fs值值=q圖左邊面積圖左邊面積+集中力值集中力值(含支反力含支反力)校核校核:兩圖右邊回零點(diǎn)兩圖右邊回零點(diǎn).線形看微分，段值看積分。線形看微分，段值看積分。Page22例：例：利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：、求支反力：FAy=5qa/8 FDy=7qa/85qa/87qa/83、積分關(guān)系求、積分關(guān)系求特征點(diǎn)特征點(diǎn)剪力彎矩值：剪力彎矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85

9、qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲線斜上斜上M圖斜下水平水平Fs圖q=常數(shù)0(a 0(a 0)q(x)=c 0q(x)=c 0q(x)=0q線形與外載關(guān)系線形與外載關(guān)系Page24AB2/3qa21/3qa2CD1/3qa2+-ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qaAB+2/3qa1/3qaCD-例：例：利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖利用微積分關(guān)系畫剪力彎矩圖Page25ABa/2-+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C-例：例：qaqa22qaaACBqaPage262S2d Fdq0dxdx例：例：利用微積分關(guān)系畫三利用微積分關(guān)系畫三角形分布載荷剪力彎矩圖角形分布載

10、荷剪力彎矩圖 lx06q lAB0q q x03q lSFxCxCq l06q l03 l06q lAB0q03q l-q剪力圖凸曲線剪力圖凸曲線20maxCSA cql2MMF x39 31.載荷的坐標(biāo)圖載荷的坐標(biāo)圖2.分析剪力圖凹凸性分析剪力圖凹凸性3.求剪力圖零點(diǎn)求剪力圖零點(diǎn)200ccq lq xl0,x62l34.求彎矩圖極值求彎矩圖極值Mx 209 3q l/3lPage270q0q aaaCBA()a0q0q a0q a0q aq()bx0q a012q a0q asF()cx012q aM()dx2023q a23qaaaaqa()a2q3qa4qaaqa()bsF4qaqa23

11、qa()cM24qa2144qa24qa例：例：Page28sF12qa12qa32qa(1)axM218qa232qa(2)ax例：例：思考：思考：1.如何計(jì)算支座反力？如何計(jì)算支座反力？2.計(jì)算支座反力后，利用計(jì)算支座反力后，利用微積分關(guān)系畫圖時(shí)，是微積分關(guān)系畫圖時(shí)，是否還要考慮中間支座？否還要考慮中間支座？3.載荷作用在梁間鉸上、載荷作用在梁間鉸上、鉸鏈左側(cè)梁端，鉸鏈右鉸鏈左側(cè)梁端，鉸鏈右側(cè)梁端，剪力、彎矩圖側(cè)梁端，剪力、彎矩圖有無(wú)區(qū)別？有無(wú)區(qū)別？Page29sF12qa(1)bx12qaM212qa(2)bx218qa2qasF12qa32qa(1)cxM232qa(2)cx2qa例：

12、例：Page30例：例：載荷載荷F F 可以在整個(gè)梁段上移動(dòng)，當(dāng)支座位于何位置時(shí)可以在整個(gè)梁段上移動(dòng)，當(dāng)支座位于何位置時(shí)（a=?a=?），梁上的最大彎矩值（絕對(duì)值）最小。），梁上的最大彎矩值（絕對(duì)值）最小。（雙杠問(wèn)題）（雙杠問(wèn)題）Faal 解：解：當(dāng)載荷位于梁端點(diǎn)時(shí)當(dāng)載荷位于梁端點(diǎn)時(shí)分析：載荷在梁端點(diǎn)時(shí)，相鄰支座有最大分析：載荷在梁端點(diǎn)時(shí)，相鄰支座有最大負(fù)彎矩（絕對(duì)值）負(fù)彎矩（絕對(duì)值）；在中點(diǎn)時(shí)，此點(diǎn)有最；在中點(diǎn)時(shí)，此點(diǎn)有最大正彎矩。支座內(nèi)移，負(fù)彎矩增，正彎矩大正彎矩。支座內(nèi)移，負(fù)彎矩增，正彎矩降；外移反之。降；外移反之。故正負(fù)彎矩絕對(duì)值相等時(shí)，故正負(fù)彎矩絕對(duì)值相等時(shí)，梁上最大彎矩（絕對(duì)值）最

13、小。梁上最大彎矩（絕對(duì)值）最小。minMFa 當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，max1MF(l2a)4令：令：minmaxMM,la6 Page31vFlx()a()b F()cx6l2l端點(diǎn)加載中點(diǎn)加載梁內(nèi)彎矩與梁的梁內(nèi)彎矩與梁的 許用載荷隨支座位許用載荷隨支座位置變化情況置變化情況Page322qaqaDqaa剪力圖a22qa2qa232qa2qa彎矩圖ABC2qaqaq2qaa2a2qaqa例：例：已知建立、彎矩圖，已知建立、彎矩圖，試畫載荷圖。試畫載荷圖。1.根據(jù)剪力圖定集中與分布力根據(jù)剪力圖定集中與分布力2.根據(jù)彎矩圖的跳躍值定集中根據(jù)彎矩圖的跳躍值定集中與分布力偶。與分布力

14、偶。解：解：思考：是否能唯一確定載思考：是否能唯一確定載荷圖的約束形式？荷圖的約束形式？Page33剛架：剛架：用剛性接頭連接用剛性接頭連接的桿系結(jié)構(gòu)的桿系結(jié)構(gòu)一、剛架一、剛架剛性接頭的力學(xué)性質(zhì)：剛性接頭的力學(xué)性質(zhì)：約束限制相連桿端截約束限制相連桿端截面間的相對(duì)線位移與角位移面間的相對(duì)線位移與角位移 受力既可傳力，也可受力既可傳力，也可傳遞力偶矩傳遞力偶矩Page34二、剛架的內(nèi)力及其符號(hào)二、剛架的內(nèi)力及其符號(hào)剛架的內(nèi)力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩，剛架的內(nèi)力包括軸力、扭矩、剪力和彎矩，其中軸力、扭矩其中軸力、扭矩和剪力符號(hào)與前相同。和剪力符號(hào)與前相同。彎矩圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。彎矩圖不標(biāo)

15、正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。MM認(rèn)為正彎矩認(rèn)為正彎矩觀察者觀察者B觀察者觀察者A認(rèn)為負(fù)彎矩認(rèn)為負(fù)彎矩M兩觀察者均會(huì)將圖畫在右側(cè)（受壓側(cè)）兩觀察者均會(huì)將圖畫在右側(cè)（受壓側(cè)）注釋：注釋：彎矩符號(hào)規(guī)定下凹為正，上彎矩符號(hào)規(guī)定下凹為正，上凸為負(fù)，與坐標(biāo)方向相關(guān)。凸為負(fù)，與坐標(biāo)方向相關(guān)。無(wú)論是正彎矩，還是負(fù)彎矩?zé)o論是正彎矩，還是負(fù)彎矩按規(guī)定都畫在受壓一側(cè)，與按規(guī)定都畫在受壓一側(cè)，與坐標(biāo)方向無(wú)關(guān)。坐標(biāo)方向無(wú)關(guān)。實(shí)際作圖，可任選正向，不標(biāo)正負(fù)號(hào)，實(shí)際作圖，可任選正向，不標(biāo)正負(fù)號(hào)，即可取得一致：畫在受壓一側(cè)。即可取得一致：畫在受壓一側(cè)。有的教材規(guī)定豎桿一側(cè)看作橫桿頂或底有的教材規(guī)定豎桿一側(cè)看作橫桿頂或底面的延伸部分

16、，可能導(dǎo)致矛盾。面的延伸部分，可能導(dǎo)致矛盾。Page35sF0q lxM2012q lx2012q l()b()cM018q lsF012q l012q lDB012q l012q l0qABC0q l012q l012q l0q l()a0q/2l/2lDABC20q l0q ll剛架拆為分段的梁剛架拆為分段的梁根據(jù)微積分關(guān)系畫圖根據(jù)微積分關(guān)系畫圖Page36012q l012q l0q lsF 圖()d()e2018q lM 圖2012q l()a0q/2l/2lDABC20q l將分段梁的剪力與彎矩圖合成為剛架總的剪力彎矩圖，將分段梁的剪力與彎矩圖合成為剛架總的剪力彎矩圖，彎矩圖不標(biāo)正負(fù)

17、號(hào)。彎矩圖不標(biāo)正負(fù)號(hào)。軸力、扭矩、剪力圖符號(hào)是否相同？是否會(huì)畫在同一側(cè)？軸力、扭矩、剪力圖符號(hào)是否相同？是否會(huì)畫在同一側(cè)？彎矩圖符號(hào)是否相同？是否會(huì)畫在同一側(cè)？彎矩圖符號(hào)是否相同？是否會(huì)畫在同一側(cè)？思考：思考：按上述方法畫剛架內(nèi)力圖，按上述方法畫剛架內(nèi)力圖，Page37ABqCaa1、求支反力求支反力 FAx=qa FAy=qa/2 Fcy=qa/2FAyFAxFCy2、建立局部坐標(biāo)建立局部坐標(biāo)x2x13、分段列內(nèi)力方程分段列內(nèi)力方程：CB段：段：Fs=-Fcy=-qa/2 M=qax1/2 FN=0AB段：段：Fs=qa-qx2 M=qax2-qx22/2 FN=qa/2qa/2_+qaFS

18、圖圖qa2/2qa2/2M圖圖FN圖圖qa/2+例：例：列內(nèi)力方程，畫內(nèi)力圖。列內(nèi)力方程，畫內(nèi)力圖。Page38例：例：組合剛架的約束反力分析。組合剛架的約束反力分析。ABqCa/2aa/2aqaqaFByBa/2aF1N1qaN1N2F1F2qaN1=qa F1=FBy=2qaFAyFAxAqCa/2aF2N2MAFAyFAxAqCa/2aFCNCMAqaFByBa/2aFCNCqa思考：思考：中間鉸（連同集中力）中間鉸（連同集中力）能不能與左邊或右邊結(jié)合？能不能與左邊或右邊結(jié)合？中間鉸附近力偶如何處理？中間鉸附近力偶如何處理？Page39三、曲梁三、曲梁未受力時(shí)，軸線即為曲線的桿件，稱為曲

19、桿。以彎曲為主未受力時(shí)，軸線即為曲線的桿件，稱為曲桿。以彎曲為主要變形的曲桿，稱為曲梁。要變形的曲桿，稱為曲梁。平面曲梁：平面曲梁：SFFsin NFFcos MFR(1-cos)F SFNFM例：例：計(jì)算圖示曲梁的計(jì)算圖示曲梁的內(nèi)力，畫彎矩圖。內(nèi)力，畫彎矩圖。解：解：FS，F(xiàn)N正負(fù)符號(hào)規(guī)定同前。正負(fù)符號(hào)規(guī)定同前。M不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。不標(biāo)正負(fù)號(hào)，畫在受壓一側(cè)。曲梁內(nèi)力圖曲梁內(nèi)力圖通常根據(jù)內(nèi)力方程繪制。通常根據(jù)內(nèi)力方程繪制。Page40aaaOABCqxFqa()aqaqxMSF()b2qa()dNF2qa()esFqa()fM232qa272qa()cMNFSF2qa232qaO221

20、M(x)qxFx21qxqax2 sF(x)qaqx NF(x)0 0 xa 223M()qa2qa sin2 SF()2qacos NF()2qa sin 02 圓弧段：圓弧段：例：例：繪制圖示曲桿內(nèi)力圖繪制圖示曲桿內(nèi)力圖直線段：直線段：Page41若簡(jiǎn)支梁上承受一集中力，則最大彎矩發(fā)生在集中力若簡(jiǎn)支梁上承受一集中力，則最大彎矩發(fā)生在集中力作用處，若簡(jiǎn)支梁上承受一段均勻分布載荷，納維認(rèn)作用處，若簡(jiǎn)支梁上承受一段均勻分布載荷，納維認(rèn)為最大彎矩發(fā)生在分布載荷的合力處（設(shè)集中載荷與為最大彎矩發(fā)生在分布載荷的合力處（設(shè)集中載荷與均布載荷的合力都不在梁中點(diǎn)）。均布載荷的合力都不在梁中點(diǎn)）。1 1）你認(rèn)為納維的結(jié)論是否正確？）你認(rèn)為納維的結(jié)論是否正確？2 2）若認(rèn)為不正確，請(qǐng)給出正確結(jié)論。）若認(rèn)為不正確，請(qǐng)給出正確結(jié)論。思考題：思考題：ABFabABqPage42作業(yè)作業(yè)5-5b5-6b,c,f,h5-75-8Page43作業(yè)作業(yè)5-14c,d5-15b5-17bPage44謝謝謝謝