2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三課 考點(diǎn)突破素養(yǎng)提升 新人教A版必修2

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1、第三課 考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　直觀想象 角度　空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 【典例1】(1)(2019·武邑高一檢測)下列命題： ①存在與兩條異面直線都平行的平面； ②過空間一點(diǎn)，一定能作一個(gè)平面與兩條異面直線都平行； ③過平面外一點(diǎn)可作無數(shù)條直線與該平面平行； ④過直線外一點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)平面與該直線平行. 其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選C.①將一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平移到平面外，且平移后不相交，則這兩條直線異面且與該平面平行，故正確；②當(dāng)過該點(diǎn)的平面過其中一條直線時(shí)，這個(gè)平面與兩條異面直線都平行是錯(cuò)誤的，故不

2、正確；③顯然正確；④顯然正確. (2)已知m，n是兩條不同直線，α，β是不同的平面，下列命題中正確的 是 (　　) A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m∥α，m⊥n，則n⊥α C.若m⊥α，m⊥n，則n∥α D.若m⊥α，m⊥β，則α∥β 【解析】選D.A中存在m，n相交或異面；B中存在n，α平行或n在α內(nèi)或斜交；C中存在n在平面α內(nèi)；D正確. 【類題·通】 空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系判斷 (1)借助正方體等幾何體進(jìn)行判斷，即將要判斷的線面對應(yīng)到這些幾何體的棱、面上，通過幾何體中線面的關(guān)系進(jìn)行判斷. (2)借助生活中的實(shí)物進(jìn)行判斷，比如借助教室中的墻面、桌面、筆等對應(yīng)

3、要判斷的線面，通過這些實(shí)物的位置關(guān)系進(jìn)行判斷. 【加練·固】 1.已知平面α∩平面β=c，直線a?α，a∥c，直線b?β，且b與c相交，則a和b的位置關(guān)系是 (　　) A.平行　　　　　 B.相交 C.異面 D.上述三種都有可能 【解析】選C.若a與b平行，因?yàn)閍∥c，所以b∥c，與b與c相交矛盾，所以A錯(cuò)； 若a和b相交，因?yàn)橹本€a?α，直線b?β，平面α∩平面β=c，則a和b都和c相交且在同一點(diǎn)處，這與a∥c矛盾，所以B錯(cuò)；因?yàn)閮蓷l直線的位置關(guān)系有平行，相交，異面這三種情況，故a和b只能異面. 2.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是(　　)

4、 A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行 C.α，β平行于同一條直線 D.α，β垂直于同一平面 【解析】選B.當(dāng)α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，也可能兩平面相交，故A錯(cuò).同樣當(dāng)α，β平行于同一條直線或α，β垂直于同一平面時(shí)，兩平面也可能相交，故C，D錯(cuò).由面面平行的判定定理可得B正確. 素養(yǎng)二　數(shù)學(xué)運(yùn)算 角度1　空間幾何體的體積、表面積 【典例2】看一個(gè)定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”如圖，半圓O的直徑AB=6 cm，點(diǎn)D是該半圓弧的中點(diǎn)，那

5、么運(yùn)用上述定理可以求得，半圓弧與直徑所圍成的半圓面(陰影部分不含邊界)的重心G位于對稱軸OD上，且滿足OG= (　　) A.2 cm B.cm C.cm D.cm 【解析】選B.以AB為軸，旋轉(zhuǎn)題設(shè)半圓所得的球的體積為V球=π·33=36π.運(yùn)用提供的定理求得36π=·(2π·OG)，解得OG=. 【類題·通】 關(guān)于空間幾何體的體積、表面積 首先要準(zhǔn)確確定幾何體的基本量，如球的半徑，幾何體的高、棱長等，其次是準(zhǔn)確代入相關(guān)的公式計(jì)算. 【加練·固】 點(diǎn)A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面體ABCD體積最大值為3，則這個(gè)球的表面積為 (　　

6、) A.2π　　　B.4π　　　C.8π　　　D.16π 【解析】選D.由體積最大得高為3，(3-R)2+()2=R2，得R=2，故表面積為16π. 角度2　空間中角的計(jì)算 【典例3】如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面面積為3，體積為，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則PA與BE所成的角為 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】選C.連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE，PO， 因?yàn)檎睦忮FP-ABCD的底面ABCD是正方形，所以O(shè)是AC中點(diǎn)，因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PA，所以PA與BE所成的角為∠BEO，因?yàn)檎睦忮FP-ABCD的底面積為3，體積為，所

7、以AB=BC=，PO=，AC=，PA=，OB=，所以O(shè)E=，所以在Rt△OEB中，tan∠OEB==，所以∠OEB=60°. 【延伸探究】本例中，試求BE與面ABCD所成的角的正切值. 【解析】取OC的中點(diǎn)F，連接EF，BF， 所以EFPO， 所以EF⊥面ABCD，所以∠EBF即為BE與平面ABCD所成的角且EF=，又BF=， 在Rt△BEF中，tan∠EBF==. 所以BE與平面ABCD所成的角的正切值為. 【類題·通】 關(guān)于線線角、線面角的計(jì)算 (1)線線角：通過三角形的中位線、平行四邊形的對邊等平行關(guān)系，平移直線作出異面直線所成的角，再求出對應(yīng)三角形的邊，利用勾股定

8、理、余弦定理求角. (2)線面角：關(guān)鍵是確定或作出斜線的射影，而作射影的關(guān)鍵是過斜線上的一點(diǎn)，作平面的垂線確定垂足，因此要挖掘題目中的垂直關(guān)系，借助已有的線面垂直、面面垂直進(jìn)行作圖. 【加練·固】 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則CC1與平面AB1C1所成的角為 (　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】選A.取B1C1中點(diǎn)為D，連接AD，A1D， 因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，底邊是邊長為2的正三角形， 所以三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1∥AA1，所以AA1與平面AB1C1所成角即是CC1

9、與平面AB1C1所成角，因?yàn)锽1C1⊥AD，B1C1⊥AA1，所以B1C1⊥平面AA1D，所以平面AA1D⊥平面AB1C1，所以AA1與平面AB1C1所成角為∠A1AD，因?yàn)锳A1=3，A1D=， 所以tan∠A1AD==，所以∠A1AD=， 所以CC1與平面AB1C1所成角為. 素養(yǎng)三　邏輯推理 角度　空間中平行、垂直關(guān)系 【典例4】(2019·天津高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3， (1)設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：GH∥平面PAD. (2)求證：PA⊥平面PC

10、D. (3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值. 【解題指南】(1)連接BD，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形中位線的性質(zhì)，得到GH∥PD，利用線面平行的判定定理證得結(jié)果. (2)取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN，依題意，得DN⊥PC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)得到DN⊥PA，利用線面垂直的判定定理證得結(jié)果. (3)利用線面角的定義得到∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角，放在直角三角形中求得結(jié)果. 【解析】(1)連接BD，易知AC∩BD=H，BH=DH， 又由BG=PG，故GH∥PD，又因?yàn)镚H?平面PAD，PD?平面PAD，所以GH∥平面PAD. (2)取棱P

11、C的中點(diǎn)N，連接DN，依題意，得DN⊥PC， 又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，所以DN⊥平面PAC，又PA?平面PAC，故DN⊥PA，又因?yàn)镻A⊥CD，CD∩DN=D， 所以PA⊥平面PCD. (3)連接AN，由(2)中DN⊥平面PAC， 可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角. 因?yàn)椤鱌CD為等邊三角形，CD=2且N為PC的中點(diǎn)， 所以DN=，又DN⊥AN， 在Rt△AND中，sin∠DAN==， 所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為. 【類題·通】 1.判斷線面平行的兩種常用方法 面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判

12、定方法是必要的，判定線面平行的兩種方法： (1)利用線面平行的判定定理. (2)利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面. 2.判斷面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)面面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ). (3)利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α，l⊥β?α∥β). 3.判定線面垂直的方法 (1)線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性). (2)線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c=M?a⊥α). (3)平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α). (4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β=l，a

13、?β，a⊥l?a⊥α). (5)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β). (6)面面垂直的性質(zhì)(α∩β=l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ). 【加練·固】 1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=BB1，∠BAC=∠BCA=∠ABC，點(diǎn)E是A1B與AB1的交點(diǎn)，D為AC中點(diǎn). (1)求證：B1C∥平面A1BD. (2)求證：AB1⊥平面A1BC. 【證明】(1)連接ED， 因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1中，E為A1B與AB1的交點(diǎn)，所以E為AB1中點(diǎn)，因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以ED∥B1C，又因?yàn)镋D?平面A1BD，B1C?平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.

14、 (2)由∠BAC=∠BCA=∠ABC知AB=BC，AB⊥BC， 因?yàn)锽B1=BC，所以四邊形ABB1A1是菱形， 所以AB1⊥A1B.因?yàn)锽B1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥BB1， 因?yàn)锳B∩BB1=B，AB，BB1?平面ABB1A1， 所以BC⊥平面ABB1A1， 因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，所以BC⊥AB1， 因?yàn)锽C∩A1B=B，BC，A1B?平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4. (1)求證：平面PCD⊥平面PAD.

15、 (2)求三棱錐P-ABC的體積. (3)在棱PC上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PAD？若存在，請確定點(diǎn)E的位置并證明；若不存在，請說明理由. 【解析】(1)因?yàn)锳B∥CD，AB⊥AD， 所以CD⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD. 因?yàn)镃D?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD. (2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO.因?yàn)椤鱌AD為正三角形，所以PO⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD， 所以PO為三棱錐P-ABC的高. 因?yàn)椤鱌AD為正三角形，CD=2AB=2AD=4， 所以PO=. 所以V三棱錐P-ABC=S△ABC·PO =××2×2×=. (3)在棱PC上存在點(diǎn)E，當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)， BE∥平面PAD. 理由：分別取CP，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)， 連接BE，BF，EF，所以EF∥PD. 因?yàn)锳B∥CD，CD=2AB， 所以AB∥FD，AB=FD， 所以四邊形ABFD為平行四邊形，所以BF∥AD. 因?yàn)锽F∩EF=F，AD∩PD=D， 所以平面BEF∥平面PAD. 因?yàn)锽E?平面BEF，所以BE∥平面PAD. - 10 -