2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第六課 考點突破素養(yǎng)提升 新人教A版必修第一冊

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1、第六課 考點突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學(xué)運算 角度1　三角函數(shù)的定義域、值域問題 【典例1】(1)函數(shù)y=的定義域為________,值域為________.? 【解析】由題意得cos x≥, 所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z. 即函數(shù)的定義域是,k∈Z. 此時cos x∈,y∈, 即y∈,所以值域為. 答案:,k∈Z　 (2)已知f(x)=sin,x∈R. 求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最小值和最大值. 【解析】因為當(dāng)2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)時, 函數(shù)f(x)=sin單調(diào)遞增; 當(dāng)2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

2、 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)時,函數(shù)單調(diào)遞減, 所以f(x)=sin在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù). 又f=0,f=,f=-1. 故函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為,最小值為-1. 【類題·通】 (1)求三角函數(shù)的定義域問題 關(guān)鍵是先列出保證函數(shù)式有意義的三角不等式,然后利用三角函數(shù)的圖象或者單位圓中三角函數(shù)線求解. (2)求三角函數(shù)的值域常用“整體替換法”或者“換元法”. 【加練·固】 定義運算a※b為a※b=例如1※2=1,則函數(shù)f(x)=sin x※cos x的值域為 (　　) A.[-1,1] B. C. D. 【解析】選C.根據(jù)題設(shè)中的新定義

3、,得f(x)= 作出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的圖象,如圖可知函數(shù)f(x)的值域為. 角度2　利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值 【典例2】(1)(2018·全國卷I)已知函數(shù)f=2cos2x-sin2x+2,則 (　　) A.f的最小正周期為π,最大值為3 B.f的最小正周期為π,最大值為4 C.f的最小正周期為2π,最大值為3 D.f的最小正周期為2π,最大值為4 【解析】選B.f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=,所以f(x)最小正周期為π,最大值為4. (2)已知函數(shù)y=asin+b在x∈上的值域為[-5,1],求a,b的值. 【解析】因為x∈

4、,所以2x+∈, sin∈. 所以當(dāng)a>0時, 解得當(dāng)a<0時,解得 所以a,b的取值分別是4,-3或-4,-1. 【類題·通】 (1)對于復(fù)雜的三角函數(shù)化簡問題,適當(dāng)選用三角函數(shù)的和差公式、倍角公式對函數(shù)解析式進行化簡,再通過三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求出函數(shù)的周期與最值,在解題的過程中,要注意應(yīng)用余弦的倍角公式將式子降次升角,得到最簡結(jié)果. (2)利用y=Asin(ωx+φ)+k求值域時要注意角的取值范圍對函數(shù)式取值的影響. 【加練·固】 已知|x|≤,求函數(shù)f(x)=cos2x+sin x的最小值. 【解析】y=f(x)=cos2x+sin x=-sin2x+sin x+1.

5、 令t=sin x,因為|x|≤, 所以-≤sin x≤. 則y=-t2+t+1=-+, 所以當(dāng)t=-,即x=-時,f(x)有最小值, 且最小值為-+=. 角度3　給角求值問題 【典例3】求值:. 【分析】切化弦,然后通分,利用和差公式,約去非特殊角,得到結(jié)果. 【解析】原式= = ===2. 【類題·通】 給角求值問題,主要是利用所學(xué)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等,化非特殊角為特殊角,在轉(zhuǎn)化過程中要注意上述公式的正用及逆用. 【加練·固】 計算:sin 50°(1+tan 10°)的值. 【解析】原式=

6、sin 50°= sin 50°· =sin 50°·2 =sin 50°· =cos 40°·==1. 角度4　給值求值問題 【典例4】(1)設(shè)α為銳角,若cos=, 求sin的值. (2)已知0<β<<α<π,且cos=-, sin=,求cos(α+β)的值. 【解析】(1)因為α為銳角且cos=, 所以sin=.所以sin =sin =sin 2cos-cos 2sin =sincos- =××-=-=. (2)因為0<β<<α<π,所以-<-β<,<α-<π, 所以cos==, sin==, 所以cos=cos =coscos+sinsin =

7、×+×=.所以cos(α+β)=2cos2-1=2×-1=-. 【類題·通】 利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和倍角公式解決給值求值問題時,解決的關(guān)鍵是把所求角用已知角表示.其常見題型一般有兩種: (1)當(dāng)已知角有兩個時,所求角一般表示為兩個已知角的和或差的形式. (2)當(dāng)已知角有一個時,此時應(yīng)著眼于所求角與已知角的和或差的關(guān)系,然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把所求角變成已知角. 【加練·固】 已知cos+sin α=, 求sin. 【解析】cos+sin α =cos αcos+sin αsin+sin α =cos α+sin α=sin=. 所以sin=, 所以sin=si

8、n =-sin=-. 角度5　給值求角問題 【典例5】已知0<α<,0<β<,且3sin β=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值. 【分析】本題主要考查三角函數(shù)式的恒等變形及已知三角函數(shù)值求角,因為2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,可先將條件式3sin β=sin(2α+β)展開后求α+β的正切值. 【解析】因為3sin β=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α), 整理得2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α. 即tan(α+β)=2tan α.又4tan=1-tan2, 所以tan α==,t

9、an(α+β)=2tan α=2×=1. 又0<α<,0<β<,所以α+β∈, 所以α+β=. 【類題·通】 已知三角函數(shù)值求角問題,通常分兩步: (1)先求角的某個三角函數(shù)值(由題中已知名稱和范圍確定),確定求所求角的哪種三角函數(shù)值,要根據(jù)具體題目,結(jié)合所給角的范圍確定. (2)根據(jù)角的范圍確定角及角的范圍.必要時,可利用三角函數(shù)值縮小角的范圍. 素養(yǎng)二　邏輯推理 角度1　y=Asin (ωx+φ)的圖象 【典例6】(2019·黃石高一檢測)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin,則下面結(jié)論正確的是 (　　) A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,

10、再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2 B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2 C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2 D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2 【解析】選D.因為y=sin= cos=cos, 所以曲線C1:y=cos x上各點的橫坐標縮短到原來的倍,縱坐標不變,得到曲線y=cos 2x,再把得到的曲線y=cos 2x向左平移個單位長度, 得到曲線y=cos 2=cos. 【

11、類題·通】 1.函數(shù)y=sin x的圖象變換到y(tǒng)=Asin(ωx+φ),x∈R圖象的兩種方法 2.對稱變換 (1)y=f(x)的圖象y=-f(x)的圖象 (2)y=f(x)的圖象y=f(-x)的圖象 (3)y=f(x)的圖象y=-f(-x)的圖象 【加練·固】 將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移1個單位長度,縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的 倍,然后向上平移1個單位長度,得到函數(shù)y=sin x的圖象. (1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間. (2)若函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,求當(dāng)x∈[0,1]時,函數(shù)y=g(x)的最小值和最大值. 【解

12、析】(1)函數(shù)y=sin x的圖象向下平移1個單位長度得y=sin x-1, 再將得到的圖象上的點的橫坐標伸長為原來的倍, 得到y(tǒng)=sin x-1的圖象,然后向右平移1個單位長度,得到y(tǒng)=sin-1的圖象, 所以函數(shù)y=f(x)的最小正周期為T==6. 由2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,得6k-≤x≤6k+,k∈Z, 所以函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z. (2)因為函數(shù)y=g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱, 所以當(dāng)x∈[0,1]時,y=g(x)的最值即為x∈[3,4]時, y=f(x)的最值. 因為當(dāng)x∈[3,4]時,x-∈, 所以sin∈, 所

13、以f(x)∈. 所以當(dāng)x∈[0,1]時,y=g(x)的最小值是-1,最大值為. 角度2　三角函數(shù)式的化簡問題 【典例7】化簡:-. 【解析】 原式=+ = + =+ =+ == . 【類題·通】 三角函數(shù)式的化簡,主要有以下幾類:(1)對三角函數(shù)的和式,基本思路是降冪、消項和逆用公式;(2)對三角函數(shù)的分式,基本思路是分子與分母的約分和逆用公式,最終變成整式或較簡式子;(3)對二次根式,則需要運用倍角公式的變形形式.在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想,是一個“化異為同”的過程,涉及切弦互化,即“函數(shù)名”的“化同”;角的變換,即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具

14、體手段,以實現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡. 【加練·固】 化簡:·= (　　) A.tan α B.tan 2α C.1 D. 【解析】選B.原式=·= =tan 2α. 角度3　　三角恒等式的證明問題 【典例8】證明:=tan θ. 【證明】方法一: 左邊== ==tan θ=右邊. 方法二: 左邊= ===tan θ=右邊. 方法三:左邊= = = = ==tan θ=右邊. 【類題·通】 三角函數(shù)等式的證明包括無條件三角函數(shù)等式的證明和有條件三角函數(shù)等式的證明.對于無條件三角函數(shù)等式的證明,要認真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點,找出差異,化異角為同角,化

15、異次為同次,化異名為同名,尋找證明的突破口.對于有條件三角函數(shù)等式的證明,要認真觀察條件式與被證式的區(qū)別與聯(lián)系,靈活使用條件等式,通過代入法、消元法等方法進行證明. 【加練·固】 求證:tan-tan=. 【證明】 = ==-=tan-tan. 素養(yǎng)三　直觀想象 角度　三角函數(shù)圖象的應(yīng)用 【典例9】(1)(2018·北京高考)在平面直角坐標系中,,,,是圓x2+y2=1上的四段弧(如圖),點P在其中一段上,角α以O(shè)x為始邊,OP為終邊,若tan α

16、一象限內(nèi),tan α>0,sin α>0,tan α=AT>sin α=QP,不符合題意,點P不能在,上; ②若點P在上,tan α<0,sin α>0,cos α<0,|cos α|=|OQ|<|tan α|=|AT|, 所以tan α

17、時,由圖象可知: sin≥kx在x∈[0,1]上成立.綜上所述,k≤1. 答案:(-∞,1] 【類題·通】 (1)三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號一定要牢記,在同一個象限內(nèi),會判斷正弦、余弦、正切的大小. (2)數(shù)形結(jié)合思想貫穿了三角函數(shù)的始終,數(shù)形結(jié)合時,函數(shù)圖象要根據(jù)題目作得精確可信,必要時應(yīng)結(jié)合計算判斷.本題討論y=kx與y=sin的圖象關(guān)系時,切記不要忘記k≤0的情況. 【加練·固】 函數(shù)f(x)=-sin x在區(qū)間[0,2π]上的零點個數(shù)為________.? 【解析】在同一直角坐標系內(nèi),畫出y=及y=sin x的草圖, 由圖象可觀察出交點個數(shù)為2. 答案:2

18、 素養(yǎng)四　數(shù)學(xué)建模 角度　三角函數(shù)的實際應(yīng)用 【典例10】某動物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化. (1)求出種群數(shù)量y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式. (2)畫出種群數(shù)量y關(guān)于時間t變化的草圖.(其中t以年初以來經(jīng)過的月份數(shù)為計量單位) 【解析】(1)設(shè)表示該曲線的函數(shù)為y=Asin(ωt+a)+b(A>0,ω>0,|a|<π).由已知平均數(shù)為800,最高數(shù)與最低數(shù)差為200,數(shù)量變化周期為12個月,故振幅A==100, ω==,b=800. 又因為7月1日種群數(shù)量達到最高, 所以×6+a=+2kπ(k∈Z). 又因為|a|<π,所

19、以a=-. 故種群數(shù)量y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為 y=800+100sin. (2)種群數(shù)量關(guān)于時間變化的草圖如圖. 【類題·通】 三角函數(shù)模型構(gòu)建的步驟 1.收集數(shù)據(jù),觀察數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)是否具有周期性的重復(fù)現(xiàn)象,確定適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型. 2.利用三角函數(shù)模型解決實際問題. 3.根據(jù)問題的實際意義,對答案的合理性進行檢驗. 【加練·固】 (2018·浙江高考)已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,它的終邊過點P. (1)求sin(α+π)的值. (2)若角β滿足sin(α+β)=,求cos β的值. 【解析】(1)由角α的終邊過點P得 sin α=-, 所以 sin (α+π)=-sin α=. (2)由角α的終邊過點P得cos α=-, 由sin(α+β)=得cos(α+β)=±. 由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-或cos β=. 17