2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)14 雙曲線的參數(shù)方程 北師大版選修4-4

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1、課時(shí)作業(yè)(十四) 1．雙曲線(α為參數(shù))的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A．(0，－4)，(0，4)　　　 B．(－4，0)，(4，0) C．(0，－)，(0，) D．(－，0)，(，0) 答案　A 解析　雙曲線方程化為－＝1，所以c2＝36＋12＝48，c＝4，且焦點(diǎn)在y軸上，故選A. 2．雙曲線C：(φ為參數(shù))的一個(gè)焦點(diǎn)為(　　) A．(3，0) B．(4，0) C．(5，0) D．(0，5) 答案　C 解析　由得 于是()2－()2＝sec2φ－tan2φ＝1， 即雙曲線方程為－＝1， 焦點(diǎn)為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)．故選C. 3．拋物線y2＝2x

2、的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由拋物線y2＝2x，令x＝t，則y2＝2t，所以參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 4．與普通方程x2＋y－1＝0等價(jià)的參數(shù)方程(t，φ，θ為參數(shù))是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 答案　B 解析　∵方程x2＋y－1＝0中的x∈R，而選項(xiàng)A中，x∈[－1，1]，選項(xiàng)C中x∈[0，＋∞)，選項(xiàng)D中x∈[－1，1]，故選B. 5．點(diǎn)M0(0，1)到雙曲線x2－y2＝1的最小距離(即雙曲線上任一點(diǎn)M到點(diǎn)M0距離的最小值)為(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　把

3、雙曲線方程化為參數(shù)方程 設(shè)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)M(secθ，tanθ)，則 |M0M|2＝sec2θ＋(tanθ－1)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－2tanθ＋1) ＝2tan2θ－2tanθ＋2＝2(tanθ－)2＋. 當(dāng)tanθ－＝0時(shí)，|M0M|2取得最小值，此時(shí)有|M0M|＝，即M0點(diǎn)到雙曲線的最小距離為. 6．把雙曲線的普通方程－＝1化為參數(shù)方程是________． 答案　(φ為參數(shù)) 解析　由已知雙曲線的普通方程，設(shè)＝，＝tanφ，即得其參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 7．拋物線(m為參數(shù))的準(zhǔn)線方程是________． 答案　y＝1 解析　由已知拋物線的參數(shù)方程

4、，消去參數(shù)m，得拋物線的普通方程為x2＝－4y，則p＝2，＝1，拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝1. 8．已知雙曲線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，點(diǎn)P在雙曲線上且對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ＝，則直線OP的斜率為________． 答案　－ 解析　把φ＝代入雙曲線的參數(shù)方程，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，1)，則直線OP的斜率為k＝－. 9．已知雙曲線的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則雙曲線的離心率是________． 答案　 解析　由已知雙曲線的參數(shù)方程，知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a＝4，b＝2，則c＝＝2，離心率e＝＝. 10．與雙曲線－＝1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，2)的雙曲線參數(shù)方程為________． 答案　(θ

5、為參數(shù)) 解析　設(shè)所求雙曲線方程為－＝1(－4<λ<16)，又∵點(diǎn)(3，2)在雙曲線上， 則－＝1，∴λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 雙曲線的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 11．參數(shù)方程(θ為參數(shù))表示的曲線的普通方程是________． 答案　y2＝x＋1(－1≤x≤1) 解析　由參數(shù)方程，有 y2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1＋sin2θ， 將x＝sin2θ代入，得y2＝x＋1. 又－1≤sin2θ≤1，則此參數(shù)方程表法的曲線的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1)． 12．(2015·廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中

6、，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________． 答案　(2，－4) 解析　曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝－2，曲線C2的普通方程為y2＝8x，由得所以C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，－4)． 13．曲線(α為參數(shù))與曲線(β為參數(shù))的離心率分別為e1和e2，求e1＋e2的最小值． 解析　將兩個(gè)參數(shù)方程化為普通方程，則可得： －＝1與－＝1， 其離心率分別為： e1＝，e2＝， 故e1＋e2 ＝＋ ＝· ≥·＝2. 14．如圖所示，已

7、知點(diǎn)M是橢圓＋＝1(a>b>0)上在第一象限的點(diǎn)，A(a，0)和B(0，b)的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求四邊形MAOB的面積的最大值． 解析　點(diǎn)M是橢圓＋＝1(a>b>0)上在第一象限的點(diǎn)，由于橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，故可設(shè)M(acosφ，bsinφ)，其中0<φ<，因此，S四邊形MAOB＝S△MAO＋S△MOB＝OA·yM＋OB·xM＝ab(sinφ＋cosφ)＝absin(φ＋)． 所以，當(dāng)φ＝時(shí)，四邊形MAOB的面積有最大值，最大值為ab. 15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，它與曲線C：(y－2)2－x2＝1交于A，B兩點(diǎn)． (1)

8、求|AB|的長(zhǎng)； (2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離． 解析　(1)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，代入(y－2)2－x2＝1，得t2＋t－5＝0. ∴t1＋t2＝－，t1t2＝－. ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝. (2)P點(diǎn)直角坐標(biāo)為(－2，2)， 線段AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為， ∴點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離為||＝. 1．曲線C：(φ為參數(shù))的一個(gè)焦點(diǎn)為(　　) A．(3，0) B．(4，0) C．(5，0) D．(0，5) 答案　C 解析　由sec2φ＝1＋tan2φ，得－＝1，方

9、程的曲線為雙曲線，由a2＝9，b2＝16，得c2＝25，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)或(－5，0)，故選C. 2．已知圓C：(x－)2＋(y－tanθ)2＝1，則圓C的圓心所在的曲線是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 答案　B 解析　設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(m，n)，則 ①2－②2得m2－n2＝1， 方程m2－n2＝1表示的圖形是等軸雙曲線．故選B. 3．已知橢圓＋＝1和直線l：x－2y＋c＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________． 答案　[－4，4] 解析　設(shè)M(2cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)是橢圓和直線的公共點(diǎn)，則有2cosθ－2si

10、nθ＋c＝0，所以c＝2sinθ－2cosθ＝4sin(θ－)∈[－4，4]． 4．(2016·深圳高二檢測(cè))在直角坐標(biāo)系中，已知直線l：(s為參數(shù))與曲線C：(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________． 答案　 解析　直線l：(s為參數(shù))的普通方程為y＝3－x，曲線C：(t為參數(shù))的普通方程為y＝(x－3)2，依題意，得(x－3)2＝3－x，解得x1＝3，y1＝0；x2＝2，y2＝1，所以坐標(biāo)為A(3，0)，B(2，1)，則|AB|＝. 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(a>b>0，φ為參數(shù))在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓

11、心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，已知曲線C1上的點(diǎn)M(1，)對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ＝，射線θ＝與曲線C2交于點(diǎn)D(1，)． (1)求曲線C1，C2的方程； (2)若點(diǎn)A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)在曲線C1上，求＋的值． 解析　(1)方法一：將M(1，)及對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ＝代入得 即所以曲線C1的方程為(φ為參數(shù))化為普通方程為＋y2＝1. 設(shè)圓C2的半徑為R，由題意得圓C2的方程為ρ＝2Rcosθ， 將點(diǎn)D(1，)代入ρ＝2Rcosθ得1＝2Rcos，解得R＝1， 所以曲線C2的方程為ρ＝2cosθ. 方法二：將點(diǎn)M(1，)及對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ＝代入得 解得故曲線C1的方程為＋y2＝1. 由題意設(shè)圓C2的半徑為R，則方程為(x－R)2＋y2＝R2， 由D(1，)化直角坐標(biāo)為(，)代入(x－R)2＋y2＝R2得R＝1， 故圓C2的方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)因?yàn)辄c(diǎn)A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)在曲線C1上，所以＋ρ12sin2θ＝1，＋ρ22sin2(θ＋)＝1，即＋ρ22cos2θ＝1， 所以＋＝(＋sin2θ)＋(＋cos2θ)＝. 7