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1、第二課
考點突破·素養(yǎng)提升
素養(yǎng)一 邏輯推理
角度 不等式的性質(zhì)及其應用
【典例1】如果a,b,c滿足cac B.c(b-a)>0
C.cb20,c<0.
對于A:?ab>ac,A正確.
對于B:?c(b-a)>0,B正確;
對于C:?cb2≤ab2,即C不一定成立.
對于D:ac<0,a-c>0?ac(a-c)<0,D正確.
【類題·通】
不等式的性質(zhì)是進行不等關系的推理運算的理論基礎,應注意準確應用,保證每
2、一步的推理都有根據(jù).要熟練掌握不等式性質(zhì)應用的條件,以防推理出錯.
素養(yǎng)二 直觀想象
角度 解一元二次不等式
【典例2】在R上定義運算:=ad-bc.若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的最大值為 ( )
A.- B.- C. D.
【解析】選D.原不等式等價于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)對任意x恒成立,x2-x-1=-≥-,所以-≥a2-a-2,-≤a≤.
【類題·通】
解一元二次不等式要緊密聯(lián)系二次函數(shù)與一元二次方程的知識,利用數(shù)形結合的數(shù)學思想,使解題更加直觀.
【加練·固】
對于x∈R,不等式x2-
3、2x+3-m≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【解析】不妨設f(x)=x2-2x+3-m,其圖象是開口向上的拋物線,為了使f(x)≥0(x∈R)恒成立,只需對應方程的Δ≤0,即(-2)2-4(3-m)≤0,解得m≤2,所以m∈
(-∞,2].
素養(yǎng)三 數(shù)學運算
角度1 基本不等式的實際應用
【典例3】某水產(chǎn)養(yǎng)殖場擬造一個平面圖為矩形且面積為160平方米的水產(chǎn)養(yǎng)殖網(wǎng)箱,為了避免混養(yǎng),箱中要安裝一些篩網(wǎng),如平面圖所示.如果網(wǎng)箱四周網(wǎng)衣(圖中實線部分)建造單價為每米112元,篩網(wǎng)(圖中虛線部分)的建造單價為每米96元,網(wǎng)箱底面建造單價為每平方米100元,網(wǎng)衣及篩網(wǎng)的厚度忽略不計.
(
4、1)把建造網(wǎng)箱的總造價y(元)表示為網(wǎng)箱的長x(如圖所示,單位為米)的函數(shù),并求出最低造價.
(2)若要求網(wǎng)箱的長與寬都不能超過15米.則當網(wǎng)箱的長與寬各為多少米時,可使總造價最低(精確到0.01米).
【解析】(1)y=112+96+100×160=320×+16000≥26240.此時,x=,即x=16時,取得最小值.最小值為26240元.
(2)因為所以10≤x≤15.
設g(x)=x+,
任取x1,x2∈,且x1g(x2),
所以g(x
5、)在上是單調(diào)遞減的.
所以當x=15時,g(x)有最小值.
故當網(wǎng)箱長為15米,寬約為10.67米時可使總造價最低.
【類題·通】
解決基本不等式的實際應用問題,關鍵在于弄清問題的各種數(shù)量關系,抽象出數(shù)學模型,解題時,既要注意條件是否具備,還要注意有關量的實際含義.
【加練·固】
某汽車運輸公司剛買了一批豪華大客車投入運營,據(jù)市場分析,每輛客車營運的總利潤y(單位:10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關系(如圖所示),若要使其營運的年平均利潤最大,則每輛客車需營運 ( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【解析】選C.設二次函數(shù)為y=a(x
6、-6)2+11.又圖象過點(4,7),代入得7=a(4-6)2+
11,解得a=-1,所以y=-x2+12x-25.設年平均利潤為m,則m==-x-+12≤2,當且僅當x=,即x=5時取等號.
角度2 一元二次不等式的實際應用
【典例4】某商品的成本價80元/件,售價100元/件,每天售出100件,若售價降低x成(1成=10%),售出商品的數(shù)量就增加x成,要求售價不能低于成本價.
(1)設該商店一天的營業(yè)額為y,試求出y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域.
(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少10260元,求x的取值范圍.
【解析】(1)依題意y=100·100.
又售
7、價不能低于成本價,
所以100-80≥0,解得x≤2,
所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x)(0≤x≤2).
(2)20(10-x)(50+8x)≥10260,
化簡得:8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
又x∈[0,2],
所以x的取值范圍為.
【類題·通】
解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型,即分析題目中有哪些未知量,然后選擇其中起關鍵作用的未知量,設此未知量為x,用x來表示其他未知量,再根據(jù)題目中的不等關系,來列不等式.
【加練·固】
某物流公司購買了一塊長AM=30米,寬AN=20米的矩形地塊(如圖),計劃把矩形ABCD建設為
8、倉庫,其余地方為道路和停車場,要求頂點C在地塊對角線MN上,B,D分別在邊AM,AN上,假設AB的長度為x米.
(1)求矩形ABCD的面積S關于x的函數(shù)解析式.
(2)要使倉庫占地ABCD的面積不少于144平方米,則AB的長度應在什么范圍內(nèi)?
【解析】(1)根據(jù)題意,得△NDC與△NAM相似,
所以=,
即=,解得AD=20-x.
所以矩形ABCD的面積S關于x的函數(shù)為S=20x-x2(0
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