2019屆高考數學二輪復習 第一篇 專題六 解析幾何 第1講 直線與圓、圓錐曲線的概念、方程與性質限時訓練 理

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1、第1講　直線與圓、圓錐曲線的概念、方程與性質 (限時:45分鐘) 【選題明細表】 知識點、方法 題號 直線與圓 1,6,12,15 圓錐曲線的定義及應用 5,9,10 圓錐曲線的方程 4,8,16 圓錐曲線的幾何性質 2,3 圓錐曲線的離心率 7,11,13,14 一、選擇題 1.(2018·吉林長春市一模)已知圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標為(a,b),則a2+b2等于(　D　) (A)8 (B)16 (C)12 (D)13 解析:由圓的標準方程可知圓心為(2,-3),即a2+b2=13.故選D. 2.(2018·浙江卷

2、)雙曲線-y2=1的焦點坐標是(　B　) (A)(-,0),(,0) (B)(-2,0),(2,0) (C)(0,-),(0,) (D)(0,-2),(0,2) 解析:因為雙曲線方程為-y2=1, 所以a2=3,b2=1,且雙曲線的焦點在x軸上, 所以c===2, 即得該雙曲線的焦點坐標為(-2,0),(2,0).故選B. 3.(2018·淮南二模)已知F1,F2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左右焦點,F1(-,0),雙曲線右支上一點P,滿足|PF1|-|PF2|=4,則它的漸近線方程為(　A　) (A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x

3、解析:因為F1(-,0), 所以c=, 因為雙曲線右支上一點P,滿足|PF1|-|PF2|=4, 所以2a=4,即a=2, 則b2=c2-a2=7-4=3, 即b=, 則雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x.故選A. 4.(2018·河南二模)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(4,3),則此雙曲線的方程為(　A　) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:因為雙曲線-=1(a>0,b>0)的上、下焦點分別為F1,F2, 所以以|F1F2|為直徑的圓的方程為x2+y2

4、=c2, 因為以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(4,3), 所以 解得a=3,b=4, 所以雙曲線的方程為-=1.故選A. 5.設F1,F2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則△PF1F2的面積等于(　C　) (A)4 (B)8 (C)24 (D)48 解析:a2=1,b2=24, 所以c2=a2+b2=25, 所以c=5. 因為|PF1|-|PF2|=2a=2,3|PF1|=4|PF2|, 所以|PF1|=8,|PF2|=6. 又|F1F2|=2c=10,所以∠F1PF2=90°

5、. 所以=|PF1|·|PF2|=24.故選C. 6.過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|等于(　C　) (A)2 (B)8 (C)4 (D)10 解析:設圓心為P(a,b),由點A(1,3),C(1,-7)在圓上,知b==-2,再由|PA|=|PB|,得a=1.則P(1,-2),|PA|==5,于是圓P的方程為(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2,則|MN|=|(-2+2)- (-2-2)|=4.故選C. 7.(2017·全國Ⅲ卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且

6、以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:圓心(0,0)到直線的距離等于圓的半徑a, 即=a, 解得a2=3b2,c2=a2-b2=2b2, 所以e2==,e=,故選A. 8.(2018·天津卷)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的 同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為(　A　) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:設雙曲線的右焦點為F(c,0). 將x=

7、c代入-=1,得-=1, 所以y=±. 不妨設A(c,),B(c,-). 雙曲線的一條漸近線方程為y=x,即bx-ay=0, 則d1===(c-b), d2===(c+b), 所以d1+d2=·2c=2b=6, 所以b=3. 因為=2,c2=a2+b2,所以a2=3, 所以雙曲線的方程為-=1.故選A. 9.(2018·鄭州市二次質量預測)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,過F2的直線l交C于A,B兩點,若△AF1B的周長為12,則C的方程為(　D　) (A)+y2=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:由橢

8、圓的定義,知 |AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 所以△AF1B的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12, 所以a=3. 因為橢圓的離心率e==, 所以c=2,所以b2=a2-c2=5, 所以橢圓C的方程為+=1, 故選D. 10.(2018·福州市質檢)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F的直線交C于A,B兩點,若|AF|=3|BF|=3,則p等于(　C　) (A)3 (B)2 (C) (D)1 解析:如圖,分別過點A,B作準線l的垂線AA1,BB1,垂足分別為A1,B1,過點B作BD⊥AA1于D,BD交x軸于E.

9、 由已知條件及拋物線定義得|BB1|=|BF|=1,|AA1|=|AF|=3, 所以|AD|=3-1=2. 在Rt△ABD中,因為|AB|=4,|AD|=2, 所以∠ABD=30°, 所以|EF|=|BF|=, 所以焦點F到準線的距離為+1=, 即p=.故選C. 11.(2018·漳州模擬)已知直線l:kx-y-2k+1=0與橢圓C1:+=1 (a>b>0)交于A,B兩點,與圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1交于C,D兩點,若存在 k∈[-2,-1],使得=,則橢圓C1的離心率的取值范圍是(　C　) (A)(0,] (B)[,1) (C)(0,] (D)[,1)

10、 解析:直線l:kx-y-2k+1=0, 即為k(x-2)+1-y=0, 可得直線恒過定點(2,1), 圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1的圓心為(2,1),半徑為1, 且C,D為直徑的端點, 由=,可得AB的中點為(2,1), 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1,+=1, 兩式相減可得+=0, 又由x1+x2=4,y1+y2=2, 可得k==-, 由-2≤k≤-1, 即有≤≤1, 則橢圓C1的離心率e==∈(0,]. 故選C. 12.已知不等式組表示平面區(qū)域Ω,過區(qū)域Ω中的任意一個點P,作圓x2+y2=1的兩條切線且切點分別為A,B,當四邊形

11、PAOB的面積最小時,cos∠APB 的值為(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:作出平面區(qū)域Ω和單位圓x2+y2=1的圖象如圖所示,設l: x+y-2=0,數形結合可得S四邊形PAOB=2S△PAO =2××|PA|×1 =|PA|. 又因為|PA|==, 所以當P到原點距離最小時,四邊形PAOB的面積最小,此時PO⊥l,且|PO|==2,故∠APO=,所以∠APB=,cos∠APB=.故選B. 二、填空題 13.(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,若雙曲線-=1(a>0, b>0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值為

12、　　　　.? 解析:雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,焦點F(c,0)到漸近線的距離d==b. 所以b=c, 所以a==c, 所以e==2. 答案:2 14.(2018·上饒三模)已知兩定點A(-1,0)和B(1,0),動點P(x,y)在直線l:y=x+2上移動,橢圓C以A,B為焦點且經過點P,則橢圓C的離心率的最大值為　　　　.? 解析:橢圓C以A,B為焦點且經過點P, 則c=1, 因為P在直線l:y=x+2上移動, 所以2a=|PA|+|PB|, 過A作直線y=x+2的對稱點M, 設M(m,n),則由 解得 即有M(-2,1), 則此時2a=|PA|+|

13、PB|≥|MD|+|DB|=|BM|=, 此時a有最小值, 對應的離心率e有最大值. 答案: 15.(2017·天津卷)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若∠FAC=120°,則圓的方程為　.? 解析:由y2=4x可得點F的坐標為(1,0),準線l的方程為x=-1. 由圓心C在l上,且圓C與y軸正半軸相切(如圖),可得點C的橫坐標為-1,圓的半徑為1,∠CAO=90°.又因為∠FAC=120°, 所以∠OAF=30°, 所以|OA|=, 所以點C的縱坐標為. 所以圓的方程為(x+1)2+(y-)2=1. 答案:(x+1)2+(y-)2=1. 16.(2018·太原市模擬)雙曲線-=1(a>0,b>0)上一點M(-3,4)關于一條漸近線的對稱點恰為雙曲線的右焦點F2,則該雙曲線的標準方程為　　　　　　　　　　　　　　.? 解析:由題意知|OF2|=|OM|=5,所以F2(5,0), 即c=5.所以a2+b2=c2=25, ① 又-=1, ② 所以 所以雙曲線的標準方程為-=1. 答案:-=1 8