2020版高考數(shù)學第八章平面解析幾何第五節(jié)橢圓學案理(含解析)新人教A版.docx
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1、第五節(jié)橢圓2019考綱考題考情1橢圓的概念平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫橢圓。這兩定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距。集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c為常數(shù)。(1)若ac,則M點的軌跡為橢圓。(2)若ac,則M點的軌跡為線段F1F2。(3)若ac,則M點不存在。2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2
2、(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a,b,c的關(guān)系c2a2b21橢圓方程中的a,b,c(1)a,b,c關(guān)系:a2b2c2。(2)e與:因為e,所以離心率e越大,則越小,橢圓就越扁;離心率e越小,則越大,橢圓就越圓。2在求焦點在x軸上橢圓的相關(guān)量的范圍時,要注意應用以下不等關(guān)系:axa,byb,0e|F1F2|6,所以點P的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,其中a5,c3,b4,故點P的軌跡方程為1。故選A。答案A2(選修21P49A組T6改編)設橢圓的兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若F1PF2為等腰直
3、角三角形,則橢圓的離心率是()ABC2D1解析設橢圓方程為1,依題意,顯然有|PF2|F1F2|,則2c,即2c,即e22e10,又0eb0)的左、右焦點,A是C的左頂點,點P在過A且斜率為的直線上,PF1F2為等腰三角形,F(xiàn)1F2P120,則C的離心率為()ABCD解析由題意可得橢圓的焦點在x軸上,如圖所示,設|F1F2|2c,因為PF1F2為等腰三角形,且F1F2P120,所以|PF2|F1F2|2c。因為|OF2|c,所以點P坐標為(c2ccos60,2csin60),即點P(2c,c)。因為點P在過A且斜率為的直線上,所以,解得,所以e,故選D。答案D4(2017全國卷)已知橢圓C:1
4、(ab0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切,則C的離心率為()ABCD解析由題知以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2,圓心到直線bxay2ab0的距離da,得a23b2,C的離心率e,故選A。答案A三、走出誤區(qū)微提醒:忽視橢圓定義中的限制條件;忽視橢圓標準方程焦點位置的討論;忽視點P坐標的限制條件。5平面內(nèi)一點M到兩定點F1(0,9),F(xiàn)2(0,9)的距離之和等于18,則點M的軌跡是_。解析由題意知|MF1|MF2|18,但|F1F2|18,即|MF1|MF2|F1F2|,所以點M的軌跡是一條線段。答案線段F1F26橢圓1的焦距為4,則
5、m等于()A4 B8C4或8 D12解析當焦點在x軸上時,10mm20,10m(m2)4,所以m4。當焦點在y軸上時,m210m0,m2(10m)4,所以m8。所以m4或8。答案C7已知點P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點,且以點P及焦點F1,F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1,則點P的坐標為_。解析設P(x,y),由題意知c2a2b2541,所以c1,則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0)。由題意可得點P到x軸的距離為1,所以y1,把y1代入1,得x,又x0,所以x,所以P點坐標為或。答案或第1課時橢圓的定義及簡單幾何性質(zhì)考點一橢圓的定義及應用【例1】(1)過橢圓y21的左焦點F1作直線l交橢圓于A,B兩點,
6、F2是橢圓右焦點,則ABF2的周長為()A8 B4C4 D2(2)在平面直角坐標系xOy中,P是橢圓1上的一個動點,點A(1,1),B(0,1),則|PA|PB|的最大值為()A5 B4C3 D2解析(1)因為y21,所以a2。由橢圓的定義可得|AF1|AF2|2a4,且|BF1|BF2|2a4,所以ABF2的周長為|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a8。故選A。(2)因為橢圓方程為1,所以焦點為B(0,1)和B(0,1),連接PB,AB,根據(jù)橢圓的定義,得|PB|PB|2a4,可得|PB|4|PB|,因此|PA|PB|PA|(4|PB|)4(|PA|PB|
7、)。因為|PA|PB|AB|,所以|PA|PB|4|AB|415,當且僅當P在AB延長線上時,等號成立。故|PA|PB|的最大值為5。答案(1)A(2)A橢圓定義的應用主要有兩個方面:一是確認平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓;二是當P在橢圓上時,與橢圓的兩焦點F1,F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”,利用定義可求其周長,利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|,通過整體代入可求其面積等。面積公式SPF1F2b2tan(其中F1PF2)。【變式訓練】(1)(2019惠州調(diào)研)設F1,F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點,點P在橢圓上,若線段PF1的中點在y軸上,則的值為()ABCD(2)已知橢圓1上一點
8、P與橢圓的兩焦點F1,F(xiàn)2的連線夾角為直角,則|PF1|PF2|_。解析(1)如圖,設線段PF1的中點為M,因為O是F1F2的中點,所以OMPF2,可得PF2x軸,可求得|PF2|,|PF1|2a|PF2|,。故選D。(2)依題意a7,b2,c5,|F1F2|2c10,由于PF1PF2,所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,即|PF1|2|PF2|2100。又由橢圓定義知|PF1|PF2|2a14,所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100,即1962|PF1|PF2|100。解得|PF1|PF2|48。答案(1)D(2)48考點二橢圓的標準方程【例2】(1)已知
9、橢圓的中心在原點,以坐標軸為對稱軸,且經(jīng)過兩點,(,),則橢圓的標準方程為_。(2)設F1、F2為橢圓C:1(ab0)的左、右焦點,經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A,B兩點,若F2AB是面積為4的等邊三角形,則橢圓C的方程為_。解析(1)設橢圓方程為mx2ny21(m,n0,mn)。由解得m,n,故橢圓的標準方程為1。(2)因為F2AB是面積為4的等邊三角形,所以ABx軸,所以A,B兩點的橫坐標為c,代入橢圓方程,可求得|F1A|F1B|。又|F1F2|2c,F(xiàn)1F2A30,所以2c。又SF2AB2c4,a2b2c2,由解得a29,b26,c23,所以橢圓C的方程為1。答案(1)1(2)11求橢圓方
10、程的基本方法是待定系數(shù)法,先定位,再定量,即首先確定焦點所在位置,然后根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組。2如果焦點位置不確定,可設橢圓方程為mx2ny21(m0,n0,mn),求出m,n的值即可。3橢圓的通徑(過焦點且與長軸垂直的弦)長為?!咀兪接柧殹?1)已知兩圓C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為()A1 B1C1 D1(2)(2019亳州模擬)橢圓E:1(ab0)的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,橢圓上兩動點P,Q總使PF1QF2為平行四邊形,若平行四邊形PF1QF2的周長和最大面積分別為8和2,則橢圓的標準
11、方程可能為()Ay21 B1C1 D1解析(1)設圓M的半徑為r,則|MC1|MC2|(13r)(3r)16,所以M的軌跡是以C1,C2為焦點的橢圓,且2a16,2c8,故所求的軌跡方程為1。(2)如圖,由四邊形PF1QF2周長為8,可知4a8,所以a2。當P,Q為短軸端點時,四邊形的面積最大,故2bc2,即bc。橢圓方程可以是1。故選C。答案(1)D(2)C考點三橢圓的簡單幾何性質(zhì)微點小專題方向1:求離心率的值或范圍【例3】(1)(2018安徽二模)已知橢圓1(ab0)的左頂點為M,上頂點為N,右焦點為F,若0,則橢圓的離心率為()ABCD(2)(2019湖南聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的左、
12、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上一點,PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形,且60PF1F2120,則該橢圓的離心率的取值范圍是()ABCD解析(1)由題意知,M(a,0),N(0,b),F(xiàn)(c,0),所以(a,b),(c,b)。因為0,所以acb20,即b2ac。又知b2a2c2,所以a2c2ac,所以e2e10,解得e或e(舍)。所以橢圓的離心率為。故選D。(2)由題意可得,|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F24c24c222c2ccosPF1F2,即|PF2|2c,所以acc,又60PF1F2120,所以cosPF1F2,所以2ca(1)c,則
13、,即e1)上兩點A,B滿足2,則當m_時,點B橫坐標的絕對值最大。解析設A(x1,y1),B(x2,y2),由2,得即因為點A,B在橢圓上,所以得y2m,xm(32y2)2m2m(m5)244,所以當m5時,點B橫坐標的絕對值最大,最大值為2。答案5與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法1利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義,尤其是橢圓的性質(zhì),求最值或取值范圍。2利用函數(shù),尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍。3利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍。4利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍。【題點對應練】1(方向1)P是橢圓1(ab0)上的一點,A為左頂點,F(xiàn)為右焦點,PFx軸,若tanPAF,則橢圓
14、的離心率e為()ABCD解析如圖,不妨設點P在第一象限,因為PFx軸,所以xPc,將xPc代入橢圓方程得yP,即|PF|,則tanPAF,結(jié)合b2a2c2,整理得2c2aca20,兩邊同時除以a2得2e2e10,解得e或e1(舍去)。故選D。答案D2(方向1)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(ab0)的左、右焦點。若橢圓C上存在點P,使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點F2,則橢圓C的離心率的取值范圍是()ABCD解析因為線段PF1的中垂線經(jīng)過焦點F2,所以|PF2|F1F2|2c,即橢圓上存在點P,使|PF2|2c,所以ac2cac,再結(jié)合e(0,1),解得eb0)。由題設知拋物線的焦點為(0,
15、2),所以橢圓中b2。因為e,所以a2c,又a2b2c2,聯(lián)立解得c2,a4,所以橢圓C的標準方程為1。答案13(配合例3使用)已知橢圓1(ab0)的左頂點和上頂點分別為A,B,左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1PF2,則橢圓的離心率的平方為()ABCD解析由題意得,A(a,0),B(0,b),由在線段AB上有且只有一個點P滿足PF1PF2,得點P是以點O為圓心,線段F1F2為直徑的圓x2y2c2與線段AB的切點,連接OP,則OPAB,且OPc,即點O到直線AB的距離為c。又直線AB的方程為yxb,整理得bxayab0,點O到直線AB的距離dc,兩邊同時平方整理
16、得,a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4,可得b4a2b2a40,兩邊同時除以a4,得210,可得,則e211。故選B。答案B4(配合例4使用)已知橢圓C:y21的兩焦點為F1,F(xiàn)2,點P(x0,y0)滿足0y1,則|PF1|PF2|的取值范圍是_。解析由點P(x0,y0)滿足0y1,可知P(x0,y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點),因為a,b1,所以由橢圓的定義可知|PF1|PF2|b0)的離心率為,焦距為2。斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A,B。(1)求橢圓M的方程;(2)若k1,求|AB|的最大值。解(1)由題意得解得a,b1。所以橢圓M的方程為y21。(2)
17、設直線l的方程為yxm,A(x1,y1),B(x2,y2)。由得4x26mx3m230。0m2b0)的一條弦所在的直線方程是xy50,弦的中點坐標是M(4,1),則橢圓的離心率是()ABCD解析設直線xy50與橢圓1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,因為AB的中點M(4,1),所以x1x28,y1y22。易知直線AB的斜率k1。由兩式相減得,0,所以,所以,于是橢圓的離心率e。故選C。答案C弦及弦中點問題的解決方法1根與系數(shù)的關(guān)系:直線與橢圓方程聯(lián)立,消元,利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點。2點差法:利用弦兩端點適合橢圓方程,作差構(gòu)造中點、斜率?!咀兪接柧殹恳阎獧E圓:x21,過點P的直線與
18、橢圓相交于A,B兩點,且弦AB被點P平分,則直線AB的方程為()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50解析設A(x1,y1),B(x2,y2),因為A,B在橢圓x21上,所以兩式相減得xx0,即(x1x2)(x1x2)0,又弦AB被點P平分,所以x1x21,y1y21,將其代入上式得x1x20,即9,即直線AB的斜率為9,所以直線AB的方程為y9,即9xy50。答案B考點三證明問題【例3】(2018全國卷)設橢圓C:y21的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0)。(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;(2)設O為坐標原點,證明:OMAOMB。解(1)
19、由已知得F(1,0),l的方程為x1。由已知可得,點A的坐標為或。所以AM的方程為yx或yx。(2)證明:當l與x軸重合時,OMAOMB0。當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以OMAOMB。當l與x軸不重合也不垂直時,設l的方程為yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2b0)經(jīng)過點P,且離心率為。(1)求橢圓C的方程;(2)設F1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點,不經(jīng)過F1的直線l與橢圓C交于兩個不同的點A,B。如果直線AF1,l,BF1的斜率依次成等差數(shù)列,求焦點F2到直線l的距離d的取值范圍。解(1)由題意,知解得所以橢圓C的方程為y21。(2)易知直
20、線l的斜率存在且不為零。設直線l的方程為ykxm,代入橢圓方程y21,整理得(12k2)x24kmx2(m21)0。由(4km)28(12k2)(m21)16k28m280,得2k2m21。設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,x1x2。因為F1(1,0),所以kAF1,kBF1。由題可得2k,且y1kx1m,y2kx2m,所以(mk)(x1x22)0。因為直線l:ykxm不過焦點F1(1,0),所以mk0,所以x1x220,從而20,4km24k20,所以4km24k2,即mk。由得2k221,化簡得|k|。焦點F2(1,0)到直線l:ykxm的距離d,令t,由|k|知t(1,)
21、。于是d,考慮到函數(shù)f(t)在1,上單調(diào)遞減,所以f()df(1),解得d2,所以焦點F2到直線l的距離d的取值范圍是(,2)。圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是幾何法,即利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解;二是代數(shù)法,即把要求最值的代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù),然后利用導數(shù)、不等式等進行求解。【變式訓練】已知橢圓C的兩個焦點為F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過點E。(1)求橢圓C的方程;(2)過點F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(點A位于x軸上方),若,且2b0),由解得所以橢圓C的方程為1。(2)由題意得直線
22、l的方程為yk(x1)(k0),聯(lián)立方程,得整理得y2y90,1440,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2,y1y2,又,所以y1y2,所以y1y2(y1y2)2,則,2,因為23,所以2,即0,解得0b0)的右焦點F(1,0),橢圓的左、右頂點分別為M,N。過點F的直線l與橢圓交于C,D兩點,且MCD的面積是NCD的面積的3倍。(1)求橢圓的方程;(2)若CD與x軸垂直,A,B是橢圓上位于直線CD兩側(cè)的動點,且滿足ACDBCD,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由。解(1)因為MCD的面積是NCD的面積的3倍,所以|MF|3|NF|,即ac3(ac),所以a2c2。又a2b
23、2c2,所以b23。故橢圓的方程為1。(2)當ACDBCD時,kACkBC0。設直線AC的斜率為k,則直線BC的斜率為k,不妨設點C在x軸上方,C,設A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AC的方程為yk(x1),代入1中整理,得(34k2)x24k(2k3)x4k212k30,1x1。同理1x2。所以x1x2,x1x2,則kAB,因此直線AB的斜率是定值。2(配合例4使用)已知點M是圓E:(x)2y216上的動點,點F(,0),線段MF的垂直平分線交線段EM于點P。(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)矩形ABCD的邊所在直線與軌跡C均相切,設矩形ABCD的面積為S,求S的取值范圍。解(1
24、)依題意,得|PM|PF|,所以|PE|PF|PE|PM|ME|4(為定值),|EF|2,42,所以點P的軌跡是以E,F(xiàn)為焦點的橢圓,其中2a4,2c2,所以P點的軌跡C的方程是y21。(2)當矩形的邊與坐標軸垂直或平行時,易得S8。當矩形的邊均不與坐標軸垂直或平行時,其四邊所在直線的斜率存在且不為0,設直線AB的方程為yk1xm,直線BC的方程為yk2xn,則直線CD的方程為yk1xm,直線AD的方程為yk2xn,其中k1k21,直線AB與CD間的距離d1,同理直線BC與AD間的距離d2,所以Sd1d2。由得x22k1mxm210。因為直線AB與橢圓相切,所以4k1m20,所以|m|,同理|n|,所以S44,因為k2(當且僅當k11時,不等式取等號),所以4S4,即8S10。由可知,8S10。
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