3、·珠海四校聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標準方程為( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：設圓心坐標為(a，－a)，則
＝，即
|a|＝|a－2|，解得a＝1.
故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝＝.
故圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故選B.
答案：B
5．已知M(2，1)，P為圓C：x2＋y2＋2y－3＝0上的動點，則|PM|的取值范圍為( )
A．[1，3] B．[2－
4、2，2＋2]
C．[2－1，2＋1] D．[2，4]
解析：依題意設P(x，y)，化圓C的一般方程為標準方程得x2＋(y＋1)2＝4，圓心為C(0，－1)，因為|MC|＝＝2＞2，所以點M(2，1)在圓外，所以2－2≤|PM|≤2＋2，故|PM|的取值范圍為[2－2，2＋2]．
答案：B
6．圓心在直線x＝2上的圓與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則該圓的標準方程為________________．
解析：由已知，得圓心的縱坐標為＝－3，
所以圓心為(2，－3)，
則半徑r＝＝，
故所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋
5、3)2＝5
7．已知點M(1，0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________．
解析：圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2，1)，
則kCM＝＝1，
因為過點M的最短弦與CM垂直，所以最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
8．在平面直角坐標系xOy中，以點(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________．
解析：直線mx－y－2m－1＝0經(jīng)過定點(2，－1)．
當圓與直線相切于點(2，－1)時，圓的半徑最
6、大，此時半徑r滿足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
此時圓的方程為(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
9．[一題多解]求適合下列條件的圓的方程．
(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)；
(2)過三點A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
解：(1)法一 設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
所以圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二 過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．
所以半徑r
7、＝＝2，
所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
則
解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.
所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
10．[一題多解](2019·衡水中學調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．
解：(1)法一 設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.
因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化簡得x
8、2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二 設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)．
所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3，0)，M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，
9、y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
B組 素養(yǎng)提升
11．(2019·莆田模擬)已知圓O：x2＋y2＝1.若A、B是圓O上的不同兩點，以AB為邊作等邊△ABC，則|OC|的最大值為 ( )
A. B.
C．2 D.＋1
解析：如圖所示，連OA，OB和OC.
因為OA＝OB，AC＝BC，OC＝OC，
所以OAC≌△OBC，所以∠ACO＝∠BCO＝30°，
在△OAC中，由正弦定理得＝，
所以OC＝2sin ∠OAC≤2，
故|OC|的最大值為2，故選C.
答案：
10、C
12．(2019·安慶模擬)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖．
因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D.
答案：D
13．已知平
11、面區(qū)域恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________________．
解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所構成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓．
因為△OPQ為直角三角形，
所以圓心為斜邊PQ的中點(2，1)，
半徑r＝＝，
因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
14．已知圓C過點P(1，1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關于直線x＋y＋2＝0對稱．
(1)求圓C的方程；
(2)設Q為圓C上的一個動點，求·的最小值．
解：(1)設圓心C(a，b)，
由已知得M(－2，－2)，
則解得
則圓C的方程為x2＋y2＝r2，將點P的坐標代入得r2＝2，
故圓C的方程為x2＋y2＝2.
(2)設Q(x，y)，則x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
令x＝cos θ，y＝sin θ，
所以·＝x＋y－2
＝(sin θ＋cos θ)－2
＝2sin－2，
所以·的最小值為－4.
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2020屆高考數(shù)學總復習 課時跟蹤練（四十九）圓的方程 文（含解析）新人教A版
