2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點題型 課下層級訓(xùn)練25 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(含解析)

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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點題型 課下層級訓(xùn)練25 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(含解析)_第1頁
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1、課下層級訓(xùn)練(二十五) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 [A級 基礎(chǔ)強化訓(xùn)練] 1.如圖,兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的(  ) A.北偏東10°     B.北偏西10° C.南偏東80° D.南偏西80° 【答案】D [由條件及題圖可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.] 2.(2019·湖北十堰調(diào)研)已知A,B兩地間的距離為10 km,B,C兩地間的距離為20 km,現(xiàn)測得∠ABC=120°,則A,C兩地間的距離

2、為(  ) A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 【答案】D [如圖所示, 由余弦定理可得,AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700,∴AC=10.] 3.(2019·河南鄭州月考)如圖所示,測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D,測得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在點C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于(  ) A.5 B.15 C.5 D.15 【答案】D [在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°. 由正弦定理得=,所以BC=15. 在Rt

3、△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15.] 4.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是(  ) A.10 n mile B.10 n mile C.20 n mile D.20 n mile 【答案】A [畫出示意圖如圖所示, 易知,在△ABC中,AB=20 n mile,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根據(jù)正弦定理得=,解得BC=10 n mile.] 5.如圖,兩座相距60

4、m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為(  ) A.30°   B.45°   C.60°   D.75° 【答案】B [依題意可得AD=20,AC=30,又CD=50,所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.] 6.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h,則下午2時兩船之間的距離是________n mile.

5、 【答案】70 [設(shè)兩船之間的距離為d,則d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4 900,∴d=70,即兩船相距70 n mile.] 7.一船以每小時15 km的速度向正東航行,船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為________km. 【答案】30 [如圖所示, 依題意有:AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB中,由正弦定理得=,解得BM=30(km).] 8.(2018·福建福州質(zhì)檢)如圖,小明同學(xué)在山頂A處觀測到,一輛汽車在一條水平的公路上沿

6、直線勻速行駛,小明在A處測得公路上B,C兩點的俯角分別為30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽車從B點到C點歷時14 s,則這輛汽車的速度為________ m/s(精確到0.1).參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈2.236. 【答案】22.6 [由題意可得AB=200,AC=100,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=105,則BC=100≈141.4×2.236,又歷時14 s,所以速度為≈22.6 m/s.] 9.(2019·山西監(jiān)測)如圖,點A,B,C在同一水平面上,AC=4,CB=6. 現(xiàn)要在點C處搭建一個觀測

7、站CD,點D在頂端. (1)原計劃CD為鉛垂線方向,α=45°,求CD的長; (2)搭建完成后,發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差,并測得β=30°,α=53°,求CD2.(結(jié)果精確到1) (本題參考數(shù)據(jù):sin 97°≈1,cos 53°≈0.6) 【答案】解 (1)∵CD為鉛垂線方向,點D在頂端, ∴CD⊥AB. 又∵α=45°,∴CD=AC=4. (2)在△ABD中,α+β=53°+30°=83°,AB=AC+CB=4+6=10,∴∠ADB=180°-83°=97°, ∴由=得 AD===≈5. 在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos α =52+42-

8、2×5×4×cos 53°≈17. 10.已知在東西方向上有M,N兩座小山,山頂各有一個發(fā)射塔A,B,塔頂A,B的海拔高度分別為AM=100 m和BN=200 m,一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°,該測量車向北偏西60°方向行駛了100 m后到達(dá)點Q,在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ,且∠BQA=θ,經(jīng)測量tan θ=2,求兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離. 【答案】解 在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100, ∴PM=100,在△PQM中,∠QPM=60°, 又PQ=100,∴△PQM為等邊三角形,∴QM=100. 在Rt△AMQ中,由AQ2

9、=AM2+QM2,得AQ=200. 在Rt△BNQ中,tan θ=2,BN=200, ∴BQ=100,cos θ=. 在△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ·AQcos θ =(100)2,∴BA=100. 即兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離是100 m. [B級 能力提升訓(xùn)練] 11.(2019·廣東廣州調(diào)研)如圖所示長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為α,則坡度值tan α等于(  ) A. B. C. D. 【答案】A [由題意,可得在△ABC中,AB=3.5 m,

10、AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,所以tan α==.] 12.(2019·湖北武昌調(diào)研)如圖,據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動,距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為(  ) A.14 h B.15 h C.16 h D.17 h 【答案】B [記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心

11、的位置為點A,t小時后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根據(jù)余弦定理得OB2=6002+400t2-2×20t×600×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1 575≤0,解得≤t≤,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時間為-=15(h).] 13.(2018·福建泉州模擬)如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50 m,則該扇形的半徑為______ m. 【答案】50

12、 [如圖,連接OC,在△OCD中,OD=100, CD=150,∠CDO=60°.由余弦定理得 OC2=1002+1502-2×100×150×cos 60°=17 500, 解得OC=50.] 14.(2018·山東臨沂期中)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》的“田域類”中寫道:問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,…,欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13,14,15里,求三角形沙田的面積.請問此田面積為________平方里. 【答案】84 [由題意畫出圖象: 且AB=13里,BC=14里,AC=15里,在△ABC中,由余弦

13、定理得,cos B===,所以sin B==,則該沙田的面積:即△ABC的面積S=AB·BC·sin B=×13×14×=84.] 15.如圖所示,在一條海防警戒線上的點A,B,C處各有一個水聲監(jiān)測點,B,C兩點到點A的距離分別為20 km和50 km.某時刻,B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波信號,8 s后A,C同時接收到該聲波信號,已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s. (1)設(shè)A到P的距離為x km,用x表示B,C到P的距離,并求x的值; (2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離. 【答案】解 (1)依題意,有PA=PC=x, PB=x-1.5×8=x-12. 在△PA

14、B中,AB=20,cos∠PAB===. 同理,在△PAC中,AC=50, cos∠PAC===. 因為cos∠PAB=cos∠PAC, 所以=,解得x=31. (2)作PD⊥AC于點D,在△ADP中,由cos∠PAD=,得sin∠PAD==, 所以PD=PAsin∠PAD=31×=4(km). 故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為4 km. 16.某高速公路旁邊B處有一棟樓房,某人在距地面100 m的32樓陽臺A處,用望遠(yuǎn)鏡觀測路上的車輛,上午11時測得一客車位于樓房北偏東15°方向上,且俯角為30°的C處,10 s后測得該客車位于樓房北偏西75°方向上,且俯角為45°的D處

15、.(假設(shè)客車勻速行駛) (1)如果此高速路段限速80 km/h,試問該客車是否超速? (2)又經(jīng)過一段時間后,客車到達(dá)樓房的正西方向E處,問此時客車距離樓房多遠(yuǎn)? 【答案】解 (1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=100 m, 則BC=100 m. 在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=100 m, 則BD=100 m. 在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°, 則DC==200 m, 所以客車的速度v==20 m/s=72 km/h, 所以該客車沒有超速. (2)在Rt△BCD中,∠BCD=30°, 又因為∠DBE=15°,所以∠CBE=105°, 所以∠CEB=45°. 在△BCE中,由正弦定理可知=, 所以EB==50 m, 即此時客車距樓房50 m. 7

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