2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練（五十三）雙曲線 文（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(五十三) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．(2019·石家莊一模)已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4，0)，(4，0)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4，0)，(4，0)，則c＝4，a＝2，b2＝12，雙曲線方程為－＝1，故選A. 答案：A 2．(2019·郴州模擬)已知雙曲線－＝1(m>0)的一個焦點(diǎn)在直線x＋y＝5上，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：由雙曲線－＝1(m>0)的焦點(diǎn)在y軸上，且在直線x＋y＝

2、5上，直線x＋y＝5與y軸的交點(diǎn)為(0，5)， 有c＝5，則m＋9＝25，則m＝16， 則雙曲線的方程為－＝1， 則雙曲線的漸近線方程為y＝±x.故選B. 答案：B 3．已知點(diǎn)F1(－3，0)和F2(3，0)，動點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A.－＝1(y>0) B.－＝1(x>0) C.－＝1(y>0) D.－＝1(x>0) 解析：由題設(shè)知點(diǎn)P的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為－＝1(x>0，a>0，b>0)，由題設(shè)知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5. 所以點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x>0)． 答案：B 4．(2019

3、·開封模擬)已知l是雙曲線C：－＝1的一條漸近線，P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點(diǎn)，若·＝0，則P到x軸的距離為(　　) A. B. C．2 D. 解析：由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為y＝x，則可設(shè)P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0， 得x0＝±，故P到x軸的距離為|x0|＝2，故選C. 答案：C 5．(2019·深圳模擬)已知橢圓＋＝1與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有共同的焦點(diǎn)，且其中的一個焦點(diǎn)F到雙曲線的兩條漸近線的距離之和為2，則雙曲線的離心率為(　　) A．2 B．3 C. D

4、. 解析：因?yàn)闄E圓＋＝1與雙曲線－＝1有共同的焦點(diǎn)， 所以4＋m2－m2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝4， 所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，(2，0) 設(shè)F(2，0)， 雙曲線的漸近線方程為y＝±x， 因?yàn)榻裹c(diǎn)F到雙曲線的兩條漸近線的距離之和為2， 所以2×＝2， 所以＝， 所以b＝， 所以a2＝c2－b2＝1， 所以e＝＝2，故選A. 答案：A 6．(2019·安陽模擬)已知方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則m的取值范圍是________． 解析：因?yàn)榉匠蹋?表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線， 所以有解得4

5、4，8) 7．設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2|的最小值為________． 解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因?yàn)閨AF1|＋|BF1|＝|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線的通徑時，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10. 答案：10 8．[一題多解](2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，

6、b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________． 解析：法一　不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線y＝x上，如圖，△AMN為等邊三角形，且|AM|＝b， 則A點(diǎn)到漸近線y＝x的距離為b，將y＝x變形為一般形式為bx－ay＝0，則A(a，0)到漸近線bx－ay＝0的距離d＝＝，所以＝b，即＝，所以雙曲線離心率e＝＝. 法二　不妨設(shè)點(diǎn)M、N在漸近線y＝x上，如圖，作AC垂直于MN，垂足為C， 據(jù)題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，則|AC|＝＝，在△ACN中，∠CAN＝∠MAN＝30°，|AN|＝b，所以cos ∠CAN＝cos 30°＝＝

7、＝＝＝，所以離心率e＝＝. 答案： 9．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解：橢圓D的兩個焦點(diǎn)為F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)， 因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)， 所以漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0，5)到兩條漸近線的距離為r＝3. 所以＝3，得a＝3，b＝4， 所以雙曲線G的方程為－＝1. 10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，－)．點(diǎn)M(3，m)在

8、雙曲線上． (1)求雙曲線的方程； (2)求證：·＝0； (3)求△F1MF2的面積． (1)解：因?yàn)閑＝，則雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等． 所以設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． 因?yàn)檫^點(diǎn)(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明：因?yàn)椋?－2－3，－m)， ＝(2－3，－m)． 所以·＝(－2－3)(2－3)＋m2＝－3＋m2， 因?yàn)镸點(diǎn)在雙曲線上，所以9－m2＝6，即m2＝3， 所以·＝0. (3)解：△F1MF2的底|F1F2|＝4. 由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝， 所以S△F1MF2

9、＝×4×＝6. B組　素養(yǎng)提升 11．(2019·河南適應(yīng)性考試)設(shè)F1、F2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A．x±y＝0 B.x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 解析：假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 則 所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 因?yàn)閨F1F2|＝2c>2a， 所以△PF1F2中最短的邊是PF2， 所以△PF1F2的最小內(nèi)角為∠PF1F2. 在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2－

10、2×4a×2c×cos 30°， 所以c2－2ac＋3a2＝0， 所以e2－2e＋3＝0，所以e＝，即＝， 所以c2＝3a2，所以a2＋b2＝3a2，所以b2＝2a2， 所以＝， 所以雙曲線的漸近線方程為x±y＝0，故選B. 答案：B 12．(2019·黃岡模擬)已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使＝e，則·的值為(　　) A．3 B．2 C．－3 D．－2 解析：由題意及正弦定理得＝＝e＝2， 所以|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|

11、F1F2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF2F1＝ ＝＝， 所以·＝||·||·cos ∠PF2F1＝2×4×＝2.故選B. 答案：B 13．設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________． 解析：如圖，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，從而|F1F2|＝4，由對稱性不妨設(shè)P在右支上， 設(shè)|PF2|＝m， 則|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2為銳角三角形， 結(jié)合實(shí)際意義可知m需滿足 解得－1＋

12、<8. 答案：(2，8) 14．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為. (1)求此雙曲線的方程； (2)設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面積． 解：(1)依題意得解得 故雙曲線的方程為－x2＝1. (2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x， 設(shè)A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0， 由＝得點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入－x2＝1， 整理得mn＝1.設(shè)∠AOB＝2θ，因?yàn)閠an＝2， 則tan θ＝，從而sin 2θ＝. 又|OA|＝m，|OB|＝n， 所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2. 8