2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)62 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 理（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)(六十二)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．(2019·孝感模擬)已知袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個球，其中取出1個白球計(jì)1分，取出1個紅球計(jì)2分，記X為取出3個球的總分值，則EX＝(　　) A.　　　　B．　　　　C．4　　　　D． B　[由題意知，X的所有可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以EX＝3×＋4×＋5×＝.] 2．已知某批零件的長度誤差ξ(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(

2、　　) (附：正態(tài)分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.4%) A．0.045 5 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4 B　[因?yàn)镻(－3＜ξ＜3)＝0.683，P(－6＜ξ＜6)＝0.954， 所以P(3＜ξ＜6)＝×(0.954－0.683)＝0.135 5，故選B．] 3．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 2 P x y 若Eξ＝，則Dξ＝(　　) A．1 B． C. D．2 B　[∵Eξ＝，∴由隨機(jī)變量ξ的分布列知，∴則Dξ＝2×＋2×＋2

3、×＋2×＝.] 4．(2018·合肥二檢)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為ξ，則Eξ＝(　　) A．3 B． C. D．4 B　[ξ的可能取值為2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，則Eξ＝2×＋3×＋4×＝，故選B．] 5．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每名學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生每次發(fā)球成功的概率為p(0＜p＜1)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望EX＞1.75，則p的取值范圍是(　　) A. B． C. D． C　[由已知條件可得P(X

4、＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則EX＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈.] 二、填空題 6．設(shè)X為隨機(jī)變量，X～B，若隨機(jī)變量X的均值EX＝2，則P(X＝2)等于________． 　[由X～B，EX＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6， 則P(X＝2)＝C24＝.] 7．(2019·?？谀M)某超市經(jīng)營的某種包裝優(yōu)質(zhì)東北大米的質(zhì)量X(單位：kg)服從正態(tài)分布N(25,0.22)，任意選取一袋這種大米，質(zhì)量在24.8～25.4 kg的概率為____

5、____．(附：若Z～N(μ，σ2)，則P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝95.4%，P(|Z－μ|＜3σ)＝99.7%) 0．818 5　[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2. ∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.683＋0.954)＝0.818 5.] 8．口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則EX＝________. 4．5　[X的取值為3,4,5. 又P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 3

6、 4 5 P 0.1 0.3 0.6 ∴E(X)＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5] 三、解答題 9．(2018·武漢模擬)某市高中某學(xué)科競賽中，某區(qū)4 000名考生的競賽成績的頻率分布直方圖如圖所示． (1)求這4 000名考生的平均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)； (2)認(rèn)為考生競賽成績z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取考生的平均成績和考生成績的方差s2，那么該區(qū)4 000名考生成績超過84.81分(含84.81分)的人數(shù)大約為多少？ (3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計(jì)全市參賽考生成績的情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取4名

7、考生，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3)．(精確到0.001) 附：①s2＝204.75，≈14.31； ②Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝95.4%； ③0.841 54≈0.501. [解]　(1)由題意知： 中間值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 ∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)， ∴這4 000名考生的平均成績?yōu)?0.5分． (2

8、)由題知Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5， σ2＝204.75，σ≈14.31， ∴Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)． 而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.683， ∴P(Z≥84.81)＝＝0.158 5. ∴競賽成績超過84.81分的人數(shù)大約為0.158 5×4 000＝634. (3)全市參賽考生成績不超過84.81分的概率為1－0.158 5＝0.841 5. 而ξ～B(4,0.841 5)， ∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 54≈1－0.501＝0.499. 10．(20

9、19·遼寧五校聯(lián)考)某商場銷售某種品牌的空調(diào)，每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)，商場每銷售一臺空調(diào)可獲利500元，若供大于求，則多余的每臺空調(diào)需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時每臺空調(diào)僅獲利潤200元． (1)若該商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)，求當(dāng)周的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位：臺，n∈N)的函數(shù)解析式f(n)； (2)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)需求量n(單位：臺)，整理得下表： 周需求量n 18 19 20 21 22 頻數(shù) 1 2 3 3 1 以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)，

10、X表示當(dāng)周的利潤(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望． [解]　(1)當(dāng)n≥20時，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000； 當(dāng)n≤19時，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2 000， ∴f(n)＝(n∈N)． (2)由(1)得f(18)＝8 800，f(19)＝9 400， f(20)＝10 000，f(21)＝10 200，f(22)＝10 400， ∴P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，P(X＝10 000)＝0.3，P(X＝10 200)＝0.3，P(X＝10 400)＝0.1， X的分布列為 X

11、 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400 P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 ∴EX＝8 800×0.1＋9 400×0.2＋10 000×0.3＋10 200×0.3＋10 400×0.1＝9 860. B組　能力提升 1．(2018·西安質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點(diǎn)的概率為(　　) A. B． C. D． B　[由題意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只

12、有一個零點(diǎn)，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.] 2．(2019·杭州模擬)已知0＜a＜，隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a －a 當(dāng)a增大時，(　　) A．Eξ增大，Dξ增大 B．Eξ減小，Dξ增大 C．Eξ增大，Dξ減小 D．Eξ減小，Dξ減小 B　[由題意得，Eξ＝－a＋，Dξ＝2×a＋2＋2×＝－a2＋2a＋， 又∵0＜a＜，∴當(dāng)a增大時，Eξ減小，Dξ增大．] 3．2018年高考前第二次適應(yīng)性訓(xùn)練結(jié)束后，某校對全市的英語成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)英語成績的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布N(95,8

13、2)的密度曲線非常擬合．據(jù)此估計(jì)：在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語成績超過95分的概率是________． 　[由題意可知每名學(xué)生的英語成績ξ～N(95,82)， ∴P(ξ＞95)＝，故所求概率P＝C4＝.] 4．某市為了調(diào)查學(xué)?！瓣柟怏w育活動”在高三年級的實(shí)施情況，從本市某校高三男生中隨機(jī)抽取一個班的男生進(jìn)行投擲實(shí)心鉛球(重3 kg)測試，成績在6.9米以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后，分成5組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖所示)，已知成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4. (1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)； (2)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機(jī)抽取兩名

14、，記ξ表示兩人中成績不合格的人數(shù)，利用樣本估計(jì)總體，求ξ的分布列、均值與方差． [解]　(1)由頻率分布直方圖，知成績在[9.9,11.4)的頻率為1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1. 因?yàn)槌煽冊赱9.9,11.4)的頻數(shù)是4，故抽取的總?cè)藬?shù)為＝40. 又成績在6.9米以上的為合格，所以這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為40－0.05×1.5×40＝37. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2，利用樣本估計(jì)總體，從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機(jī)抽取一名成績合格的概率為，成績不合格的概率為1－＝，可判斷ξ～B. P(ξ＝0)＝C×2＝， P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C×2＝， 故所求分布列為 X 0 1 2 P ξ的均值為Eξ＝0×＋1×＋2×＝， ξ的方差為Dξ＝2×＋2×＋2×＝. - 7 -