2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第11講 空間幾何體練習(xí) 文

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2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第11講 空間幾何體練習(xí) 文_第1頁
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1、第11講 空間幾何體 [考情分析] 空間幾何體的命題常以三視圖為載體,以幾何體或者組合體的面積、體積等知識(shí)為主線進(jìn)行考查,難度中等,相對(duì)穩(wěn)定.個(gè)別試題融入對(duì)函數(shù)與不等式的考查,難度較大. 熱點(diǎn)題型分析        熱點(diǎn)1 空間幾何體的三視圖 1.一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面,長(zhǎng)度與正(主)視圖的長(zhǎng)度一樣,側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面,高度與正(主)視圖的高度一樣,寬度與俯視圖的寬度一樣,即“長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等”. 2.由三視圖還原直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面; (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與

2、側(cè)面的特征,調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱的位置; (3)確定幾何體的直觀圖形狀. 3.多角度、多維度、多方位觀察長(zhǎng)方體、三棱錐、四棱錐不同放置的投影,在頭腦中形成較為清晰的模型意象,提升空間想象能力. 1.(2018·全國卷Ⅰ) 某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為(  ) A.2 B.2 C.3 D.2 答案 B 解析 根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬,圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一

3、為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為=2,故選B. 2.將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示A,B,C分別是△GHI三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為(  ) 答案 A 解析 解題時(shí)在題圖2的右邊放扇墻(心中有墻)可得答案為A. 1.三視圖與直觀圖相互轉(zhuǎn)化時(shí),根據(jù)觀察視角的不同,實(shí)虛線的正確使用至關(guān)重要,它是決定幾何體形狀的關(guān)鍵因素. 2.解題時(shí)可以借助長(zhǎng)(正)方體為框架,充分利用正(長(zhǎng))方體中棱與面的垂直關(guān)系進(jìn)行投影. 熱點(diǎn)2 空間幾何體的表面積與體積(高頻考點(diǎn)) 1.空間幾何體的常用公式 (1)柱體

4、、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式 ①S直棱柱側(cè)=ch(c為底面周長(zhǎng),h為體高); S圓柱側(cè)=ch(c為底面周長(zhǎng),h為體高); ②S正棱錐側(cè)=ch′(c為底面周長(zhǎng),h′為斜高); S圓錐側(cè)=cl(c為底面周長(zhǎng),l為母線); ③S正棱臺(tái)側(cè)=(c+c′)h′(c′,c分別為上,下底面的周長(zhǎng),h′為斜高); S圓臺(tái)側(cè)=(c+c′)l(c′,c分別為上,下底面的周長(zhǎng),l為母線). (2)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 ①V柱=Sh(S為底面面積,h為體高); ②V錐=Sh(S為底面面積,h為體高); ③V臺(tái)=(S++S′)h(S′,S分別為上,下底面面積,h為體高)(不要求記憶). (3)球的

5、表面積和體積公式 ①S球=4πR2(R為球的半徑); ②V球=πR3(R為球的半徑). 2.求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求三棱錐的體積:等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上; (2)求不規(guī)則幾何體的體積:常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解; (3)求表面積:其關(guān)鍵思想是空間問題平面化.                      1.(2017·全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)面是梯

6、形,這些梯形的面積之和為(  ) A.10  B.12  C.14  D.16 答案 B 解析 根據(jù)三視圖,得到該幾何體的直觀圖如右圖所示,由圖可知,該幾何體的面AA′DC和面BB′DC是兩個(gè)全等的梯形,因此所求的梯形面積和為2×(2+4)×2×=12,故選B. 2.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(  ) A.8π- B.4π- C.8π-4 D.4π+ 答案 A 解析 該幾何體為一個(gè)半圓柱中間挖去一個(gè)四面體, ∴體積V=π×22×4-××2×4×4=8π-. 3.(2016·全國卷Ⅲ)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是

7、某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為(  ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 答案 B 解析 由三視圖可知,該幾何體是以邊長(zhǎng)為3的正方形為底面的斜四棱柱(如圖所示),所以該幾何體的表面積為S=2×3×6+2×3×3+2×3×=54+18,故選B. 幾何體的表面積與體積的考查,往往是結(jié)合三視圖進(jìn)行的.易錯(cuò)點(diǎn)主要有兩個(gè): (1)不能準(zhǔn)確將三視圖還原幾何體(特別是求面積或者棱長(zhǎng)問題);如第1題和第3題,特別是第3題,題中幾何體為斜四棱柱,俯視圖由上下底面的投影組合而成,因而容易使得還原出現(xiàn)偏差.因此,借助長(zhǎng)(正)方體準(zhǔn)確還原幾何體的直觀圖是有效的

8、手段. (2)應(yīng)用公式不熟練,獲取數(shù)據(jù)信息有誤導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò).如第3題中,常誤用左視圖的高,作為幾何體左右側(cè)面的高,從而導(dǎo)致計(jì)算有誤.因此求解此類問題時(shí),一是由三視圖中的大小標(biāo)識(shí)確定該幾何體的各個(gè)度量;二是熟練掌握各類幾何體的表面積和體積公式求解. 熱點(diǎn)3 多面體與球的切、接問題 通常利用球與多面體(棱柱、棱錐),球與旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐)的內(nèi)接與外切等位置關(guān)系,考察兩個(gè)幾何體的相互聯(lián)系.求解這類問題時(shí),一般過球心及多面體中的接點(diǎn)、切點(diǎn)、球心或側(cè)棱等作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系.也可以只畫內(nèi)接、外切的幾何體直觀圖,確定圓心的位置,弄清球的半徑

9、(或直徑)與該幾何體已知量間的關(guān)系,列方程(組)求解. (2019·漳州模擬)在直三棱柱A1B1C1-ABC中,A1B1=3,B1C1=4,A1C1=5,AA1=2,則其外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為(  ) A. B. C. D.29 答案 A 解析 如圖1,分別取AC,A1C1的中點(diǎn)G,H,連接GH,取GH的中點(diǎn)O,連接OA,由題意,得A1B+B1C=A1C,即△A1B1C1為直角三角形,則點(diǎn)O為外接球的球心,OA為半徑,則外接球的半徑R=OA==; 如圖2,作三棱柱的中截面,則中截面三角形的內(nèi)心是該三棱柱的內(nèi)切球的球心,中截面三角形的內(nèi)切圓的半徑r==1,也是內(nèi)切

10、球的半徑,因?yàn)镽∶r=∶2,所以其外接球與內(nèi)切球的表面積的比值為=.故選A. 解決多面體與球的切、接問題時(shí),利用幾何體與球的空間直觀圖分析問題很難求解,這時(shí)就需要根據(jù)圖形,明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,從熟悉的圓的性質(zhì)中找到球的性質(zhì),從而找到解決問題的關(guān)鍵. 熱點(diǎn)4 交匯題型 立體幾何內(nèi)容與平面解析幾何之間關(guān)系密切,也與函數(shù)、三角、不等式有著千絲萬縷的聯(lián)系.近年高考對(duì)立體幾何的考察,會(huì)適度與上述內(nèi)容進(jìn)行融合,用代數(shù)的方法思考、解決空間幾何問題. 交匯點(diǎn)一 空間幾何體與函數(shù)、方程及不等式    典例1 如圖,△ABC內(nèi)接于圓O,AB是圓O的

11、直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,DC⊥平面ABC,AB=4,EB=2. 設(shè)AC=x,V(x)表示三棱錐B-ACE的體積,則函數(shù)V(x)的解析式為________,三棱錐B-ACE體積的最大值為________. 解析 ∵DC⊥平面ABC,DC∥BE, ∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABC中,∵AC=x, ∴BC=(0

12、 空間幾何體與函數(shù)、方程及不等式相交匯問題,常以考查某幾何量的最值為主要方式.其解決的常用方法是,找到引起變化的幾何量(線段長(zhǎng)或角度),并建立起所求幾何量與變化量之間的函數(shù)關(guān)系,再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性或均值不等式求解. (2017·全國卷Ⅰ) 如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的 等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F(xiàn)為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F(xiàn)重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為_

13、_______. 答案 4 解析 如圖,連接OD,交BC于點(diǎn)G, 由題意,知OD⊥BC,OG=BC. 設(shè)OG=x,則BC=2x,DG=5-x, 三棱錐的高h(yuǎn)= ==, S△ABC=×2x×3x=3x2,則三棱錐的體積 V=S△ABC·h=x2· =·. 令f(x)=25x4-10x5,x∈, 則f′(x)=100x3-50x4. 令f′(x)=0得x=2.當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最大值80,則V≤×=4. 所以三棱錐體積的最大值為4 cm3. 交匯點(diǎn)二 空間幾

14、何體與命題 典例2 (2019·東北三省四市高三第二次模擬)祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.它是中國古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題.意思是如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩個(gè)幾何體的截面面積恒等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.設(shè)A,B為兩個(gè)等高的幾何體,p:A,B的體積不相等;q:A,B在同高處的截面面積不恒等.根據(jù)祖暅原理可知,p是q的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 空間幾何體與命題交匯的問題,常在充要條件處設(shè)置障礙.解決此類問題的關(guān)鍵,在于明確命題的條件和結(jié)論互推的結(jié)果.因其內(nèi)容主要與幾何體

15、的基本概念相結(jié)合,因此解決過程中,一是要明確各基本定義、定理,正確的能進(jìn)行論證;二是利用具體圖形作分析,舉出相應(yīng)的反例. 設(shè)平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),且b⊥m,則“α⊥β ”是“a⊥b”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 若α⊥β,因?yàn)棣痢搔拢絤,b?β,b⊥m,所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α,又a?α,所以a⊥b;反過來,當(dāng)a∥m時(shí),因?yàn)閎⊥m,一定有b⊥a,但不能保證b⊥α,所以不能推出α⊥β.故選A. 真題自檢感悟 1.(2019·全國卷Ⅰ

16、)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為(  ) A.8π B.4π C.2π D.π 答案 D 解析 設(shè)PA=PB=PC=2a, 則EF=a,F(xiàn)C=,∴EC2=3-a2. 在△PEC中, cos∠PEC=. 在△AEC中,cos∠AEC=. ∵∠PEC與∠AEC互補(bǔ),∴3-4a2=1,a=, 故PA=PB=PC=.又AB=BC=AC=2, ∴PA⊥PB⊥PC, ∴外接球的直徑2R= =, ∴R=,∴V=πR3=π×3=π.故選D. 2.(2

17、019·全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有________個(gè)面,其棱長(zhǎng)為________. 答案 26 -1 解析 先求面數(shù),有如下兩種方法. 解法一:由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知,其上部分有9個(gè)面,中間部分有8個(gè)面,下部分有9個(gè)面,共有2×9+8=26個(gè)面.

18、 解法二:一般地,對(duì)于凸多面體, 頂點(diǎn)數(shù)(V)+面數(shù)(F)-棱數(shù)(E)=2(歐拉公式). 由圖形知,棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24, 故由V+F-E=2,得面數(shù)F=2+E-V=2+48-24=26. 再求棱長(zhǎng). 如圖,作中間部分的橫截面,由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH,如圖,設(shè)其邊長(zhǎng)為x,則正八邊形的邊長(zhǎng)即為半正多面體的棱長(zhǎng).連接AF,過H,G分別作HM⊥AF,GN⊥AF,垂足分別為M,N,則AM=MH=NG=NF=x. 又AM+MN+NF=1,即x+x+x=1. 解得x=-1,即半正多面體的棱長(zhǎng)為-1. 3.(2017·全國

19、卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為________. 答案 36π 解析 如圖,連接OA,OB. 由SA=AC,SB=BC,SC為球O的直徑,知OA⊥SC,OB⊥SC. 由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OA⊥SC,知OA⊥平面SCB. 設(shè)球O的半徑為r,則OA=OB=r,SC=2r, ∴三棱錐S-ABC的體積 V=×·OA=, 即=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π. 專題作業(yè) 一、選擇題 1.下列幾何體

20、各自的三視圖中,有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(  ) A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 答案 D 解析 ①正方體的三個(gè)視圖均為正方形,因此①不符合題意;②圓錐的正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰三角形,俯視圖為圓,因此②滿足條件;③三棱臺(tái)的正視圖為梯形,俯視圖為三角形,側(cè)視圖也為梯形,但其腰長(zhǎng)與正視圖的腰長(zhǎng)不等,故③不符合題意;④正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰三角形,俯視圖為正方形,所以④滿足條件,故選D. 2.某幾何體的三視圖,其正視圖、側(cè)視圖均是直徑為2的半圓,俯視圖是直徑為2的圓,則該幾何體的表面積為(  ) A.3π B.4π C.5π D.12π 答

21、案 A 解析 通過已知可得,本題的幾何體為半球,所以其表面積為半球面積加上一個(gè)大圓面積,即×4π×12+π×12=3π,故選A. 3.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(  ) A.12π B. C.8π D.4π 答案 A 解析 由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2,其體對(duì)角線為2即為球的直徑,所以球的表面積為4πR2=(2R)2π=12π,故選A. 4.(2019·湖南郴州4月模擬)一只螞蟻從正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)正方體的表面,按最短路線爬行到頂點(diǎn)C1的位置,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻?zhàn)疃膛佬新肪€的正視圖的是(  ) A.①

22、② B.①③ C.③④ D.②④ 答案 D 解析 將正方體進(jìn)行展開(如下圖1所示),從A走到C1的最短路線有圖中的a,b,c三個(gè)情況.將其折疊回正方體(如下圖2所示),路線為圖中位置,因此在正視圖中線路b滿足圖②,線路c滿足圖④,線路a沒有滿足條件的正視圖,故選D. 5.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,D為BC的中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為(  ) A.3 B. C.1 D. 答案 C 解析 如題圖,因?yàn)椤鰽BC是正三角形,且D為BC中點(diǎn),則AD⊥BC.又因?yàn)锽B1⊥平面ABC,AD?平面ABC,故BB1⊥AD,且B

23、B1∩BC=B,BB1,BC?平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1,所以AD是三棱錐A-B1DC1的高.所以V三棱錐A-B1DC11=S△B1DC1·AD=××=1.故選C. 6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為(  ) A.25π B.26π C.32π D.36π 答案 C 解析 由三視圖可知,該幾何體是以俯視圖的圖形為底面,一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐.如圖,三棱錐A-BCD即為該幾何體,且AB=BD=4,CD=2,BC=2,則BD2=BC2+CD2,即∠BCD=90°,故底面外接圓的直徑2r=BD=4.易知AD為三棱錐A-BCD的外接球的直

24、徑.設(shè)球的半徑為R,則由勾股定理得4R2=AB2+4r2=32,故該幾何體的外接球的表面積為4πR2=32π. 7.等腰直角三角形ABC中,A=90°,該三角形分別繞AB,BC所在直線旋轉(zhuǎn),則2個(gè)幾何體的體積之比為(  ) A.1∶ B.∶1 C.1∶2 D.2∶1 答案 B 解析 依題意,得出兩個(gè)幾何體直觀圖如圖1和圖2所示,設(shè)AB=1,則BC=,可得圖1幾何體的體積V1=×1×π×12=,圖2幾何體的體積V2=2×××π×2=,因此兩個(gè)幾何體的體積之比==,故選B. 8.(2019·遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體模擬)在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水,將該圓柱筒分

25、別豎直、水平、傾斜放置時(shí),指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是(  ) A.圓面 B.矩形面 C.梯形面 D.橢圓面或部分橢圓面 答案 C 解析 將圓柱桶豎放,水面為圓面;將圓柱桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱桶水平放置,水面為矩形面,所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面,故選C. 9.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積為(  ) A.4π B.12π C.16π D.64π 答案 C 解析 如圖三棱錐S-ABC,在△ABC中,由余弦

26、定理得, BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3, ∴AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC. 又SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥BC, ∴三棱錐S-ABC可補(bǔ)成分別以AB=1,BC=,SA=2為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體, ∴球O的直徑為=4, 故球O的表面積為4π×22=16π.故選C. 10.祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”,其意思是:如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得兩個(gè)幾何體的截面面積恒等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體:圖①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體;圖②、圖③、圖④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球,則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為(  )

27、 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 答案 C 解析 由圖中所給數(shù)據(jù),可得幾何體①④在同高處截得兩個(gè)幾何體的截面面積相等,故選C. 11.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為(  ) A. B.16π C.9π D. 答案 A 解析 由圖知, R2=(4-R)2+2, ∴R2=16-8R+R2+2, ∴R=. ∴S表=4πR2=4π×=,故選A. 12.三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上,且AB=BC=CA=2,平面PAB⊥平面ABC,則三棱錐P-ABC體積的最大值是(  ) A.4 B.3

28、 C.4 D.3 答案 B 解析 依題意,三棱錐各頂點(diǎn)在半徑為2的球面上,且AB=BC=CA=2,則△ABC的截面為球大圓上的三角形,設(shè)圓心為O,AB的中點(diǎn)為N,則ON=1.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC,所以三棱錐P-ABC的體積取最大值時(shí),PN⊥AB,PN⊥平面ABC,PN=,所以三棱錐的最大體積為××(2)2×=3,故選B. 二、填空題 13.如圖,三棱柱ABC-A′B′C的底面面積為S,高為h,則三棱錐A′-BB′C的體積為________. 答案 Sh 解析 三棱柱可以分割為體積相等的三個(gè)三棱錐,故三棱錐體積為棱柱體積的. 14.(2019·天

29、津高考)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為________. 答案  解析 由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半,圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對(duì)角線的一半.因?yàn)樗睦忮F的底面正方形的邊長(zhǎng)為,所以底面正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2,所以圓柱的底面半徑為.又因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)均為,所以四棱錐的高為 =2,所以圓柱的高為1.所以圓柱的體積V=π2·1=. 15.已知在三棱錐P-ABC中,VP-ABC=,∠APC=,∠BPC=,PA⊥AC,PB⊥BC,且平面PAC⊥平面PBC,那么三棱錐

30、P-ABC外接球的體積為________. 答案  解析 根據(jù)題意三棱錐如圖,取PC中點(diǎn)D,連接AD,BD.因?yàn)椤螦PC=,∠BPC=,PA⊥AC,PB⊥BC,所以AD=PD=CD=BD,因此D即為三棱錐外接球球心.由直角三角形可得PC=2r,PB=r,BC=r.又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC,AD⊥PC,所以AD⊥平面PCB,故VP-ABC=·AD··PB·BC=r3=?r=2,所以外接球的體積為V=πr3=. 16.(2019·全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體.其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F(xiàn),G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g. 答案 118.8 解析 由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形,對(duì)角線長(zhǎng)分別為6 cm和4 cm, 故V挖去的四棱錐=××4×6×3=12(cm3). 又V長(zhǎng)方體=6×6×4=144(cm3), 所以模型的體積為V長(zhǎng)方體-V挖去的四棱錐=144-12=132(cm3), 所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9=118.8(g). - 20 -

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