2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第1講 排列與組合、二項式定理教案

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1、 專題六 概率與統(tǒng)計第1講　排列與組合、二項式定理 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(2012·安徽)(x2＋2)5的展開式的常數(shù)項是 A．－3　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．3 解析　第一個因式取x2，第二個因式取得：1×C(－1)4＝5，第一個因式取2，第二個因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2展開式的常數(shù)項是5＋(－2)＝3. 2．(2012·大綱全國卷)6名選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有 A．240種 B．360種 C．480種 D．720種 解析　解法一　甲先安排在除開始與結(jié)尾的位置有C個選擇，剩

2、余的元素與位置進(jìn)行全排列有A種，故不同的演講次序共有CA＝480種． 解法二　若不考慮元素甲的特殊性，共有A中演講次序，其中甲在第一個演講的有A種，甲在最后一個演講的也有A種，故不同的演講次序共有A－A－A＝480(種)． 考題分析 考查排列與組合的題目高考中多以小題的形式出現(xiàn)，與兩個計數(shù)原理綜合應(yīng)用；二項式定理的問題常涉及展開式中項的系數(shù)，特定項的求法，也可與其他知識交匯命題，如定積分計算，數(shù)列知識，方程根的個數(shù)等． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一：兩個原理及其應(yīng)用 【例1】用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，

3、如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？ [審題導(dǎo)引]　顏色可以反復(fù)使用，即說明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個小方格的涂法． [規(guī)范解答]　如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．　 1 2 3 4 ①當(dāng)?shù)?、第3個小方格涂不同顏色時，有A＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法．由分步計數(shù)原理可知，有5×12×3＝180(種)不同的涂法； ②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也

4、有4種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可知，有5×4×4＝80(種)不同涂法． 由分類加法計數(shù)原理可得，共有180＋80＝260(種)不同的涂法． 【規(guī)律總結(jié)】 涂色問題的解決方法 (1)涂色問題沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結(jié)合兩個原理與排列組合的知識靈活處理，其難點(diǎn)是對相鄰區(qū)域顏色不同的處理，解決的方法往往要采用分類討論的方法，根據(jù)“兩個原理”計算． (2)本題也可以考慮對使用的顏色的種數(shù)進(jìn)行分類，如果使用2種顏色，則只能是第1,4涂一種、第2,3涂一種，方法數(shù)是CA＝20；若是使用3種顏色，若第1,2,3方格不同色，第4個方格只能和第1個方格相同，方法數(shù)是CA＝60，如

5、果第1,2,3方格只用兩種顏色，則第4個方格只能用第3種顏色，方法數(shù)是C×3×2＝60；如果使用4種顏色，方法數(shù)是CA＝120.根據(jù)加法原理總的涂法種數(shù)是260. [易錯提示]　在涂色問題中一定要看顏色是否可以重復(fù)使用，不允許重復(fù)使用的涂色問題實際上就是一般的排列問題，當(dāng)顏色允許重復(fù)使用時，要充分利用“兩個基本原理”分析解決問題． 【變式訓(xùn)練】 1．某次活動中，有30個人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演，要求這3人任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)． 解析　其中最先選出的一個有30種方法，此時這個人所在的行和列不能再選人，還剩一個5行4列

6、的隊形，選第二個人有20種方法，此時該人所在的行和列不能再選人，還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×12＝7 200. 答案　7 200 考點(diǎn)二：排列與組合 【例2】(1)(2012·海淀一模)從甲、乙等5個人中選出3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數(shù)是 A．12　 B．24　 C．36　　　D．48 (2)(2012·深圳模擬)值域為{2,5,10}，其對應(yīng)關(guān)系為y＝x2＋1的函數(shù)的個數(shù)為 A．1 B．27 C．39 D．8 [審題導(dǎo)引]　(1)分“選甲”與“不選甲”兩類進(jìn)行討論； (2)根據(jù)函數(shù)

7、的值域，求出函數(shù)定義域中可能包含的元素，分類討論確定其定義域． [規(guī)范解答]　(1)若選甲，則有AA種排法； 若不選甲，則有A種排法，則共有AA＋A＝48(種)． (2)分別由x2＋1＝2，x2＋1＝5，x2＋1＝10解得x＝±1，x＝±2，x＝±3，由函數(shù)的定義，定義域中元素的選取分四種情況： ①取三個元素：有C·C·C＝8(種)； ②取四個元素：先從±1，±2，±3三組中選取一組C，再從剩下的兩組中選兩個元素C·C，故共有C·C·C＝12(種)； ③取五個元素：C＝6(種)； ④取六個元素：1種． 由分類計數(shù)原理，共有8＋12＋6＋1＝27(種)． [答案]　(1)D　(

8、2)B 【規(guī)律總結(jié)】 排列、組合問題的解法 解排列組合綜合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論．哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等；“分類”就是對于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決． 【變式訓(xùn)練】 2．(2012·寧波模擬)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 A．14 B．24 C

9、．28 D．48 解析　選1名女生的方案有：CC種； 選2名女生的方案有：CC種； 故至少選1名女生共有：CC＋CC＝14種方案． 答案　A 3．(2012·銀川模擬)用0,1,2,3,4排成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是 A．36 B．32 C．24 D．20 解析　0,1,2,3,4五個數(shù)字，偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰的排法共有AAA種排法，其中0在首位的排法有AA種，所以共有AAA－AA＝20個五位數(shù)． 答案　D 考點(diǎn)三：二項式定理 【例3】(1)(2012·西城二模)(x

10、－2)6的展開式中，x3的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． (2)已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________． [審題導(dǎo)引]　(1)利用二項展開式的通項公式求解； (2)采用賦值法，分別求出a0＋a2＋a4和a1＋a3＋a5. [規(guī)范解答]　(1)(x－2)6的展開式中通項公式為 Tr＋1＝Cx6－r(－2)r， 令r＝3，得T4＝Cx3·(－2)3＝－160x3， 所以x3的系數(shù)是－160. (2)分別令x＝1、x＝－1得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0. a0－

11、a1＋a2－a3＋a4－a5＝32， 由此解得a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16， (a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256. [答案] 　(1)－160　(2)－256 【規(guī)律總結(jié)】 五招制勝，解決二項式問題 二項式定理是一個恒等式，應(yīng)對二項式定理問題主要有五種方法： (1)特定項問題通項公式法；(2)系數(shù)和與差型問題賦值法；(3)近似問題截項法；(4)整除(或余數(shù))問題展開法；(5)最值問題不等式法． [易錯提示]　在二項式定理問題中，常見的誤區(qū)有： (1)二項展開式的通項Tk＋1中，項數(shù)與k的關(guān)系搞不清； (2)二項式系數(shù)與各項的系數(shù)混淆不清；

12、 (3)在展開二項式(a－b)n或求特定項時，忽略中間的“－”號． 【變式訓(xùn)練】 4．(2012·武漢模擬)4展開式中常數(shù)為________． 解析　4展開式中的通項為 Tr＋1＝C(－1)rx12－4r， 令12－4r＝0，得r＝3， 所以常數(shù)項為T4＝C(－1)3＝－4. 答案?。? 5．(2012·山師附中模擬)二項式(1＋sin x)n的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項的值為，則x在[0,2π]內(nèi)的值為________． 解析　(1＋sin x)n的展開式中末尾兩項的系數(shù)和為 C＋C＝n＋1＝7， ∴n＝6，則(1＋sin x)6的展開式中系數(shù)

13、最大的一項為 T4＝C(sin x)3， ∴C(sin x)3＝，∴sin x＝. 又x∈[0,2π]，∴x＝或. 答案　或 名師押題高考 【押題1】　學(xué)校組織高一年級4個班外出春游，每個班從指定的甲、乙、丙、丁四個景區(qū)中任選一個游覽，則恰有兩個班選擇了甲景區(qū)的選法共有________種． 解析　從4個班中選2個班游覽甲景區(qū)，有C種選法，剩余的2個班各有3種選法，有32種選法，根據(jù)乘法原理知，C·32＝54. [押題依據(jù)]　兩個計數(shù)原理、排列與組合是解決計數(shù)問題的工具，在高考試題中可能單獨(dú)命題，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，也可能與概率統(tǒng)計相結(jié)合命題，難度中等或偏下 【押題2】設(shè)a＝sin xdx，則二項式4的展開式的常數(shù)項是 A．24　　　　　　　　 B．－24 C．48 D．－48 解析　a＝sin xdx＝－cos x＝2， ∴＝的展開式中的通項為 Tr＋1＝(－1)rCx2－r·24－r，令2－r＝0，得r＝2， ∴T3＝(－1)2C·22＝6×4＝24. 答案　A [押題依據(jù)]　二項展開式的通項公式的運(yùn)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般用以求展開式中的特定項，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，本題與定積分交匯命題，立意新穎、考查全面，故押此題． - 5 -