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1、專題限時集訓(十六) 選修4－5 不等式選講
(建議用時：20分鐘)
1．已知函數f(x)＝|a－3x|－|2＋x|.
(1)若a＝2，解不等式f(x)≤3；
(2)若存在實數a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，求實數a的取值范圍．
[解](1)當a＝2時，不等式f(x)≤3即|2－3x|－|2＋x|≤3，則或或解得－≤x≤，
所以不等式f(x)≤3的解集為.
(2)不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|等價于|a－3x|－3|2＋x|≥1－a，即|3x－a|－|3x＋6|≥1－a.
由絕對值不等式的性質知|3x－a|－|3x＋6|≤|(3x－a)－(3x＋6)|＝
2、|a＋6|.
若存在實數a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，則|a＋6|≥1－a，解得a≥－，所以實數a的取值范圍是 .
2．已知函數f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R)．
(1)求f(x)的最大值m；
(2)設a，b，c為正實數，且2a＋3b＋4c＝m，
求證：＋＋≥3.
[解](1)法一：由f(x)＝
知f(x)∈[－3,3]，即m＝3.
法二：由絕對值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，得m＝3.
法三：由絕對值不等式的幾何意義知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3,3](x∈R)，即m＝3.
(2)證明：∵2a＋3b＋4c＝3(a
3、，b，c＞0)，
∴＋＋＝(2a＋3b＋4c)·
＝≥3.
當且僅當2a＝3b＝4c，
即a＝，b＝，c＝時取等號，
即＋＋≥3.
3．已知函數f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
(1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)當a＜2時，函數f(x)的最小值為a－1，求實數a的值．
[解] (1)f(x)＋|x－1|≥2可化為＋|x－1|≥1.
∵＋|x－1|≥，∴≥1, 解得a≤0或a≥4.
∴實數a的取值范圍為(－∞，0]∪[4，＋∞)．
(2)函數f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零點為和1，
當a＜2時，＜1，
4、
∴f(x)＝
易知f(x)在單調遞減，在單調遞增，
∴f(x)min＝f＝－＋1＝a－1，解得a＝＜2.
∴a＝.
內容
押題依據
分段函數的圖象含絕對值不等式的解法
以含有兩個絕對值的函數為背景，考查不等式的解法，考查分類討論、數形結合思想、轉化化歸思想和應用意識.
【押題】 已知函數f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若直線y＝x＋a與y＝f(x)的圖象所圍成的多邊形面積為，求實數a的值．
[解](1)由題意知f(x)＝
由f(x)≥3可知：
(ⅰ)當x≥1時，3x≥3，即x≥1；
(ⅱ)當－＜x＜1時，x＋2≥3，即x≥1，與－＜x＜1矛盾，舍去；
(ⅲ)當x≤－時，－3x≥3，即x≤－1.
綜上可知不等式f(x)≥3的解集為{x|x≤－1或x≥1}．
(2)畫出函數y＝f(x)的圖象，如圖所示，
其中A，B(1,3)，由直線AB的斜率kAB＝1，知直線y＝x＋a與直線AB平行，若要圍成多邊形，則a＞2.
易得直線y＝x＋a與y＝f(x)的圖象交于兩點C，D，則|CD|＝·＝a，
平行線AB與CD間的距離d＝＝，|AB|＝，
∴梯形ABCD的面積S＝·＝·(a－2)＝(a＞2)，
即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4，
故所求實數a的值為4.
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