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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(十六) 選修4－5 不等式選講
(建議用時(shí)：40分鐘)
1．(2019·咸陽(yáng)三模)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)求不等式f(x)≥x＋3的解集；
(2)關(guān)于x的不等式f(x)－2|x＋2|≥a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解] (1)f(x)≥x＋3，即|2x－4|＋1≥x＋3，
則2|x－2|≥x＋2，
當(dāng)x≥2時(shí)，解得x≥6，
當(dāng)x<2時(shí)，解得x≤，
所以原不等式的解集為∪[6，＋∞)．
(2)由不等式f(x)－2|x＋2|≥a在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解可得：a≤2|x－2|－2|x＋2|＋1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，
令g(x)＝2|x－2|－2
2、|x＋2|＋1，則a≤g(x)min，
因?yàn)間(x)＝2|x－2|－2|x＋2|＋1≥2|(x－2)－(x＋2)|＋1＝9，
所以a≤g(x)min＝9，即a∈(－∞，9]．
2．(2019·鄭州二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a>0)，g(x)＝x2－x.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式g(x)≥f(x)的解集；
(2)已知f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍．
[解] (1)當(dāng)a＝1時(shí)，g(x)≥f(x)?
或或
解得x≤－1或x≥3，
所以原不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}．
(2)f(x)＝
當(dāng)0
3、a＝1；
當(dāng)a>1時(shí)，f(x)min＝f＝a＋＞2，a>1，
綜上，a的取值范圍是[1，＋∞)．
3．(2019·濰坊二模)已知函數(shù)f(x)＝|ax－2|，不等式f(x)≤4的解集為{x|－2≤x≤6}．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)設(shè)g(x)＝f(x)＋f(x＋3)，若存在x∈R，使g(x)－tx≤2成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
[解] (1)由|ax－2|≤4得－4≤ax－2≤4，即－2≤ax≤6，
當(dāng)a>0時(shí)，－≤x≤，所以解得a＝1；
當(dāng)a<0時(shí)，≤x≤－，所以無(wú)解，
所以實(shí)數(shù)a的值為1.
(2)由已知g(x)＝f(x)＋f(x＋3)＝|x＋1|＋|x－2|＝
不等
4、式g(x)－tx≤2，即g(x)≤tx＋2，
由題意知y＝g(x)的圖象有一部分在直線y＝tx＋2的下方，作出對(duì)應(yīng)圖象：
由圖可知，當(dāng)t<0時(shí)，t≤kEM；當(dāng)t>0時(shí)，t≥kFM，
又因?yàn)閗EM＝－1，kFM＝，
所以t≤－1或t≥，
即t∈(－∞，－1]∪.
4．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，證明：a≤－3或a≥－1.
[解] (1)因?yàn)閇(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2
5、[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)·(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝－，z＝－時(shí)等號(hào)成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值為.
(2)證明：因?yàn)閇(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2
＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]
≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y
6、＝，z＝時(shí)等號(hào)成立．
所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值為.
由題設(shè)知≥，解得a≤－3或a≥－1.
題號(hào)
內(nèi)容
押題依據(jù)
1
絕對(duì)值不等式的解法、不等式的證明
本題考查考生絕對(duì)值不等式的解法及用分析法證明不等式問(wèn)題，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)
2
絕對(duì)值不等式的解法與絕對(duì)值有關(guān)的函數(shù)最值問(wèn)題
本題考查了絕對(duì)值不等式的解法及函數(shù)最值問(wèn)題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)
【押題1】 已知函數(shù)f(x)＝|x＋|－|2x＋|＋，M為不等式f(x)<0的解集．
(1)求M；
(2)證明：當(dāng)m，n∈M時(shí)，|mn＋2|>|m＋n|
7、.
[解] (1)∵f(x)<0，∴|x＋|－|2x＋|＋<0.
當(dāng)x<－時(shí)，不等式可化為－x－＋(2x＋)＋<0，解得x<－，∴x<－；
當(dāng)－≤x≤－時(shí)，不等式可化為x＋＋(2x＋)＋<0，解得x<－，無(wú)解；
當(dāng)x>－時(shí)，不等式可化為x＋－(2x＋)＋<0，解得x>，∴x>.
綜上所述，M＝{x|x<－或x>}．
(2)要證|mn＋2|>|m＋n|，即證|mn＋2|2>2|m＋n|2，
即證m2n2－2m2－2n2＋4>0，即證(m2－2)(n2－2)>0.
由(1)知，M＝{x|x<－或x>}，且m，n∈M，∴m2>2，n2>2，
∴(m2－2)(n2－2)>0成立，故|mn＋2|>|m＋n|得證．
【押題2】 設(shè)函數(shù)f(x)＝|ax＋1|.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)＋2x>2；
(2)當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)g(x)＝f(x)＋|x＋1|，若g(x)的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．
[解] (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x，所以或解得x>，
故原不等式的解集為.
(2)當(dāng)a>1時(shí)，－1<－，
g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝
由于函數(shù)g(x)在上遞減，在上遞增，則g(x)min＝g＝1－，從而1－＝，得a＝2.
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