2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第6節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)習題 理（含解析）新人教A版

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1、第6節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 最新考綱　1.理解對數(shù)的概念及其運算性質，知道用換底公式將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用；2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2，10，的對數(shù)函數(shù)的圖象；3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù). 知 識 梳 理 1.對數(shù)的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 2.對數(shù)的性質、換底公式與運算性質 (1)對數(shù)的

2、性質：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 3.對數(shù)函數(shù)及其性質 (1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞). (2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質 a>1 0

3、性質 定義域：(0，＋∞) 值域：R 當x＝1時，y＝0，即過定點(1，0) 當x>1時，y>0； 當01時，y<0； 當00 在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù) 4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線y＝x對稱. [微點提醒] 1.換底公式的兩個重要結論 (1)logab＝；(2)logambn＝logab. 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R. 2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增

4、大. 3.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(1，0)，且過點(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限. 基 礎 自 測 1.判斷下列結論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)log2x2＝2log2x.(　　) (2)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對數(shù)函數(shù).(　　) (3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同.(　　) (4)當x>1時，若logax>logbx，則a

5、logax＞logbx，但a與b的大小不確定，故(4)錯. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(必修1P73T3改編)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，則(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析　∵01. ∴c>a>b. 答案　D 3.(必修1P74A7改編)函數(shù)y＝的定義域是________. 解析　由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1. ∴

6、2log510＋log50.25＝(　　) A.0 B.2 C.4 D.6 解析　原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 答案　D 5.(2019·武漢月考)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的是(　　) A.a>1，c>1 B.a>1，01 D.00，即logac>0，所以0

7、·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，則a＝________. 解析　由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7. 答案?。? 考點一　對數(shù)的運算 【例1】 (1)計算：÷100－＝________. (2)計算：＝________. 解析　(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 答案　(1)－20　(2)1 規(guī)律方法　1.在對數(shù)運算中，先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后

8、正用對數(shù)運算法則化簡合并. 2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算. 3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運算中應注意互化. 【訓練1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差數(shù)列，則x的值等于(　　) A.1 B.0或 C. D.log23 (2)(2019·成都七中檢測)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，則a＝________，b＝________. 解析　(1)由題意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(

9、2x＋1)， ∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23. (2)設logb a＝t，則t>1，因為t＋＝， 所以t＝2，則a＝b2. 又ab＝ba，所以b2b＝bb2， 即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 答案　(1)D　(2)4　2 考點二　對數(shù)函數(shù)的圖象及應用　 【例2】 (1)(2019·濰坊一模)若函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是(　　) (2)當x∈(1，2)時，不等式(x－1)2

10、) B.(1，2) C.(1，2] D. 解析　(1)由f(x)在R上是減函數(shù)，知01時，y＝loga(x－1)的圖象由y＝logax的圖象向右平移一個單位得到. 因此選項D正確. (2)由題意，易知a>1. 在同一坐標系內(nèi)作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的圖象. 若y＝logax過點(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2. 根據(jù)題意，函數(shù)y＝logax，x∈(1，2)的圖象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 結合圖象，a的取值范

11、圍是(1，2]. 答案　(1)D　(2)C 規(guī)律方法　1.在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項. 2.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結合法求解. 【訓練2】 (1)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是(　　) A.0

12、值范圍是________. 解析　(1)由函數(shù)圖象可知，f(x)在R上單調遞增，又y＝2x＋b－1在R上單調遞增，故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知－1

13、究 角度1　對數(shù)函數(shù)的性質 【例3－1】 (2017·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　) A.f(x)在(0，2)上單調遞增 B.f(x)在(0，2)上單調遞減 C.y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱 D.y＝f(x)的圖象關于點(1，0)對稱 解析　由題意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定義域為(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復合函數(shù)的單調性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，2)上單調遞減，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的圖象關于直線

14、x＝1對稱，C正確，D錯誤. 答案　C 角度2　比較大小或解簡單的不等式 【例3－2】 (1)(一題多解)(2018·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關系為(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b (2)若loga(a2＋1)1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b. 法二　log＝log23

15、，如圖，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝log2x，y＝ln x的圖象，由圖知c>a>b. (2)由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a， 又loga(a2＋1)1，∴a>.綜上，a∈. 答案　(1)D　(2)C 角度3　對數(shù)型函數(shù)性質的綜合應用 【例3－3】 已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax). (1)當x∈[0，2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由. 解　(1)∵a>0

16、且a≠1，設t(x)＝3－ax， 則t(x)＝3－ax為減函數(shù)， x∈[0，2]時，t(x)的最小值為3－2a， 當x∈[0，2]時，f(x)恒有意義， 即x∈[0，2]時，3－ax>0恒成立. ∴3－2a>0.∴a<. 又a>0且a≠1，∴a的取值范圍是(0，1)∪. (2)t(x)＝3－ax，∵a>0， ∴函數(shù)t(x)為減函數(shù). ∵f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴y＝logat為增函數(shù)， ∴a>1，x∈[1，2]時，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)， ∴即 故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，

17、并且最大值為1. 規(guī)律方法　1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質，都要在其定義域上進行. 2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤. 3.在解決與對數(shù)函數(shù)相關的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調性來求解.在利用單調性時，一定要明確底數(shù)a的取值對函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件. 【訓練3】 (1)(2016·全國Ⅰ卷)若a>b>0，0cb (2)若函數(shù)f(x)＝loga(a>0，a≠1)在區(qū)間內(nèi)恒有f(x)>0

18、，則f(x)的單調遞增區(qū)間為________. 解析　(1)由y＝xc與y＝cx的單調性知，C，D不正確； ∵y＝logcx是減函數(shù)，得logca0，所以a>1，所以函數(shù)y＝logaM為增函數(shù)， 又M＝－，因此M的單調遞增區(qū)間為. 又x2＋x>0，所以x>0或x<－， 所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞). 答

19、案　(1)B　(2)(0，＋∞) [思維升華] 1.對數(shù)值取正、負值的規(guī)律 當a>1且b>1或00； 當a>1且01時，logab<0. 2.利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調性來解決. 3.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結合；(2)找中間量結合函數(shù)單調性. 4.多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y＝1交點的橫坐標進行判定. [易錯防范] 1.在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)y＝

20、logax的定義域應為(0，＋∞).對數(shù)函數(shù)的單調性取決于底數(shù)a與1的大小關系，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時，要分01兩種情況討論. 2.在運算性質logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件，在無M>0的條件下應為logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α為偶數(shù)). 3.解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1.已知函數(shù)f(x)＝則f(2＋log23)的值為(　　) A.24 B.16 C.12 D.8 解析　因為3<2＋log23<4

21、，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24. 答案　A 2.(2018·天津卷)已知a＝log3 ，b＝，c＝log ，則a，b，c的大小關系為(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　log ＝log3－15－1＝log35，因為函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以log35>log3 >log33＝1，因為函數(shù)y＝在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以<＝1，故c>a>b. 答案　D 3.(2018·張家界三模)在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(

22、x＋2)(a>0，且a≠1)的圖象大致為(　　) 解析　由題意，知函數(shù)f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)為單調遞減函數(shù)，當02，且函數(shù)g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上為單調遞減函數(shù)，C，D均不滿足；當a>1時，函數(shù)f(x)＝2－ax的零點x＝<2，且x＝>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)，排除B，綜上只有A滿足. 答案　A 4.(2019·肇慶二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，則(　　) A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù) B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0

23、，10)上是增函數(shù) C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù) D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù) 解析　由得x∈(－10，10)， 且f(x)＝lg(100－x2). ∴f(x)是偶函數(shù)， 又t＝100－x2在(0，10)上單調遞減，y＝lg t在(0，＋∞)上單調遞增，故函數(shù)f(x)在(0，10)上單調遞減. 答案　D 5.已知函數(shù)f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，則＋＝(　　) A. B.1 C.2 D.4 解析　由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0， ∴l(xiāng)n m＝－ln n，則mn＝1.

24、所以＋＝＝＝2. 答案　C 二、填空題 6.lg＋2lg 2－＝________. 解析　lg＋2lg 2－＝lg＋lg 22－2 ＝lg－2＝1－2＝－1. 答案　－1 7.(2019·昆明診斷)設f(x)＝lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是________. 解析　由f(x)是奇函數(shù)可得a＝－1， ∴f(x)＝lg，定義域為(－1，1). 由f(x)<0，可得0<<1，∴－10時，f(2－a)＝－

25、log2(1＋a)＝1. 解得a＝－，不合題意. 當2－a≥2，即a≤0時，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2. 答案?。? 三、解答題 9.設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定義域； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值. 解　(1)∵f(1)＝2，∴l(xiāng)oga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2. 由得－1＜x＜3， ∴函數(shù)f(x)的定義域為(－1，3). (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1

26、＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴當x∈[0，1]時，f(x)是增函數(shù)； 當x∈時，f(x)是減函數(shù)， 故函數(shù)f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logx. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2. 解　(1)當x<0時，－x>0，則f(－x)＝log(－x). 因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)， 所以函數(shù)f(x)的解析式為 f(x)＝ (2)因為f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函數(shù)，

27、所以不等式f(x2－1)>－2轉化為f(|x2－1|)>f(4). 又因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 所以|x2－1|<4，解得－0且a≠1，函數(shù)f(x)＝loga(x＋)在區(qū)間(－∞， ＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝loga||x|－b|的圖象是(　　) 解析　∵函數(shù)f(x)＝loga(x＋)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函數(shù)f(x)＝loga(x＋)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以a>1. 所以g

28、(x)＝loga||x|－1|，當x>1時，g(x)＝loga(x－1)為增函數(shù)，排除B，D；當01. 則x＝log2t＝，同理，y＝，z＝. ∴2x－3y＝－＝ ＝>0， ∴2x>3y. 又∵2x－5z＝－＝＝<0， ∴2x<5z，∴3y<2x<5z. 答

29、案　D 13.已知函數(shù)f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍是________. 解析　令g(x)＝mx2＋2mx＋1值域為A，∵函數(shù)f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)的值域為R，∴(0，＋∞)?A，當m＝0時，g(x)＝1，f(x)的值域不是R，不滿足條件；當m≠0時，解得m≥1. 答案　[1，＋∞) 14.已知函數(shù)f(x)＝ln. (1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)對于x∈[2，6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求實數(shù)m的取值范圍. 解　(1)由>0，解得x<－1或x>1， ∴函數(shù)f(x)的定義域為(

30、－∞，－1)∪(1，＋∞)， 當x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時， f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x). ∴f(x)＝ln是奇函數(shù). (2)由于x∈[2，6]時，f(x)＝ln>ln恒成立， ∴>>0恒成立， ∵x∈[2，6]，∴0