2、 )
A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c>0
C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0
解析:選C.0
?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.故選C.
3.若a,b∈R,則下面四個式子中恒成立的是( )
A.lg(1+a2)>0 B.a(chǎn)2+b2≥2(a-b-1)
C.a(chǎn)2+3ab>2b2 D.<
解析:選B.在B中,因為a2+b2-2(a-b-1)=(a2
3、-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
所以a2+b2≥2(a-b-1)恒成立.
4.已知函數(shù)f(x)=,a,b是正實數(shù),A=f,B=f(),C=f,則A,B,C的大小關(guān)系為( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
解析:選A.因為≥≥,又f(x)=在R上是減函數(shù),所以f≤f()≤f,即A≤B≤C.
5.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值( )
A.恒為負值 B.恒等于零
C.恒為正值 D.無法確定
解析:選A.由f(x)是
4、定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),
由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)b>0,則①<;②ac2>bc2;③a2>b2;④>,其中正確的序號是________.
解析:對于①,因為a>b>0,所以ab>0,>0,a·>b·,即>.故①正確;
當c=0時,②不正確;由
5、不等式的性質(zhì)知③④正確.
答案:①③④
8.已知點An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點,其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為________.
解析:由條件得cn=an-bn=-n=,
所以cn隨n的增大而減小,所以cn+10,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b.
證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)
=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因為a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>
6、0,
從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,
即2a3-b3≥2ab2-a2b.
10.已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:>8.
證明:因為x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,
所以-1==>,①
-1==>,②
-1==>,③
又x,y,z為正數(shù),由①×②×③,
得>8.
[綜合題組練]
1.已知a,b,c∈R,若·>1且+≥-2,則下列結(jié)論成立的是( )
A.a(chǎn),b,c同號
B.b,c同號,a與它們異號
C.a(chǎn),c同號,b與它們異號
D.b,c同號,a與b,c的符號關(guān)系不確定
解析:選A.由·>1知與同號,
若>0且>
7、0,不等式+≥-2顯然成立,
若<0且<0,則->0,->0,
+≥2 >2,即+<-2,
這與+≥-2矛盾,故>0且>0,即a,b,c同號.
2.在等比數(shù)列{an}中,“a10,則11,
此時,顯然數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,
若a1<0,則1>q>q2,即0
8、然a1
9、1,
則a+b≤2與a+b>2矛盾,
因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個大于1.
答案:③
4.(應(yīng)用型)(一題多解)若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一點c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是________.
解析:法一(補集法):
令解得p≤-3或p≥,
故滿足條件的p的取值范圍為.
法二(直接法):
依題意有f(-1)>0或f(1)>0,
即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,
得-<p<1或-3<p<,
故滿足條件的p的取值范圍是.
答案:
5.已知非零向量a,b,且a⊥b,求證:≤.
證明
10、:a⊥b?a·b=0,
要證≤.
只需證|a|+|b|≤|a+b|,
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2),
只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2,
只需證|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,
即證(|a|-|b|)2≥0,
上式顯然成立,故原不等式得證.
6.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,若f(c)=0,且00.
(1)證明:是f(x)=0的一個根;
(2)試比較與c的大??;
(3)證明:-20,
由00,
知f>0與f=0矛盾,
所以≥c,又因為≠c,所以>c.
(3)證明:由f(c)=0,得ac+b+1=0,
所以b=-1-ac.
又a>0,c>0,所以b<-1.
二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為
x=-=<=x2=,
即-<.
又a>0,所以b>-2,
所以-2