2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第六節(jié) 拋物線檢測 理 新人教A版

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1、第六節(jié) 拋物線 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練·夯基練·提能練) A級(jí)　基礎(chǔ)夯實(shí)練 1．已知點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－1 C．－ D．－ 解析：選C.由已知，得準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以F的坐標(biāo)為(2，0)．又A(－2，3)，所以直線AF的斜率為k＝＝－. 2．若點(diǎn)A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若正三角形OAB的面積為4，則該拋物線方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝x 解析：選A.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，AB⊥x軸，

2、由于正三角形的面積是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三角形的高為2，故可以設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，2)代入拋物線方程得4＝4p，解得p＝，故所求的拋物線方程為y2＝x.故選A. 3．(2018·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y(tǒng) 解析：選C.由得或 即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)和(4p，8p)，則＝4，得p＝1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x2＝2y. 4．(2018·湖南省五市十校聯(lián)考)已知拋物線y2＝2x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對(duì)稱軸

3、的距離之比為5∶4，且|AF|＞2，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為(　　) A. B．2 C．4 D．8 解析：選B.令點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離為5a，點(diǎn)A到x軸的距離為4a，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入y2＝2x中，解得a＝或a＝(舍)，此時(shí)A(2，2)，故點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為2. 5．(2018·太原模擬)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)．若＝4，則|QF|等于(　　) A. B． C．3 D．2 解析：選C.因?yàn)椋?，所以||＝4||，所以＝.如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|＝4，所以＝＝，所以|QQ′|

4、＝3，根據(jù)拋物線定義可知|QQ′|＝|QF|＝3. 6．(2018·江西協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：選C.由已知得拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A(0，2)，拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，則＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，即拋物線方程為y2＝4x或y2＝16x. 7．(20

5、18·云南大理州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)M(－1，2)，若線段OM的垂直平分線過拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是________． 解析：依題意可得線段OM的垂直平分線的方程為2x－4y＋5＝0， 把焦點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得p＝， 所以準(zhǔn)線方程為y＝－. 答案：y＝－ 8．(2018·河北六校模擬)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線的方程為________． 解析：設(shè)滿足題意的圓的圓心為M. 根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上， 又因?yàn)閳A的面積為36π， 所以

6、圓的半徑為6，則|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－， 又由題意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8. 所以拋物線方程為y2＝16x. 答案：y2＝16x 9．設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________． 解析：如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程是x＝－1，由拋物線的定義知，點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F的距離．于是問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到F(1，0)的距離之和最小，連接AF交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)最小值為|AF|＝＝. 答案： 10．(201

7、8·湖北武漢調(diào)研測試)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)和定點(diǎn)M(0，1)，設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值； (2)若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程． 解：由題意知，直線AB的斜率一定存在，∴設(shè)直線AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2－2pkx－2p＝0， 則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.① (1)由x2＝2py得y′＝，則A，B處的切線斜率的乘積為＝－， ∵點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上， ∴AN⊥BN，∴－＝

8、－1，∴p＝2. (2)易得直線AN：y－y1＝(x－x1)，直線BN：y－y2＝(x－x2)， 聯(lián)立，得結(jié)合①式， 解得即N(pk，－1)． |AB|＝|x2－x1|＝＝， 點(diǎn)N到直線AB的距離d＝＝， 則S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，當(dāng)k＝0時(shí)，取等號(hào)， ∵△ABN的面積的最小值為4， ∴2＝4，∴p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y. B級(jí)　能力提升練 11．(2018·河北邯鄲質(zhì)檢)已知拋物線y2＝2px(p＞0)過點(diǎn)A，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B，直線AB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，若＝λ，則實(shí)數(shù)λ為(　　) A. B． C．2 D．3 解析：選C.把點(diǎn)A代

9、入拋物線的方程得2＝2p×，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，則B(－1，0)，設(shè)M，則＝，＝(－1－，－yM)，由＝λ，得解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故選C. 12．(2018·河南鄭州模擬)已知拋物線y2＝8x，點(diǎn)Q是圓C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一點(diǎn)，記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線x＝－2的距離為d，則|PQ|＋d的最小值為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：選C.如圖，由題意知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2，0)，連接PF，F(xiàn)Q，則d＝|PF|，將圓C的方程化為(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圓心為C(－1，4)，半徑為2，則|PQ|＋d＝

10、|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)F，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào))．所以當(dāng)F，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且為|CF|－|CQ|＝－2＝3，故選C. 13．(2018·廣東五校聯(lián)考)已知過拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若R為線段PQ的中點(diǎn)，連接OR并延長交拋物線C于點(diǎn)S，則的取值范圍是(　　) A．(0，2) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(2，＋∞) 解析：選D.由題意知，拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)．由消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k

11、2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，則x1＋x2＝，故x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝，所以kOS＝＝，直線OS的方程為y＝x，代入拋物線方程，解得x3＝，由條件知k2＞0.所以＝＝k2＋2＞2.選D. 14．(2018·河南洛陽統(tǒng)一考試)已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，直線AB與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若2＋－3＝0，則弦AB中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為________． 解析：依題意得，拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線方程是y＝－1，因?yàn)?(－)＋(－)＝0，即2＋＝0，所以F，A，B三點(diǎn)共線．設(shè)直線AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(

12、x1，y1)，B(x2，y2)，則由得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4?、?； 又2＋＝0，因此2x1＋x2＝0?、? 由①②解得x＝2，弦AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為[(y1＋1)＋(y2＋1)]＝(y1＋y2)＋1＝(x＋x)＋1＝＋1＝. 答案： 15．已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·＝－4(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO面積的最小值是________． 解析：不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·＝－4，即x1x2＋y1y2＝－4得yy＋y1y2＝－4，得y1y2＝－8.所以S△ABO＝

13、|x1y2－x2y1|＝|y1－y2|≥4，當(dāng)y1＝2，y2＝－2時(shí)取等號(hào)，故△ABO面積的最小值為4. 答案：4 C級(jí)　素養(yǎng)加強(qiáng)練 16．已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)． (1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)． 解：(1)把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，所以拋物線C：y2＝x，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線：x＝－. (2)證明：設(shè)l：y＝kx＋，M(x1，y1)，N(x2，y2)， OP：y＝x，ON：y＝x， 由題知A(x1，x1)，B， 由 消去y得k2x2＋(k－1)x＋＝0， 所以x1＋x2＝，x1·x2＝. 所以y1＋＝kx1＋＋＝2kx1＋， 由x1＋x2＝，x1x2＝， 上式＝2kx1＋＝2kx1＋(1－k)·2x1＝2x1， 所以A為線段BM的中點(diǎn)． 7