2021高考數學一輪復習 課后限時集訓14 變化率與導數、導數的計算 文 北師大版

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1、課后限時集訓14 變化率與導數、導數的計算 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．下列求導運算正確的是(　　) A.＝1＋　　　 B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x B　[＝x′＋＝1－；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故選項B正確．] 2．(2019·成都模擬)已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e為自然對數的底數)，則f′(e)＝(　　) A．1 B．－1 C．－e

2、　　　　 D．－e－1 D　[由已知得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋，則f′(e)＝－.故選D.] 3．一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為s＝t3－3t2＋8t，那么速度為零的時刻是(　　) A．1秒末 B．1秒末和2秒末 C．4秒末 D．2秒末和4秒末 D　[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由導數的定義可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4， 即2秒末和4秒末的速度為零，故選D.] 4．(2019·貴陽模擬)曲線y＝xln x在點(e，e)處的切線方程為(　　) A．y＝2x－e B．y＝－2x－e C．y＝

3、2x＋e D．y＝－x－1 A　[對y＝xln x求導可得y′＝ln x＋1，則曲線在點(e，e)處的切線斜率為ln e＋1＝2，因此切線方程為y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故選A.] 5．已知直線y＝ax是曲線y＝ln x的切線，則實數a＝(　　) A. B. C. D. C　[設切點坐標為(x0，ln x0)，由y＝ln x的導函數為y′＝知切線方程為y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.由題意可知解得a＝.故選C.] 二、填空題 6.已知函數y＝f(x)及其導函數y＝f′(x)的圖像如圖所示，則曲線y＝f(x)在點P處的切線方程是______

4、__． x－y－2＝0　[根據導數的幾何意義及圖像可知，曲線y＝f(x)在點P處的切線的斜率k＝f′(2)＝1，又過點P(2,0)，所以切線方程為x－y－2＝0.] 7．若曲線f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是________． (－∞，0)　[由題意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y軸的切線，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．] 8．設函數f(x)＝x3＋ax2，若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標為________． (1，－1)或(－1,1)　[由題意知，f′

5、(x)＝3x2＋2ax，所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為f′(x0)＝3x＋2ax0，又切線方程為x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或 所以當時，點P的坐標為(1，－1)； 當時，點P的坐標為(－1,1)．] 三、解答題 9．已知點M是曲線y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一點，曲線在M處的切線為l，求： (1)斜率最小的切線方程； (2)切線l的傾斜角α的取值范圍． [解](1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴當x＝2時，y′min＝－1，此時y＝， ∴斜率最小時的切點為，斜率k＝－1， ∴切線方程為3x＋3y－11＝0. (2)由

6、(1)得k≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈∪. 故α的取值范圍為∪. 10．已知函數f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖像為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍． [解](1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3， 則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由已知(2)中條件并結合(1)中結論可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1

7、≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)． 1．(2018·全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x D　[因為函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)， 所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因為x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(

8、0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x.故選D.] 2．曲線y＝e在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　) A.e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 D　[易知曲線y＝e在點(4，e2)處的切線斜率存在，設其為k.∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面積為S＝×2×|－e2|＝e2.] 3．若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ex的切線，則b＝________. 0或1　[設直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點為(x1，y

9、1)，與曲線y＝ex的切點為(x2，y2)，y＝ln x＋2的導數為y′＝，y＝ex的導數為y′＝ex，可得k＝ex2＝.又由k＝＝，消去x2，可得(1＋ln x1)·(x1－1)＝0，則x1＝或x1＝1，則直線y＝kx＋b與曲線y＝ln x＋2的切點為，1或(1,2)，與曲線y＝ex的切點為(1，e)或(0,1)，所以k＝＝e或k＝＝1，則切線方程為y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.] 4．已知函數f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函數f(x)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值； (2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y

10、軸的切線，求a的取值范圍． [解]　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由題意，得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線， 所以關于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－. 所以a的取值范圍為∪. 1．定義1：若函數f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數f(x)在區(qū)間D上存在二階導數，記作f″(x)＝[f′(x)]′. 定義2：若

11、函數f(x)在區(qū)間D上的二階導數恒為正，即f″(x)＞0恒成立，則稱函數f(x)在區(qū)間D上為凹函數．已知函數f(x)＝x3－x2＋1在區(qū)間D上為凹函數，則x的取值范圍是________． 　[因為f(x)＝x3－x2＋1，所以f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3， 令f″(x)＞0得x＞，故x的取值范圍是.] 2．已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3. (1)求f(x)的解析式； (2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍． [解](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 依題意?又f

12、′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1， 所以f(x)＝x3－3x. (2)設切點為(x0，x－3x0)， 因為f′(x)＝3x2－3， 所以f′(x0)＝3x－3， 所以切線方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)． 又切線過點A(2，m)， 所以m－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)， 所以m＝－2x＋6x－6， 令g(x)＝－2x3＋6x2－6， 則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)， 由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2， 畫出草圖知，當－6＜m＜2時，g(x)＝－2x3＋6x2－6有三個解，所以m的取值范圍是(－6,2)． - 5 -