（通用版）2020高考數學二輪復習 單科標準練（一）文

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1、單科標準練(一) (滿分：150分　時間：120分鐘) 第Ⅰ卷 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知集合U＝{x|4x2－4x＋1≥0}，B＝{x|x－2≥0}，則?UB＝(　　) A．(－∞，2)　 B．(－∞，2] C. D.∪ A　[由4x2－4x＋1≥0，得x∈R，所以U＝R.又B＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，所以?UB＝(－∞，2)．故選A.] 2．已知復數z＝，則|z|＝(　　) A. B. C. D. C　[z＝＝＝，所以|z|＝，故選C.] 3．已知向量a

2、＝(1,2－λ)，b＝(－2,3)，a∥b，則實數λ＝(　　) A．3 B. C．4 D. B　[由a∥b得，1×3＝(2－λ)×(－2)，解得λ＝，故選B.] 4．已知函數f(x)＝則f＝(　　) A. B．e C．1 D．－1 C　[由題意可知f＝f(e)＝ln e＝1，故選C.] 5．“割圓術”是劉徽最突出的數學成就之一，他在《九章算術注》中提出割圓術，作為求圓周率的一種方法．劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了3 072邊形，并由此而求得了圓周率為3.141 5和3.141 6這兩個近似值．我國南北朝時期的數學家祖沖之繼承并發(fā)展了劉徽的“割圓術”，求得π

3、的范圍為(3.141 592 6,3.141 592 7)．如果按π＝3.142計算，那么當分割到圓內接正六邊形時，如圖，向圓內隨機投擲一點，那么落在圖中陰影部分的概率為(≈1.732，精確到小數點后兩位)(　　) A．0.16 B．0.17 C．0.18 D．0.19 B　[設圓的半徑為r，則圓的面積為πr2，正六邊形的面積為6××r×r＝r2，故所求概率為1－＝1－≈0.17，故選B.] 6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為(　　) A．－2 B．2 C. D．－1 D　[執(zhí)行程序框圖，n＝1，a＝f(2)＝1－＝，n＝2，a＝f＝1－＝－1，n＝3

4、，a＝f(－1)＝1－＝2，n＝4，a＝f(2)＝，…，易知a的取值以3為周期，所以當n＝8時，a＝－1，當n＝9時，退出循環(huán)．輸出的a＝－1，故選D.] 7．已知x，y滿足則目標函數z＝－2x＋y的取值范圍為(　　) A. B．[1,4] C. D. D　[作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A，B(－1,2)，作出直線y＝2x，平移該直線，當直線經過點A時，目標函數取得最小值，zmin＝－2×＋＝－，當直線經過點B(－1,2)時，目標函數取得最大值，zmax＝－2×(－1)＋2＝4，所以目標函數的取值范圍是，故選D.] 8．在我國古代數學名著《九章算術》中，

5、將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為(　　) A. B．－ C. D．－ A　[如圖，分別取AB，AD，BC，BD的中點E，F，G，O，連接EF，EG，OG，FO，FG，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．易知FO∥AB，因為AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，設AB＝2a，則EG＝EF＝a，FG＝＝a，所以∠FEG＝60°，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為，故選A.] 9．先將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度，再將所得函數圖象上的所有點

6、的橫坐標縮短到原來的，得到函數g(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜)的圖象．已知函數g(x)的部分圖象如圖所示，則函數f(x)的圖象的對稱軸方程是(　　) A．x＝4kπ＋，k∈Z B．x＝4kπ＋，k∈Z C．x＝2kπ＋，k∈Z D．x＝2kπ＋，k∈Z D　[法一：設g(x)的最小正周期為T，由題意和題圖可知A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，∴g(x)＝2sin(2x＋φ)，∵g(x)的圖象過點，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.又|φ|＜，∴φ＝－，∴g(x)＝2sin.將函數g(x)＝2sin的圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的4倍，得到y(tǒng)＝2

7、sin的圖象，再將y＝2sin的圖象向左平移個單位長度，得到f(x)＝2sin＝2sin的圖象．令x－＝kπ＋，k∈Z，則x＝2kπ＋，k∈Z.∴函數f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝2kπ＋，k∈Z.故選D. 法二：由題圖可知，函數g(x)的圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)，將函數g(x)的圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的4倍，再向左平移個單位長度后得到f(x)的圖象，故f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝×4－＝＋2kπ，k∈Z.] 10．設函數f(x)＝ln x＋，其中x∈，若函數f(x)的極小值不大于a，則實數a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. B　[易知函

8、數f(x)的定義域為{x|x＞0}，則＞a＞0，得0＜a＜1.由f′(x)＝－＝0，得x＝1，當x∈(a,1)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增．所以f(x)的極小值為f(1)＝1－a，由題可知1－a≤a，所以a≥，又0＜a＜1，所以≤a＜1，故選B.] 11．已知經過原點O的直線與橢圓＋＝1(a＞b＞0)相交于M，N兩點(M在第二象限)，A，F分別是該橢圓的右頂點和右焦點，若直線MF平分線段AN，且|AF|＝4，則該橢圓的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 C　[法一：由|AF|＝4得a－c＝4，設M(

9、m，n)，則N(－m，－n)，又A(a,0)，所以線段AN的中點為P，F(a－4,0)．因為點M，F，P在一條直線上，所以kMF＝kFP，即＝，化簡得a＝6，所以c＝2，b2＝62－22＝32，故該橢圓的方程為＋＝1. 法二：如圖，取AN的中點P，連接MA，OP，因為O是MN的中點，P是AN的中點，所以OP∥MA，且|OP|＝|MA|，因此△OFP∽△AFM，所以＝＝，即＝，因此c＝2，從而a＝c＋|AF|＝2＋4＝6，故b2＝62－22＝32，故該橢圓的方程為＋＝1.] 12．已知△ABC中，內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，已知a2＋b2＝c2＋2accos C，acos C

10、＋3ccos A＝0，則角A為(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° D　[由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C＋2accos C，可得b＝c或cos C＝0.易知cos C≠0，從而B＝C.由正弦定理得，sin Acos C＋3sin Ccos A＝0，則sin(A＋C)＋2sin Ccos A＝0，從而sin(π－B)＋2sin Bcos A＝0，所以cos A＝－，所以在△ABC中，A＝120°，故選D.] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第2

11、2～23題為選考題，考生根據要求作答． 二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分，將答案填在橫線上) 13．設函數f(x)＝(a∈R，a≠0)，若f(－2 018)＝2，則f(2 018)＝________. －2　[易知函數f(x)＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，因為f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函數f(x)是定義域上的奇函數，所以f(2 018)＝－f(－2 018)＝－2.] 14．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________． 　[在正方體中作出該幾何體的直觀圖如圖所示，不妨將其記為棱臺ABC-A1B1C1，易知AC＝BC＝1，A1C1

12、＝B1C1＝CC1＝2.因為CC1⊥平面ABC，CC1⊥平面A1B1C1，AC⊥BC，A1C1⊥B1C1，所以V棱臺ABC-A1B1C1＝CC1·(S△ABC＋S△A1B1C1＋)＝×2×＝.] 15．桌上共有8個球，甲、乙兩人輪流取球，取到最后一球者勝利．規(guī)則：第一次取球至少1個，至多不超過總數的一半，每次取球的個數不超過前面一次取球的個數，且不少于前面一次取球個數的一半．如第一次甲取3個球，接著乙取球的個數為2或3.若甲先取球，為了有必勝的把握，第一次取球的個數應為________． 3　[若甲取1個球，則乙取1個球，易知最終是乙勝．若甲取2個球，則乙可取2個球，然后，甲只能取2個球或

13、1個球，無論如何都是乙勝．若甲取3個球，則乙只能取2個球或3個球，當乙取2個球時，接下來甲取1個球，乙取1個球，甲再取1個球，甲勝；當乙取3個球時，甲取完剩下的球，甲勝．若甲取4個球，則乙可取完剩下的球，乙勝．綜上可知，甲第一次取3個球時有必勝的把握．] 16．已知直線l：x＋2y－5＝0與定點A(1,2)，動點P到點A距離與到直線l的距離相等，雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點為F，Q是動點P軌跡上的一點，|FQ|的最小值恰為雙曲線C的虛半軸長，則雙曲線C的離心率為________． 　[由題可知點A在直線l上，因而動點P的軌跡為過點A與直線l垂直的直線，則點P的軌跡方程為y－

14、2＝2(x－1)，即y＝2x，|FQ|的最小值即點F到直線y＝2x的距離，由題知|FQ|的最小值恰為b，那么直線y＝2x為雙曲線的一條漸近線，從而＝2，則e＝＝.] 三、解答題(解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)已知遞增數列{an}的前n項和為Sn，a1＝，21(a1－a2)＋22(a2－a3)＋…＋2n(an－an＋1)＝－a，n∈N*. (1)求a2，并證明n≥2時，an＋an＋1＝2n； (2)求S2 019. [解]　(1)令n＝1，則2(a1－a2)＝－a，即a－2a2＋＝0，解得a2＝或a2＝，均符合題意． 由21(a1－a2)＋22(

15、a2－a3)＋…＋2n(an－an＋1)＝－a，得21(a1－a2)＋22(a2－a3)＋…＋2n－1(an－1－an)＝－a，n≥2. 兩式相減得2n(an－an＋1)＝a－a， ∵an－an＋1≠0，∴an＋an＋1＝2n，n≥2. (2)由(1)得S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝＋22＋24＋…＋22 018＝＋4×＝－. 18．(本小題滿分12分)2018年世界女排錦標賽于9月29日至10月20日在日本舉行，為了解同學們觀看現場直播的情況，對高一、高二年級各10個班級的同學進行問卷調查，各班觀看人數統(tǒng)計結果如莖葉圖所示．

16、 (1)①根據圖中的數據，估計哪個年級平均觀看人數較多？ ②計算高一年級觀看人數的樣本方差． (2)從高一年級觀看人數不足20人的班級中隨機抽取2個班，求這2個班分別是觀看人數在10人以下與10人以上的概率． [解]　(1)①設高一年級、高二年級觀看人數的平均數分別為，， 那么＝＝20.2， ＝＝20.9， 所以高二年級平均觀看人數較多． ②由①知＝20.2，則高一年級觀看人數的樣本方差 s2＝×[(20.2－8)2＋(20.2－6)2＋(20.2－12)2＋(20.2－14)2＋(20.2－16)2＋(20.2－23)2＋(20.2－25)2＋(20.2－33)2＋(20

17、.2－33)2＋(20.2－32)2]＝97.16. (2)由莖葉圖可知，高一年級觀看人數不足20人的班級有5個，其中觀看人數在10人以下的班級有2個，分別記為a，b，觀看人數在10人以上且不足20人的班級有3個，分別記為C，D，E.從高一年級觀看人數不足20人的班級中抽取2個班，抽取的結果有(a，b)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10種， 設所求事件為事件A， 則事件A包含(a，C)，(a，D)，(a，E)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，共6種不同的結果， 由古典概型概率計算公式得，P(A)＝＝.

18、 19．(本小題滿分12分)如圖所示的幾何體B-ACDE中，△ABC為等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝AC＝2，DC⊥平面ABC，DC＝1，EA⊥平面ABC，EA＝. (1)若在EB上存在點F，使得BE⊥平面AFC，試探究點F的位置； (2)在(1)的條件下，求三棱錐F-BCD的體積． [解]　(1)由AB⊥AC，EA⊥平面ABC，得AC⊥平面EAB，所以AC⊥BE， 若BE⊥平面AFC，只需BE⊥AF， 在直角△ABE中， EB＝＝，由射影定理AB2＝BF·BE， 可知BF＝＝＝BE， 所以點F在BE上靠近E的三等分點處． (2)由題可知S四邊形AEDC＝×(1＋)

19、×2＝1＋， 則VB-AEDC＝×S四邊形AEDC×AB＝， 由(1)知，F在BE上靠近E的三等分點處， 因而VF-AEDC＝VB-AEDC＝，又S△ABC＝×2×2＝2， 所以VF-ABC＝×S△ABC×EA＝×2×＝， 所以VF-BCD＝VB-AEDC－VF-AEDC－VF-ABC＝. 20．(本小題滿分12分)已知定點N(6,8)與圓O：x2＋y2＝4，動點M在圓O上，MN的中點為P. (1)若點P的軌跡為圓C，求圓C的方程； (2)在(1)的條件下，線段OC的垂直平分線上，是否存在點Q，過點Q分別作圓O與圓C的切線(切點分別為A，B)，使得|QA|＝|QB|，若存在，求

20、出點Q的坐標，若不存在，請說明理由． [解]　(1)由已知，設P(x，y)，則M(2x－6,2y－8)，因為點M在圓O：x2＋y2＝4上， 所以(2x－6)2＋(2y－8)2＝4，從而可得圓C的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝1. (2)假設存在，設Q(x，y)， 若|QA|＝|QB|，則QC2－1＝QO2－4，即QO2－QC2＝3， 從而x2＋y2－(x－3)2－(y－4)2＝3， 整理得，3x＋4y－14＝0，故點Q在直線3x＋4y－14＝0上， 而OC的中點坐標為，kOC＝，因而OC的垂直平分線的方程為y－2＝－，整理得，6x＋8y－25＝0， 易知直線3x＋4y－14

21、＝0與直線6x＋8y－25＝0平行， 因此不存在滿足題意的點Q. 21．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝ex－ax2＋b(a＞0)，函數f(x)的圖象在x＝0處的切線方程為y＝x＋1. (1)當a＝1時，求函數f(x)在[0,2]上的最小值與最大值； (2)若函數f(x)有兩個零點，求a的值． [解]　(1)由題可知f(0)＝1＋b，f′(x)＝ex－ax，f′(0)＝1，則函數f(x)的圖象在x＝0處的切線方程為y－1－b＝x，即y＝x＋1＋b，由已知條件可得b＝0， 當a＝1時，在[0,2]上，f′(x)＝ex－x＞0，函數f(x)在[0,2]上單調遞增， 從而函數f(

22、x)在[0,2]上的最小值為f(0)＝1，最大值為f(2)＝e2－2. (2)法一：由(1)知f(x)＝ex－ax2， 設g(x)＝f′(x)＝ex－ax，則g′(x)＝ex－a，令g′(x)＝0，可得x＝ln a， 當x∈(－∞，ln a)時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減；當x∈(ln a，＋∞)時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增． 因而g(x)的最小值為g(ln a)＝a－aln a， 若a－aln a≥0，則f′(x)≥0，f(x)單調遞增，f(x)不會有兩個零點，不合題意，因而a－aln a＜0，即a＞e. 因為g(0)＝1＞0，g(1)＝e－a＜0，所以f′(x)＝

23、0在(0,1)內有解，即存在x1∈(0,1)使f′(x1)＝0，同時存在x2∈(1，＋∞)，使得f′(x2)＝0， 即0＜x1＜1＜x2，ex1＝ax1，ex2＝ax2， 當x∈(－∞，x1)時f(x)單調遞增，當x∈(x1，x2)時f(x)單調遞減，當x∈(x2，＋∞)時f(x)單調遞增，f(x)的大致圖象如圖所示． 由于f(x1)＝ex1－ax＝ax1－ax＝ax1(2－x1)＞0， 所以，若函數f(x)有兩個零點，則函數f(x)的極小值f(x2)＝0， f(x2)＝ex2－ax＝ax2－ax＝ax2(2－x2)＝0，得x2＝2. 由ex2－ax＝0，即e2－a×22＝0，

24、得a＝. 法二：由(1)知，b＝0，則函數f(x)＝ex－ax2，顯然x＝0不是零點， 令f(x)＝0，分離參數，則a＝， 設h(x)＝(x≠0)，則h′(x)＝，令h′(x)＝0，則x＝2. 易知當x∈(0,2)時h(x)單調遞減，當x∈(－∞，0)及x∈(2，＋∞)時h(x)單調遞增， 則h(x)的極小值為h(2)＝， 而當x∈(－∞，0)時，h(x)＝＞0，數形結合可知，當a＝時函數f(x)有兩個零點． 請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標系與參數方程] 在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參

25、數方程為(α為參數)，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρsin＝. (1)寫出曲線C的普通方程以及直線l的直線坐標方程； (2)已知直線l與曲線C交于A，B兩點，求△OAB的面積． [解]　(1)消去參數α，得曲線C的普通方程為＋＝1， 2ρsin＝可化為ρcos θ－ρsin θ＝， 由極坐標與直角坐標的互化公式得，直線l的直角坐標方程為x－y－＝0. (2)易知原點O到直線l的距離d＝， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由整理得，5x2－8x＝0，解得x＝0或，不妨令x1＝0，x2＝， 從而得A(0，－)，B，由兩點間距離公式得|A

26、B|＝， 所以S△OAB＝×|AB|×d＝××＝. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5：不等式選講] 已知函數f(x)＝|2x－1|. (1)解不等式f(x)≤|x|＋1； (2)若存在實數m，使得f(x)－f＜m有解，求m的取值范圍． [解]　(1)由已知得，f(x)≤|x|＋1，即|2x－1|≤|x|＋1， 所以當x＜0時，1－2x≤－x＋1，得x≥0，此時無解； 當0≤x＜時，1－2x≤x＋1，得x≥0，此時0≤x＜； 當x≥時，2x－1≤x＋1，得x≤2，此時≤x≤2. 從而不等式的解集為{x|0≤x≤2}． (2)設g(x)＝f(x)－f，則g(x)＝|2x－1|－|x－1|＝ 作出函數g(x)的大致圖象(圖略)，數形結合可知，g(x)的最小值為－，從而m＞－. 所以m的取值范圍是. - 12 -