（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 加練半小時 專題8 立體幾何 第65練 立體幾何中的易錯題 理（含解析）

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1、第65練 立體幾何中的易錯題 1．四個平面最多可將空間分割成________個部分． 2．已知直線a，b與平面α，β，γ，有下列四個命題： ①若a∥b，a∥α，則b∥α； ②若a∥b，a⊥α，則b⊥α； ③若α∥β，a⊥α，則a⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β. 其中，正確的命題是________．(填序號) 3．球O是正方體ABCD－A1B1C1D1的外接球，若正方體ABCD－A1B1C1D1的表面積為S1，球O的表面積為S2，則＝________. 4．(2019·南通調(diào)研)點D為△ABC所在平面外一點，E，F(xiàn)分別為DA和DC上的點，G，H分別為BA和BC上的點，且E

2、F和GH相交于點M，則點M一定在直線________上． 5.在體積為9的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，S是C1C上的一點，S－ABC的體積為2，則三棱錐S－A1B1C1的體積為________． 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________． 7．(2019·江蘇鎮(zhèn)江期末)如圖，在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H，且D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面

3、積為________． 8．已知三棱錐A－BCD的四個頂點都在同一個球的球面上，AB＝，BC＝3，AC＝2，若三棱錐A－BCD體積的最大值為，則此球的表面積為________． 9．(2019·溧陽期末)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為a的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB＝90°，則側(cè)棱AA1的長的最小值為________． 10．在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則該三棱錐外接球的表面積為________． 11.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝

4、2AD，E是DD1的中點，BF＝C1K＝AB，設(shè)過點E，F(xiàn)，K的平面與平面AC的交線為l，則直線l與直線A1D1所成角的正切值為________． 12.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CC1的中點，則三棱錐A1－ABM的體積為________． 13．在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________． 14.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B與平面A1B1CD所成角的大小為________． 15．已知正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，

5、上底面A1B1C1D1邊長為1，下底面ABCD邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為________． 16.如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，E，F(xiàn)分別是BC，A1C1的中點．設(shè)D是線段B1C1(包括兩個端點)上的動點，當(dāng)直線BD與EF所成角的余弦值為時，則線段BD的長為________． 答案精析 1．15　2.②③　3.　4.AC　5.1 6. 解析　以A為坐標(biāo)原點，AD，AB，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則D(2,0,

6、0)，A1(0，0,2)，E(0,2,1)，則＝(2,0，－2)， ＝(0,2，－1)． 設(shè)平面A1ED的法向量為n＝(x，y，z)， 則則 即 令y＝1，得n＝(2,1,2)．易知平面ABCD的法向量為m＝(0,0,1)， 設(shè)平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角為θ， 則cosθ＝|cos〈n，m〉|＝＝. 7. 解析　如圖所示，取AC的中點G，連結(jié)SG，BG. 易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，BG?平面SGB， 故AC⊥平面SGB， 所以AC⊥SB. 因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD， 則SB

7、∥HD.同理SB∥FE. 又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也分別為AS，SC的中點，從而得到HF∥AC且HF＝AC， DE∥AC且DE＝AC， 所以HF∥DE且HF＝DE， 所以四邊形DEFH為平行四邊形． 又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC， 所以DE⊥HD， 所以四邊形DEFH為矩形， 其面積S＝HF·HD＝·＝. 8．16π 解析　因為AB2＋BC2＝AC2， 所以AB⊥BC， 所以△ABC為直角三角形，設(shè)球的半徑為R，球心為O，AC的中點為M， 則OM⊥平面ABC，因為AC?平面ABC，故OM⊥AC. 三棱錐D－ABC的最大體積為×××3×(R＋)

8、＝， 解得R＝2，故球的表面積為16π. 9．2a 解析　設(shè)AA1＝h，AE＝x，A1E＝h－x，x∈[0，h]， 則BE2＝a2＋x2，C1E2＝(a)2＋(h－x)2，BC＝a2＋h2. 又∠C1EB＝90°， 所以BE2＋C1E2＝BC， 即a2＋x2＋(a)2＋(h－x)2＝a2＋h2， 即關(guān)于x的方程x2－h(huán)x＋a2＝0，x∈[0，h]有解， 當(dāng)x＝0時，a2＝0，不合題意， 當(dāng)x>0時，h＝＋x≥2a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝a時取等號． 即側(cè)棱AA1的最小值為2a. 10．6π 解析　設(shè)兩兩垂直的三條側(cè)棱的長度分別為a，b，c， 可以得到ab＝，bc＝， ac＝

9、， 解得a＝，b＝1，c＝. 所以2R＝＝， 所以球的表面積為S＝4πR2＝6π. 11．4 解析　延長KE，CD交于M點(圖略)， 又＝，∴＝， 同樣延長KF，CB交于N點， 又＝，∴＝， MN即為過點E，F(xiàn)，K的平面與平面AC的交線l， 又CN平行于A1D1， 即MN與CN所成角為所求，記所成角為θ， 則tanθ＝＝＝4. 12. 解析　∵棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CC1的中點， ∴三棱錐A1－ABM的體積為 VA1－ABM＝VM－ABA1＝×S△ABA1×BC＝××1×1×1＝. 13．8 解析　過點G作EF∥AC，分別交PA

10、，PC于點E，F(xiàn)，過點E作EN∥PB交AB于點N，過點F作FM∥PB交BC于點M，連結(jié)MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝PB＝2，所以截面的周長為2×4＝8. 14．30° 解析　連結(jié)BC1，交B1C于點O，再連結(jié)A1O(圖略)， 因為是在正方體ABCD－A1B1C1D1中，所以BO⊥平面A1B1CD， 所以∠BA1O是直線A1B與平面A1B1CD所成的角． 設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1， 所以在△A1BO中，A1B＝，OB＝， 所以sin∠BA1O＝， 因為直線與平面所成角的范圍是[0°，90°]

11、， 所以直線A1B與平面A1B1CD所成角的大小為30°. 15. 解析　設(shè)上、下底面中心分別為O1，O，則OO1⊥平面ABCD，以O(shè)為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∵AB＝2，A1B1＝1， ∴AC＝BD＝2，A1C1＝B1D1＝， ∵平面BDD1B1⊥平面ABCD， ∴∠B1BO為側(cè)棱與底面所成的角， ∴∠B1BO＝60°， 設(shè)棱臺高為h，則tan60°＝， ∴h＝， ∴A(0，－，0)，D1， B1，C(0，，0)， ∴＝， ＝， ∴cos〈，〉＝＝. 故異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為. 16．2 解析　以E為原點，EA，EC所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖． E(0,0,0)， F， B(0，－1,0)， D(0，t,2)(－1≤t≤1)， ＝，＝(0，t＋1,2)， 設(shè)直線BD與EF所成的角為θ， 則cosθ＝ ＝＝， 解得t＝1，所以BD＝2. 8