2022年北京中考六年真題薈萃《圖形的平移旋轉(zhuǎn)與軸對稱》

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1、北京中考六年真題薈萃圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與軸對稱圖形的平移1、（06 年北京）我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形請解答下列問題：（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為60 時，這對 60 角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖形的軸對稱2、如圖，在四邊形ABCD 中，BCBA，AD DC，BD 平分 ABC.求證：A+C=180.3、如圖，把矩形紙片OABC 放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC 分別落在x 軸、y 軸上，連結(jié)OB，將紙片 OABC沿 OB

2、折疊，使點(diǎn)A落在A的位置，若5OB，21tanBOC，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是多少？4、如圖，在直角坐標(biāo)系中有四個點(diǎn)A（-6，3）、B（-2，5）、C（0，m）、D（n，0），當(dāng)四邊形ABCD 的周長最短OABDCABCDAABCOxy精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 12 頁xyABCDO時，求 m、n 的值5、（09 年漳州）幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線l同旁的兩個定點(diǎn)問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PAPB的值最小方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A，連結(jié)A B交l于點(diǎn)P，則PAPBA B的值最小（不必證明）模型應(yīng)用：（1）如圖 1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是A

3、C上一動點(diǎn)連結(jié)BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱連結(jié)ED交AC于P，則PBPE的最小值是 _；（2）如圖 2，O的半徑為 2，點(diǎn)A B C、在O上，OAOB，60AOC，P是OB上一動點(diǎn)，則PAPC的最小值是 _；（3）如圖 3，45AOB，P是AOB內(nèi)一點(diǎn)，10PO，QR、分別是OAOB、上的動點(diǎn)，則PQR周長的最小值是 _（A B AP l A B P R Q 圖 3 O A B C 圖 2 A B E C P D 圖 1 P 精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 12 頁圖形的旋轉(zhuǎn)6、（10 朝陽一模）請閱讀下列材料：問題：如圖 1，在等邊三角形ABC 內(nèi)有一點(diǎn)P，

4、且 PA=2，PB=3，PC=1求BPC 度數(shù)的大小和等邊三角形ABC 的邊長李明同學(xué)的思路是：將BPC 繞點(diǎn) B 順時針旋轉(zhuǎn)60，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）連接 PP ，可得 PPC 是等邊三角形，而 PP A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）所以 AP C=150 ，而 BPC=AP C=150 進(jìn)而求出等邊ABC 的邊長為7問題得到解決請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD 內(nèi)有一點(diǎn)P，且 PA=5，BP=2，PC=1求 BPC 度數(shù)的大小和正方形ABCD 的邊長7、如圖，已知：如圖，四邊形ABCD 中，AD=CD，75ABC，60ADC，AB2，B

5、C2，（1）以線段BD，AB，BC 作為三角形的三邊，則這個三角形為三角形（填：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）；求 BD 邊所對的角的度數(shù)；（2）求四邊形ABCD 的面積8、在等腰直角ABC 中，D 是 AB 中點(diǎn)，EDF=90，求證：DE=DF.ABCD圖 3 圖 1 圖 2 精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 12 頁FEDCBA9、如圖，已知ABC 為等腰直角三角形，BAC=90，E、F 是 BC 邊上點(diǎn)，且 EAF=45 求證：222BECFEF10、（1）在直角 ABC 中，D 是 AB 中點(diǎn)，EDF=90，求證：222EFBFAE.（2）如圖，ABC 中，D 是 B

6、C 邊的中點(diǎn)，E、F 分別是 AB、AC 邊上的點(diǎn)，且EDF=90，求證 BE+CF EF11、（10 豐臺二模）已知：如圖，在正方形ABCD 中，E、F 分別是 BC、DC 邊上的點(diǎn)，且AEEF于點(diǎn) E（1）延長 EF 交正方形ABCD 的外角平分線CPP于點(diǎn)，試判斷AEEP與的大小關(guān)系，并說明理由；ACBFE精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 12 頁（2）在 AB 邊上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由12、（09 年湖州）若P 為ABC所在平面上一點(diǎn)，且120APBBPCCPA，則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn).（1）若點(diǎn)P為銳角

7、ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且60ABCPAPC，3，4，則PB的值為 _；（2）如圖，在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB連結(jié)BB.求證：BB過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB=PAPBPC.13、（10 福建寧德）如圖，四邊形ABCD 是正方形，ABE 是等邊三角形，M 為對角線BD（不含 B 點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將 BM 繞點(diǎn) B 逆時針旋轉(zhuǎn)60 得到 BN，連接 EN、AM、CM.求證：AMB ENB；當(dāng) M 點(diǎn)在何處時，AM CM 的值最小；當(dāng) M 點(diǎn)在何處時，AM BM CM 的值最小，并說明理由；當(dāng) AM BM CM 的最小值為13時，求正方形的邊長.PBCA真題演練精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共

8、 12 頁1、（07 北京）如圖，已知ABC（1）請你在BC邊上分別取兩點(diǎn)DE，（BC的中點(diǎn)除外），連結(jié)ADAE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明ABACADAE2、（08 北京）請閱讀下列材料：問題：如圖 1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)ABE，在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連結(jié)PGPC，若60ABCBEF，探究PG與PC的位置關(guān)系及PGPC的值小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段PG與

9、PC的位置關(guān)系及PGPC的值；（2）將圖 1 中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明（3）若圖 1 中2(090)ABCBEF，將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出PGPC的值（用含的式子表示）3、（09 北京）在ABCD中，過點(diǎn) C 作 CECD 交 AD 于點(diǎn) E,將線段 EC 繞點(diǎn) E 逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF(如圖1)（1）在圖 1 中畫圖探究：當(dāng) P 為射線 CD 上任意一點(diǎn)（P1不與

10、C 重合）時，連結(jié)EP1繞點(diǎn) E 逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC1.判斷直線CBA精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁，共 12 頁FC1與直線 CD 的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng) P2為線段 DC 的延長線上任意一點(diǎn)時，連結(jié)EP2,將線段 EP2繞點(diǎn) E 逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段EC2.判斷直線 C1C2與直線 CD 的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.（2）若 AD=6,tanB=43,AE=1,在的條件下，設(shè)CP1=x，S11PFC=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.4、（10 北京）問題：已知ABC 中，BAC=2ACB，點(diǎn) D 是ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且AD=CD，

11、BD=BA。探究DBC 與ABC 度數(shù)的比值。請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進(jìn)行分析并加以證明。(1)當(dāng)BAC=90 時，依問題中的條件補(bǔ)全右圖。觀察圖形，AB 與 AC 的數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)推出DAC=15 時，可進(jìn)一步推出DBC 的度數(shù)為；可得到DBC 與ABC 度數(shù)的比值為；(2)當(dāng)BAC 90 時，請你畫出圖形，研究DBC 與ABC 度數(shù)的比值是否與(1)中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明。5、（11 北京）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題，如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O。若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，ADBC

12、的長度為三邊長的三角形的面積。A C B 精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁，共 12 頁FEDABC圖3OABDCEOABDC小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計算其面積即可。他先后嘗試了翻折，旋轉(zhuǎn)，平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題。他的方法是過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長線于點(diǎn)E，得到的BDE即是以AC，BD，ADBC的長度為三邊長的三角形（如圖2）。參考小偉同學(xué)的思考問題的方法，解決下列問題：如圖 3，ABC的三條中線分別為AD，BE，CF。（1）在圖 3 中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三

13、角形（保留畫圖痕跡）；（2）若ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于_。（五）補(bǔ)充例題：(供學(xué)用余力的同學(xué)提高使用)1、（11 海淀一模）在RtABC 中，ACB=90，tanBAC=12.點(diǎn) D 在邊 AC 上（不與 A，C 重合），連結(jié) BD，F(xiàn) 為BD 中點(diǎn).圖1圖2精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 8 頁，共 12 頁（1）若過點(diǎn)D 作 DEAB 于 E，連結(jié) CF、EF、CE，如圖 1 設(shè) CFkEF，則 k=；（2）若將圖1中的 ADE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B 三點(diǎn)共線，點(diǎn)F 仍為 BD 中點(diǎn)，如圖2 所示求證：BE-DE=2CF；（3）若

14、BC=6，點(diǎn) D 在邊 AC 的三等分點(diǎn)處，將線段AD 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)，點(diǎn) F 始終為 BD 中點(diǎn)，求線段CF 長度的最大值2、（11 海淀二模）已知ABC，以 AC 為邊在ABC外作等腰ACD，其中 AC=AD.（1）如圖 1，若2DACABC，AC=BC，四邊形ABCD 是平行四邊形，則ABC；（2）如圖 2，若30ABC，ACD是等邊三角形，AB=3，BC=4.求 BD 的長；（3）如圖 3，若ABC 為銳角，作AHBC 于 H，當(dāng)2224BDAHBC時，2DACABC 是否成立？若不成立，說明你的理由，若成立，并證明你的結(jié)論.3、（10 西城二模）在ABC 中，點(diǎn) P 為 BC 的中點(diǎn)

15、（1）如圖 1，求證：AP21（AB+BC）；（2）延長 AB 到 D，使得 BD=AC，延長 AC 到 E，使得 CE=AB，連結(jié) DE如圖 2，連結(jié) BE，若 BAC=60，請你探究線段BE 與線段 AP 之間的數(shù)量關(guān)系寫出你的結(jié)論，并加以證明；ABCD1圖ABCD2圖ABCDH3圖BCADEFBDEAFCBAC1圖2圖備圖精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 9 頁，共 12 頁請在圖3 中證明：BC21DE 4、（09 宣武一模）如圖，已知等邊三角形ABC 中，點(diǎn) D、E、F 分別為邊AB、AC、BC 的中點(diǎn)，M 為直線 BC 上一動點(diǎn)，DMN 為等邊三角形（點(diǎn)M 的位置改變時，DMN 也

16、隨之整體移動）（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) B 左側(cè)時，請你連結(jié)EN，并判斷 EN 與 MF 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F 是否在直線NE 上？請寫出結(jié)論，并說明理由；（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) M 在 BC 上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN 與 MF 的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請利用圖 2 證明；若不成立，請說明理由；（3）如圖 3，若點(diǎn) M 在點(diǎn) C 右側(cè)時，請你判斷（1）的結(jié)論中EN 與 MF 的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由（圖 1）圖 2）（圖 3）5、（10 大興二模）如圖 17、18 是兩個相似比為1：2的等腰直角DMN 和 ABC，將這兩個

17、三角形如圖19 放置，DMN 的斜邊 MN 與 ABC 的一直角邊AC 重合.在圖 19 中，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn) DMN，使兩直角邊DM、DN 分別與BCAC、交于點(diǎn)FE,，如圖 20.求證：精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 10 頁，共 12 頁222EFBFAE；在圖 19 中，繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn) DMN，使它的斜邊CM、直角邊CD的延長線分別與AB交于點(diǎn)FE、，如圖 21，此時結(jié)論222EFBFAE是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.如圖 22，在正方形ABCD中，F(xiàn)E、分別是邊CDBC、上的點(diǎn)且滿足CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，AFAE、分別與對角線BD交于點(diǎn)NM

18、、.線段BM、MN、DN恰能構(gòu)成三角形.請指出線段BM、MN、DN所構(gòu)成的三角形的形狀，并給出證明.6、（10 朝陽二模）如圖1，四邊形ABCD，將頂點(diǎn)為A 的角繞著頂點(diǎn)A 順時針旋轉(zhuǎn)，若角的一條邊與DC 的延長線交于點(diǎn) F，角的另一條邊與CB 的延長線交于點(diǎn)E，連接 EF（1）若四邊形ABCD 為正方形，當(dāng)EAF=45 時，有 EF=DFBE請你思考如何證明這個結(jié)論（只思考，不必寫出證明過程）；（2）如圖 2，如果在四邊形ABCD 中，AB=AD，ABC=ADC=90 ，當(dāng) EAF=21BAD 時，EF 與 DF、BE 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式（只需寫出結(jié)論）；（3）如圖

19、 3，如果四邊形ABCD 中，AB=AD，ABC 與 ADC 互補(bǔ)，當(dāng) EAF=21BAD 時，EF 與 DF、BE 之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求 CEF 的周長（直接寫出結(jié)果即可）精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 11 頁，共 12 頁圖 1 圖 2 圖 3 7、（10 門頭溝二模）小華將一張矩形紙片（如圖 1）沿對角線CA 剪開，得到兩張三角形紙片（如圖 2），其中 ACB=，然后將這兩張三角形紙片按如圖3 所示的位置擺放，EFD 紙片的直角頂點(diǎn)D 落在 ACB 紙片的斜邊AC 上，直角邊 DF 落在 AC 所在

20、的直線上.（1）若 ED 與 BC 相交于點(diǎn)G，取 AG 的中點(diǎn) M，連接 MB、MD，當(dāng) EFD 紙片沿 CA 方向平移時（如圖3），請你猜想并寫出MB 與 MD 的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（2）在（1）的條件下，求出BMD 的大小（用含的式子表示），并說明當(dāng)45 時，BMD 是什么三角形？（3）在圖 3 的基礎(chǔ)上，將 EFD 紙片繞點(diǎn) C 逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角度小于90），此時 CGD 變成 CHD，同樣取 AH 的中點(diǎn) M，連接 MB、MD（如圖 4），請繼續(xù)探究MB 與 MD 的數(shù)量關(guān)系和BMD 的大小，直接寫出你的猜想，不需要證明，并說明為何值時，BMD 為等邊三角形.精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 12 頁，共 12 頁