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1、能力升級練(七) 等差數(shù)列與等比數(shù)列
一、選擇題
1.已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由已知,得9a1+36d=27,a1+9d=8,解得a1=-1,d=1,
所以a100=a1+99d=-1+99=98.
答案C
2.公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6+a4a7=18,若a1am=9,則m的值為( )
A.8 B.9 C.10 D.11
解析由題意得,2a5a6=18,a5a6=9,
∴a1am=a5a6=9,
∴m=10.
答案C
3.已
2、知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a4與a14的等比中項為22,則2a7+a11的最小值為( )
A.16 B.8 C.22 D.4
解析因為a4與a14的等比中項為22,
所以a4·a14=a7·a11=(22)2=8,
所以2a7+a11≥22a7a11=22×8=8,
當且僅當a7=2,a11=4時,取等號,
所以2a7+a11的最小值為8.
答案B
4.(2019山東淄博調(diào)研)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a6a5=911,則S11S9=( )
A.1 B.-1 C.2 D.12
解析由于S11S9=11a69a5=119×911=1,故選A.
答案
3、A
5.(2019中原名校聯(lián)考)若數(shù)列{an}滿足1an+1-1an=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為調(diào)和數(shù)列,已知數(shù)列1xn為調(diào)和數(shù)列,且x1+x2+…+x20=200,則x5+x16=( )
A.10 B.20 C.30 D.40
解析依題意,11xn+1-11xn=xn+1-xn=d,∴{xn}是等差數(shù)列.又x1+x2+…+x20=20(x1+x20)2=200.
∴x1+x20=20,從而x5+x16=x1+x20=20.
答案B
6.(2019北京海淀質(zhì)檢)中國古詩詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題:“九百九十六斤綿,贈分八子作盤纏,次第每人多十七,要將第八
4、數(shù)來言”.題意是:把996斤綿分給8個兒子作盤纏,按照年齡從大到小的順序依次分綿,年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個兒子分到的綿是( )
A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
解析用a1,a2,…,a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿數(shù),由題意得數(shù)列a1,a2,…,a8是公差為17的等差數(shù)列,且這8項的和為996,
∴8a1+8×72×17=996,解得a1=65.∴a8=65+7×17=184,即第8個兒子分到的綿是184斤.
答案B
7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=9,S99-S55=-4,則Sn取最大值時的n為( )
A.4 B
5、.5
C.6 D.4或5
解析由{an}為等差數(shù)列,得S99-S55=a5-a3=2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+11<0,得n>112,所以Sn取最大值時的n為5.
答案B
8.(2019上海崇明模擬)已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,S3=3a3,則S5=( )
A.1 B.5
C.3148 D.1116
解析由題意得a1(1-q3)1-q=3a1q2,解得q=-12或q=1(舍),所以S5=a1(1-q5)1-q=1--1251--12=1116.
答案D
9.(2019廣東深圳一模)已知等比數(shù)列
6、{an}的前n項和Sn=a·3n-1+b,則ab=( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析∵等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=a·3n-1+b,
∴a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,∵等比數(shù)列{an}中,a22=a1a3,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得ab=-3.
答案A
二、填空題
10.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,項數(shù)是偶數(shù),所有奇數(shù)項之和為15,所有偶數(shù)項之和為25,則這個數(shù)列的項數(shù)為 .?
解析設(shè)項數(shù)為2n,則由S偶-S奇=nd得,25-15=2n,解得n=5,故這個數(shù)列的
7、項數(shù)為10.
答案10
11.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,S10=16,S100-S90=24,則S100= .?
解析依題意,S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90依次成等差數(shù)列,設(shè)該等差數(shù)列的公差為d.又S10=16,S100-S90=24,因此S100-S90=24=16+(10-1)d=16+9d,解得d=89,因此S100=10S10+10×92d=10×16+10×92×89=200.
答案200
12.等比數(shù)列{an}中,各項都是正數(shù),且a1,12a3,2a2成等差數(shù)列,則a13+a14a14+a15= .?
解析設(shè){an
8、}的公比為q.由題意,得a1+2a2=a3,
則a1(1+2q)=a1q2,q2-2q-1=0,
所以q=1+2,或q=1-2(舍).
則a13+a14a14+a15=1q=2-1.
答案2-1
13.(2018江蘇南京模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an+12an=4(an+1-an)(n∈N*),則其前9項的和S9= .?
解析由an+12an=4(an+1-an),得an+12-4an+1an+4an2=0,
∴(an+1-2an)2=0,an+1an=2,∴數(shù)列{an}是首項a1=2,公比為2的等比數(shù)列,∴S9=2(1-29)1-2=1022.
答案1 02
9、2
三、解答題
14.已知等差數(shù)列{an}的前三項依次為a,4,3a,前n項和為Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式bn=Snn,證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項和Tn.
(1)解由題意,得a1=a,a2=4,a3=3a,
∵a+3a=8,∴a1=a=2,公差d=4-2=2,
∴Sk=ka1+k(k-1)2·d=2k+k(k-1)2×2=k2+k,
由Sk=110,得k2+k-110=0,
解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.
(2)證明由(1)得Sn=n(2+2n)2=n(n+1),
則bn=Snn=n
10、+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
即數(shù)列{bn}是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,
所以Tn=n(2+n+1)2=n(n+3)2.
15.已知數(shù)列{an}中,點(an,an+1)在直線y=x+2上,且首項a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}中,b1=a1,b2=a2,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值.
解(1)根據(jù)已知a1=1,an+1=an+2,即an+1-an=2=d,
所以數(shù)列{an}是一個首項為1,公差為2的等差數(shù)列,an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2.
等比數(shù)列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,所以q=3,bn=3n-1.數(shù)列{bn}的前n項和Tn=1-3n1-3=3n-12.
Tn≤Sn即3n-12≤n2,又n∈N*,所以n=1或2.
7
（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習 能力升級練（七）等差數(shù)列與等比數(shù)列 理
