高中數學雙曲線的參數方程 新人教選修

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1、會計學1高中數學高中數學 雙曲線的參數方程雙曲線的參數方程 新人教選修新人教選修baoxy)MBABAOBBy在中，(,)M x y設|tanBBOBtan.bOAAx在中，|cosOAOAcosasec,asec()tanxaMyb所以的軌跡方程是為參數所以的軌跡方程是為參數2a22222 2xyxy消去參數后，得-=1,消去參數后，得-=1,b b這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。雙曲線的參數方程第1頁/共18頁baoxy)MBABAsec()tanxayb為參數2a222xy-=1(a0,b0)的參數方程為：b3,2)22o通 常 規(guī) 定且，。雙

2、曲線的參數方程可以由方程 與三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數方程 的實質是三角代換.說明：這里參數 叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同.第2頁/共18頁例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,)如如圖圖，設設為為雙雙曲曲線線任任意意一一點點，為為原原點點，過過點點作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于，兩兩點點。探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現現什什么么結結論論？OBMAxy.byxa 雙曲線的漸近線方程為：解：解：tan(sec).Mbybxa

3、aA 不妨設M為雙曲線右支上一點，其坐標為,則直線的方程為（asec,btan）：b將y=x代入，解得點A的橫坐標為aAax=（sectan）2.Bax=（se同理可得，點B的橫坐cta2標n為）.ba設 AOx=,則tan.MAOB所以的面積為MAOBS=|OA|OB|sin2=ABxxsin2coscos2222a(sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可見，平行四邊形的面積恒為定值，與點M在雙曲線上的位置無關。第3頁/共18頁復習：已學圓錐曲線的參數方程復習：已學圓錐曲線的參數方程1、橢圓的參數方程2、雙曲線的參數方程2222cos1(0,2)si

4、nxaxyybab 橢圓為參數,)222230,2)sec1(,2t2anxaxyybab 雙曲線為參數且)注意:第4頁/共18頁探究探究P21 如圖，一架救援飛機在離災區(qū)地面如圖，一架救援飛機在離災區(qū)地面500m高處以高處以100m/s的速度的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準確落于災區(qū)指定的地面作水平直線飛行。為使投放救援物資準確落于災區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應如何確定投放時機呢？（不記空氣阻力），飛行員應如何確定投放時機呢？xy500o物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：物資投出機艙后，它的運動由下列兩種運動合成：（1）沿）沿ox作初速為作初速為100m/x的勻速

5、直線運動；的勻速直線運動；（2）沿）沿oy反方向作自由落體運動。反方向作自由落體運動。txy解：物資出艙后，設在時刻，水平位移為，垂直高度為，所以2100,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s思考：對于一般的拋物線，怎樣建立相應的參數方程呢？第5頁/共18頁第6頁/共18頁oyx)HM(x，y)M設（x,y）為拋物線上除頂點外的任意一點，以射線OM為終邊的角記作。tan.M因為點（x,y）在 的終邊上，y根據三角函數定義可得x.2又y=2px,().y22px=tan解出x,y得到拋物線（不包括頂點）的參數方程：為參數2ptan1如果設t=,t(-,0)(0,+),則有tan,().t

6、y2x=2pt為參數2pt0t 當時，參數方程表示的點正好就是拋物線的頂點（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，為參數，表示整條拋物線。2pt思考：參數t的幾何意義是什么？。表示焦點到準線的距離其中設拋物線的普通方程為ppxy,22第7頁/共18頁oyx)HM(x，y)2拋物線y=2px(p0)的參數方程為:1其中參數t=，幾何意義為：tan,().ttRy2x=2pt為參數，2pt拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數。思考：思考：P33 怎樣根據拋物線的定義選取參數，建立拋物線怎樣根據拋物線的定義選取參數，建立拋物線x2=2py(p0)的的參數方程？參數方程？.x即P(x

7、,y)為拋物線上任意一點,則有t=y第8頁/共18頁20p 推導拋物線x=2py的參數方程：,M x y設是拋物線上除頂點外的任意一點，Mox=2tanyx則x=2py22tan2tanxpyp得tant令222xpttypt則為參數oyxHM(x，y)t的幾何意義為：拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率。.y即P(x,y)為拋物線上任意一點,則有t=x第9頁/共18頁21.y=2px(p0)的參數方程為,().ttRy2x=2pt為參數，2pt2y=-2px(p0)的參數方程為:,().ttRy2x=-2pt為參數，2pt20p 2.x=2py的參數方程：222xpttypt為參數,t

8、R20px=-2py的參數方程：222xpttypt 為參數,tR結論推廣結論推廣第10頁/共18頁21.(3,)4(),()4 .2.3 .4.5PmFxttPFytABCD 例 若點在以點 為焦點的拋物線為參數 上 則等于 C第11頁/共18頁22()2 .0.1 .2.3xttytABCD 關于曲線為參數 下列說法正確的個數是 ()1.是焦點在x軸上的拋物線;2.開口向上的拋物線;3.是焦點到準線距離為2的拋物線.鞏固練習鞏固練習A第12頁/共18頁2OABy例2：如圖，是直角坐標原點，是拋物線=2px(p0)上異于頂點的兩動點，且OAOB，OMAB并與AB相交于點M，求點M的軌跡方程。

9、,0.2112221212解：根據條件，設M（x,y）,A(2pt,2pt),B(2pt,2pt)(tt 且t t）OBMAxyOMOAOBAB 211222222121則=（x,y），=(2pt,2pt),=(2pt,2pt)，=(2p(t-t),2p(t-t).,OAOB ,OMAB (0)yxx12即t+t。AMMBA M B 221122因為=（x-2pt,y-2pt），=（2pt-x,2pt-y）,且，三點共線，221212（x-2pt)(2pt-y）=(y-2pt)(2pt-x)，121 2化簡，得y(t+t)-2pt t-x=0.yy(-)+2p-x=0,x220(0)ypxxM

10、2即x，這就是點的軌跡方程。1 221 21 21 2即(2pt t)+（2p）t t=0,t t。0,OA OB ()0 xy22 2212112即2px(t-t)+2py(t-t)=0,t+t。0,OM AB 第13頁/共18頁3,?A BAOB探究：在例 中，點在什么位置時，的面積最??？最小值是多少22211(2)(2)OAptpt22222(2)(2)OBptpt2221222ptt2221 2122(1)(1)AOBSp t ttt22122()4ptt24p122,4.ttA BxAOBp 當且僅當，即當點關于 軸對稱時，的面積最小，最小值為OBMAxy,30.AB22112212

11、12解：，的坐標分別為(2pt,2pt),(2pt,2pt)(tt 且t t例 可得）由21121p tt22221p tt1 1 2t t第14頁/共18頁2121212121212122()2,11 xpttyptMMt tM MAttBttCDtttt2、若曲線為參數 上異于原點的不同兩點，所對應的參數分別是則弦所在直線的斜率是、()C第15頁/共18頁12121222111222,(2,2),(2,2)M MttMMMptptMptpt解：由于兩點對應的參數方程分別是 和，則可得點和的坐標分別為112222121222122M Mptptkptpttt第16頁/共18頁21.y=2px(p0)的參數方程為,().ttRy2x=2pt為參數，2pt2y=-2px(p0)的參數方程為:,().ttRy2x=-2pt為參數，2pt20p 2.x=2py的參數方程：222xpttypt為參數,tR20px=-2py的參數方程：222xpttypt 為參數,tR小結小結第17頁/共18頁