（通用版）2020高考數學二輪復習 單科標準練3 理

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1、單科標準練(三) (滿分：150分　時間：120分鐘) 第Ⅰ卷 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．若復數為純虛數，則實數b等于(　　) A．3　　　　　　 B．－ C. D．－1 B　[∵＝＝＋i為純虛數， ∴，即b＝－.故選B.] 2．已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，則A∩(RB)＝(　　) A．(－1,0) B．[0,1) C．(0,1) D．(－1,0] D　[∵A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{y|y＞0}，∴RB＝{y|y≤0}，∴A∩(RB)

2、＝(－1,0]，故選D.] 3．南宋數學家秦九韶在《數書九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多項求值比較先進的算法，已知f(x)＝2 019x2 018＋2 018x2 017＋…＋2x＋1，程序框圖設計的是f(x)的值，在M處應填的執(zhí)行語句是(　　) A．n＝i B．n＝2 019－i C．n＝i＋1 D．n＝2 018－i B　[由題意，n的值為多項式的系數，由2 019,2 018,2 017，直到1，由程序框圖可知，處理框處應該填入n＝2 019－i.故選B.] 4.在如圖所示的矩形中隨機投擲30 000個點，則落在曲線C下方(曲線C為正態(tài)分布N(1,1)的正態(tài)曲線)的點的個

3、數的估計值為(　　) 附：正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內取值的概率分別為0.683,0.954,0.997. A．4 985 B．8 185 C．9 970 D．24 555 B　[由題意P(0＜X＜3)＝0.683＋(0.954－0.683)＝0.818 5，∴落在曲線C下方的點的個數的估計值為30 000×0.818 5×＝8 185.] 5．已知函數f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，且y＝f(x)的圖象平移m個單位后所得的圖象關于坐標原點對稱，則|m|的最小值為(　　) A. B. C. D.

4、 C　[∵函數f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝2sin， y＝f(x)的圖象平移m個單位后所得的圖象對應的函數解析式為y＝2sin， 關于坐標原點對稱，則－±2m＝kπ，k∈Z，令k＝0，得|m|的最小值為，故選C.] 6．已知變量x，y滿足則k＝的取值范圍是(　　) A．k＞或k≤－5 B．－5≤k＜ C．－5≤k≤ D．k≥或k≤－5 A　[由變量x，y滿足作出可行域如圖，由解得A(2,4)， k＝的幾何意義為可行域內動點與定點D(3，－1)連線的斜率． ∵kDA＝＝－5，x－2y＋4＝0的斜率為， ∴k＝的取值范圍是

5、k＞或k≤－5.故選A.] 7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，若＝，則·＝(　　) A. B．－ C. D．－ A　[由題意，如圖所示： 則＝＝(－) ＝－＋， ＝＋＝－＋＝＋. ∴·＝· ＝－||2＋||2－· ＝－×4＋×9－||||cos∠BAC ＝－＋4－×2×3cos ＝.故選A.] 8．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，實線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的外接球的體積為(　　) A. B. C．180π D．90π A　[根據三視圖知，該幾何體是側棱PA⊥底面ABC的三棱錐，如圖所示. 其中AC＝AB＝3，BC＝6， ∴A

6、C⊥AB.三棱錐P-ABC的外接球即為以AB、AC、AP為共頂點的長方體的外接球，則該外接球的直徑為 (2R)2＝AB2＋AC2＋AP2＝18＋18＋9＝45，∴R＝， ∴外接球的體積為V＝·＝.故選A.] 9．設函數f(x)＝acos xsin x＋x－(a－1)x2，若f(x)為奇函數，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝3x C．y＝2x D．y＝2x或y＝－2x C　[函數f(x)＝acos xsin x＋x－(a－1)x2，若f(x)為奇函數，可得f(－x)＝－f(x)，則－acos xsin x－x－(a－1)x2＝－acos

7、 xsin x－x＋(a－1)x2， 即為(a－1)x2＝0恒成立，故a＝1， 即f(x)＝sin xcos x＋x，∴f′(x)＝cos2x－sin2x＋1， 可得f(x)在x＝0處的斜率為k＝2，則f(x)在x＝0處的切線方程為y＝2x.故選C.] 10．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，以A為圓心，OA(O為坐標原點)為半徑的圓與雙曲線C在第一象限的交點為P，若PF2⊥PA，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線C的離心率為(　　) A．1＋ B．1＋ C. D. A　[由題意，圓心A(a,0)，所以|PA|＝a，|AF2|＝

8、c－a， ∵PF2⊥PA，∴|PF2|＝＝. ∵|PF1|＝2|PF2|， ∴由雙曲線的性質得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a， ∴＝2a，即c2－2ac＝4a2，即e2－2e＋1＝5，解得e＝1＋(e＝1－舍去)，故選A.] 11．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，D是邊AC上的一點，將△ABC沿BD折疊，得到三棱錐A-BCD，若該三棱錐的頂點A在底面BCD的射影M在線段BC上，設BM＝x，則x的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．(，) C．(，2) D．(2，2) C　[將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A-BCD，且點A在底面BC

9、D的射影M在線段BC上，如圖2, AM⊥平面BCD，則AM⊥BD，過M作MN⊥BD，連接AN，則AN⊥BD，因此，折疊前在圖1中，AM⊥BD，垂足為N.在圖1中，過A作AM1⊥BC于M1，運動點D，當D點與C點無限接近時，折痕BD接近BC，此時M與點M1無限接近；在圖2中，由于AB是Rt△ABM的斜邊，BM是直角邊，∴BM＜AB. 圖1　　　　　　　　　　圖2 由此可得：BM1＜BM＜AB， ∵△ABC中，AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理可得AC＝2， ∴BM1＝＝， ∴＜BM＜2， 由BM＝x可得x的取值范圍為(，2)．故選C. ] 12．已知拋物線C：y2

10、＝4x的焦點為F，直線l過焦點F與拋物線C分別交于A，B兩點，且直線l不與x軸垂直，線段AB的垂直平分線與x軸交于點T(5,0)，則S△AOB＝(　　) A．2 B. C. D．3 A　[如圖所示，F(1,0)．設直線l的方程為：y＝k(x－1)，(k≠0)， 則線段AB的垂直平分線的方程為：y＝－(x－5)． 聯立，整理得ky2－4y－4k＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點E(x0，y0)， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－4， ∴y0＝(y1＋y2)＝，x0＝＋1＝＋1， 把E代入線段AB的垂直平分線的方程： y＝－(x－5)． 可得：＝－，

11、解得k2＝1. S△OAB＝×1×|y1－y2|＝ ＝＝2.故選A. ] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22～23題為選考題，考生根據要求作答． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．某公司生產A，B，C三種不同型號的轎車，產量之比依次為2∶3∶4，為檢驗該公司的產品質量，用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，若樣本中A種型號的轎車比B種型號的轎車少8輛，則n＝________. 72　[設樣本中A型號車為x輛，則B型號為(x＋8)輛，則＝，解得x＝16，即A型號車16輛，則＝，解得n＝72.] 1

12、4．已知cos＋cos α＝，則cos＝________. 　[cos＋cos α＝， 可得cos αcos ＋sin αsin ＋cos α＝， 即cos α＋sin α＝，可得cos＝， 即cos＝.] 15．二項式的展開式中x5的系數為，則dx＝________. 　[二項式的展開式中x5的系數為C·a5·＝，∴a＝1， ∴dx＝dx＝·x＝.] 16．函數f(x)＝ex－ax2在(0，＋∞)上有兩個極值點，則實數a的取值范圍是________． 　[∵f(x)＝ex－ax2，∴f′(x)＝ex－2ax， 若f(x)在(0，＋∞)上有兩個極值點x1，x2(0＜x1＜x

13、2)， 則y＝ex和y＝2ax在(0，＋∞)上有2個交點， 設直線y＝2ax和y＝ex相切時切點是A(m，em)，則y′＝ex，y′|x＝m＝em， 故y－em＝em(x－m)，即y＝emx＋(1－m)em＝2ax， 故(1－m)em＝0，解得m＝1， 故A(1，e)，故2a＝e，a＝， 故直線y＝2ax和y＝ex相交時，a＞. 故實數a的取值范圍為.] 三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分12分)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數列{an}的通項公式； (2)設bn＝2log2an－11，數列

14、{bn}的前n項和為Tn，求Tn的最小值及取得最小值時n的值． [解]　(1)數列{an}滿足Sn＝2an－2， ① 當n＝1時，有S1＝2a1－2＝a1，變形可得a1＝2， 當n≥2時，有Sn－1＝2an－1－2， ②， ①－②可得：an＝2an－2an－1，變形可得：an＝2an－1， 則數列{an}是以a1＝2為首項，公比為2的等比數列，故an＝2n. (2)根據題意，bn＝2log2an－11＝2log22n－11＝2n－11， 當n＝1時，b1＝2－11＝－9， 數列{bn}為等差數列，且首項b1＝－9，公差d＝2， 則Tn＝＝＝n2－10n， 則當n＝5時

15、，Tn取得最小值，且其最小值為－25. 18. (本小題滿分12分)如圖，在圓柱W中，點O1、O2分別為上、下底面的圓心，平面MNFE是軸截面，點H在上底面圓周上(異于N、F)，點G為下底面圓弧ME的中點，點H與點G在平面MNFE的同側，圓柱W的底面半徑為1，高為2. (1)若平面FNH⊥平面NHG，證明：NG⊥FH； (2)若直線NH與平面NFG所成線面角α的正弦值等于，證明：平面NHG與平面MNFE所成銳二面角的平面角大于. [證明]　(1)由題知：平面FNH⊥平面NHG，平面FNH∩平面NHG＝NH. 因為NH⊥FH，FH平面FHN， 所以FH⊥平面NHG， 所以FH⊥

16、NG. (2)以點O2為坐標原點， 分別以O2G，O2E，O2O1為x、y、z軸建立空間直角坐標系O2-xyz所以N(0，－1，2)，G(1,0,0)，F(0,1,2)， 設H(m，n,2)(由圖知m＞0)，則m2＋n2＝1， ＝(m，n＋1,0)， 設平面NFG的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 因為所以 所以即法向量n1＝(2,0,1)． 因此sin α＝＝＝＝＝， 所以2m2＝3n＋3，解得n＝－，m＝，所以點H. 設平面NHG的法向量n2＝(x2，y2，z2)， 因為所以 所以 即法向量n2＝， 因為平面MNFE的法向量n3＝(1,0,0)，所以cos θ

17、＝＝＜. 所以平面NHG與平面MNFE所成銳二面角的平面角大于. 19．(本小題滿分12分)已知B(－1,0)，C(1,0)，且△ABC的周長為2＋2，記點A的軌跡為曲線E. 直線l：y＝kx＋m(k≠0)與曲線E交于不同兩點M，N. (1)求曲線E的方程； (2)是否存在直線l使得|BM|＝|BN|？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由． [解]　(1)由題意知|AB|＋|AC|＝2，可得曲線的軌跡E為焦點在x軸上的橢圓， 根據題設可知a＝，c＝1，故橢圓方程為：＋y2＝1(y≠0)． (2)聯立得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由Δ＝(4km)

18、2－4(1＋2k2)(2m2－2)＞0，得：2k2＋1＞m2，?、? 設MN的中點為P，由根與系數的關系可知點P點坐標為， ∴MN的垂直平分線l′方程為：y－＝－， 若l′過B(－1,0)，把B(－1,0)代入l′得：2k2＋1＝mk，　② 聯立①②，消去m可得，k2＜－1，此方程無解，∴k不存在． 故這樣的直線不存在． 20．(本小題滿分12分)目前，浙江和上海已經成為新高考綜合試點的“排頭兵”，有關其它省份新高考改革的實施安排，教育部部長在十九大上做出明確表態(tài)：到2020年，我國將全面建立起新的高考制度．新高考規(guī)定：語文、數學和英語是考生的必考科目，考生還需從物理、化學、生物、歷

19、史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目．若一個學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目，則稱該學生的選考方案確定；否則，稱該學生選考方案待確定．例如，學生甲選擇“物理、化學和生物”三個選考科目，則學生甲的選考方案確定，“物理、化學和生物”為其選考方案． 某校為了解高一年級840名學生選考科目的意向，隨機選取60名學生進行了一次調查，統(tǒng)計選考科目人數如表： 性別 選考方案 確定情況 物理 化學 生物 歷史 地理 政治 男生 選考方案確 定的有16人 16 16 8 4 2 2 選考方案待 確定的有12人 8 6 0 2 0 0

20、女生 選考方案確 定的有20人 6 10 20 16 2 6 選考方案待 確定的有12人 2 8 10 0 0 2 (1)估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少人？ (2)將列聯表填寫完整，并通過計算判定能否有99.9%把握認為選歷史是否與性別有關？ 選歷史 不選歷史 總計 選考方案確定的男生 選考方案確定的女生 總計 (3)從選考方案確定的16名男生中隨機選出2名，設隨機變量ξ＝，求ξ的分布列及數學期望Eξ. 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.05 0.0

21、1 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 [解]　(1)由題可知，選考方案確定的男生中確定選考生物的學生有8人，選考方案確定的女生中確定選考生物的學生有20人，則該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有××840＝392人． (2)列聯表為： 選歷史 不選歷史 總計 選考方案確定的男生 4 12 16 選考方案確定的女生 16 4 20 總計 20 16 36 由列聯表中數據得K2的觀測值k＝＝＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握認為選歷史與性別有關． (3)由數據可知，選考

22、方案確定的男生中有8人選擇物理、化學和生物；有4人選擇物理、化學和歷史；有2人選擇物理、化學和地理；有2人選擇物理、化學和政治，由已知ξ的取值為0,1. P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝， (或P(ξ＝0)＝＝) 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 P Eξ＝0×＋1×＝. 21．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝(x2＋x)ln －ax，g(x)＝x3＋(1－a)x2－2ax＋b，a，b∈R. (1)求函數g(x)的單調區(qū)間； (2)若f(x)≤g(x)恒成立，求b－2a的最小值． [解]　(1)函數的定義域是R， g′(x)＝(2x＋2

23、)(x－a)， 令g′(x)＝0，解得：x＝－1或x＝a， ①a＜－1時，令g′(x)＞0，解得：x＞－1或x＜a， 令g′(x)＜0，解得：a＜x＜－1， 故g(x)在(－∞，a)上遞增，在(a，－1)上遞減，在(－1，＋∞)上遞增， ②a＝－1時，g′(x)≥0，g(x)在R上遞增， ③當a＞－1時，令g′(x)＞0，解得：x＞a或x＜－1， 令g′(x)＜0，解得：－1＜x＜a， 故g(x)在(－∞，－1)上遞增，在(－1，a)上遞減，在(a，＋∞)上遞增． (2)f(x)≤g(x)?g(x)－f(x)≥0， 設F(x)＝g(x)－f(x)， 則F′(x)＝(2x＋

24、1)ln x＋(x2＋x)＋2x2＋2(1－a)x－a＝(2x＋1)(ln x＋x＋1－a)， ∵x∈(0，＋∞)，令F′(x)＝0，得ln x＋x＋1－a＝0， 設h(x)＝ln x＋x＋1－a，由于h(x)在(0，＋∞)上遞增， 當x→0時，h(x)→－∞，當x→＋∞時，h(x)→＋∞， 故存在唯一x0∈(0，＋∞) ，使得h(x0)＝0， 即a＝x0＋ln x0＋1， 當0＜x＜x0時，F′(x)＜0，故F(x)在(0，x0)上遞減， 當x＞x0時，F′(x)＞0，F(x)在(x0，＋∞)上遞增， 當x∈(0，＋∞)時， F(x)min＝F(x0)＝(x＋x0)ln x

25、0＋x＋(1－a)x－ax0＋b＝(x＋x0)ln x0＋x＋(－x0－ln x0)x－(x0＋ln x0＋1)x0＋b＝－x－x－x0＋b， ∵f(x)≤g(x)恒成立， 故F(x)min＝－x－x－x0＋b≥0， 即b≥x＋x＋x0， 故b－2a≥x＋x＋x0－2a＝x＋x－x0－2ln x0－2， 設t(x)＝x3＋x2－x－2ln x－2，x∈(0，＋∞)， 則t′(x)＝， 令t′(x)＝0，解得：x＝1， 故t(x)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增， 故t(x)min＝t(1)＝－2， 故x0＝1即a＝1＋x0＋ln x0＝2，b＝x＋x＋x0＝時，(b

26、－2a)min＝－. 請考生在第22,23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分． 22．(本小題滿分10分)[選修4－4：坐標系與參數方程]在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，P是曲線C1上的動點，將線段OP繞O點順時針旋轉90°得到線段OQ，設點Q的軌跡為曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1，C2的極坐標方程； (2)在(1)的條件下，若射線θ＝(ρ≥0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(除極點外)，且有定點M(4,0)，求△MAB的面積． [解]　(1)由題設，得C1的直角坐標方程為x2＋(y－1)2＝1

27、， 即x2＋y2－2y＝0， 故C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＝0， 即ρ＝2sin θ. 設點Q(ρ，θ)(ρ≠0)，則由已知得P， 代入C1的極坐標方程得ρ＝2sin， 即C2的極坐標方程為ρ＝2cos θ(ρ≠0)． (2)將θ＝代入C1，C2的極坐標方程得A，B. 又∵M(4,0)，所以S△MOA＝|OA|·|OM|sin ＝3， S△MOB＝|OB|·|OM|sin ＝， ∴S△MAB＝S△MOA－S△MOB＝3－. 23．(本小題滿分10分)[選修4－5不等式選講] 已知函數f(x)＝|ax＋1|，若不等式f(x)≤a的解集為. (1)求a的值； (2)若存在x∈R，使得不等式f(x)＜a|x|＋a＋k成立，求k的取值范圍． [解]　(1)∵f(x)＝|ax＋1|， ∴f(x)≤a，即，解得≤x≤， 又∵不等式f(x)≤a的解集為，∴a＝2， (2)依題意，f(x)＝|2x＋1|， 故不等式f(x)＜a|x|＋a＋k可化為|2x＋1|＜2|x|＋2＋k. 要使不等式存在解，即＜|x|＋1＋存在解，即－|x|－1＜存在解， 令g(x)＝－|x|－1＝ ∴g(x)的最小值為－，依題意得＞－， ∴k＞－3. - 14 -