（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第三章 導數(shù)及其應用 第19講 定積分與微積分基本定理練習 理（含解析）新人教A版

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1、第19講　定積分與微積分基本定理 夯實基礎　【p41】 【學習目標】 1．了解定積分的實際背景、基本思想，了解定積分的概念． 2．了解微積分基本定理的含義． 【基礎檢測】 1.(2x－3x2)dx＝0，則k＝(　　) A．1 B．0 C．0或1 D．以上都不對 【解析】由題設可得k2－k3＝0?k2(k－1)＝0，則k＝0或k＝1. 【答案】C 2．直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(　　) A．2B．4C．2 D．4 【解析】如圖，y＝4x與y＝x3的交點為A(2，8)， 圖中陰影部分的面積即為所求圖形的面積． S陰＝(4x－

2、x3)dx ＝| ＝8－×24＝4. 【答案】D 3．一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，汽車以速度v(t)＝7－3t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止．剎車后汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是(　　) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 【解析】令v(t)＝0得t＝4或t＝－(舍去)， ∴汽車行駛距離s＝dt ＝|＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 【答案】C 4. dx＝________． 【解析】根據(jù)定積分的幾何意義，所求的定積分是曲線y＝和x軸所圍成的圖形的面積，顯然是半個單

3、位圓，其面積是，故dx＝. 【答案】 5．設函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x＋π)＝－f(x)，當0≤x≤時，f(x)＝cos x－1，則－2π≤x≤2π時，f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為(　　) A．4π－8 B．2π－4 C．π－2 D．3π－6 【解析】由題設f(x＋π)＝－f(x)?f(x＋2π)＝f(x)，則函數(shù)y＝f(x)是周期為2π的奇函數(shù)，畫出函數(shù)y＝f(x)，x∈[0，2π]的圖象，結合函數(shù)的圖象可知：只要求出該函數(shù)y＝f(x)，x∈的圖象與x軸所圍成的面積即可．容易算得函數(shù)y＝f(x)，x∈的圖象與x軸所圍成的面積是S＝0－ ∫0(cos x－1)

4、dx＝－＝－1，故借助函數(shù)圖象的對稱性求得函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的圖象與x軸所圍成的面積是8S＝4π－8. 【答案】A 【知識要點】 1．定積分的定義及相關概念 設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1，2，…，n)，作和式 f(ξi)．當n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝f(ξi)．這里a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積

5、分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式． 2．定積分的性質(zhì) (1)kf(x)dx＝__kf(x)dx__(k為常數(shù))； (2)[f(x)±g(x)]dx＝__f(x)dx±g(x)dx__； (3)f(x)dx＝__f(x)dx＋f(x)dx__(其中a＜c＜b)． 3．微積分基本定理 一般地，如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可積，那么f(x)dx＝__F(b)－F(a)__． 這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茲公式，其中F(x)叫做f(x)的一個原函數(shù)． 為了方便，我們常把F(b)－F(a)記作__F(x)|_

6、_，即 f(x)dx＝__F(x)|＝F(b)－F(a)__． 典例剖析　【p41】 考點1　定積分的計算 (1)計算(3x2＋2x)dx＝________． (2)計算(ex＋2x)dx＝________． (3)計算dx＝________． (4)計算(x2＋sin x)dx＝________． (5)設f(x)＝，則f(x)dx＝________． (6)定積分|x－1|dx＝________． 【解析】(1)原式＝(x3＋x2)|＝12－2＝10. (2)原式＝exdx＋2xdx＝ex|＋x2|＝e－1＋1＝e. (3)原式＝dx＋dx＝x|＋ln x|

7、＝＋ln 4－ln 1＝＋ln 4. (4)(x2＋sin x)dx＝x2dx＋sin xdx＝2x2dx＝2·|＝. (5)f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx ＝x3|＋|＝＋＝. (6)|x－1|dx＝|x－1|dx＋|x－1|dx ＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝|＋|＝＋－＝1. 【答案】(1)10　(2)e　(3)＋ln 4　(4)　(5)　(6)1 【點評】運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點 (1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分； (2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和； (3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，

8、要先去掉絕對值號再求積分． 考點2　定積分的幾何意義及應用 (1)如圖所示，正弦曲線y＝sin x，余弦曲線y＝cos x與兩直線x＝0, x＝π所圍成的陰影部分的面積為(　　) A．1 B. C．2 D．2 【解析】∫0dx＋∫π(sin x－cos x)dx＝(sin x＋cos x)|0＋(－cos x－sin x)|π＝－1＋1＋＝2. 【答案】D (2)曲線y＝x3－4x與x軸所圍成的封閉圖形的面積是________． 【解析】由x3－4x＝0得x＝0或x＝±2，函數(shù)圖象如圖所示，則曲線y＝x3－4x與x軸所圍成的封閉圖形的面積S＝S1＋S2，其中S1＝(x3

9、－4x)dx，S2＝－(x3－4x)dx.根據(jù)微積分基本定理和定積分的性質(zhì)知，S1＝(x3－4x)dx＝|－2x2|＝－4＋8＝4，S2＝－(x3－4x)dx＝－＝－(4－8)＝4，所以S＝4＋4＝8. 【答案】8 (3)拋物線y2＝4x與直線y＝2x－4圍成的平面圖形的面積是________． 【解析】畫出圖形，如圖所示， 直線和曲線的交點坐標為(1，－2)和(4，4)．若選用x為積分變量，則要分成兩部分加以計算．故面積S＝[2－(－2)]dx＋(2－2x＋4)dx＝4×x|＋2×x|－x2|＋4x|＝＋－－(16－1)＋(16－4)＝9. 【答案】9 (4)如圖，函數(shù)解

10、析式y(tǒng)＝ax2，點A的坐標為(1，0)，函數(shù)y過點C(2，4)，若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于__________． 【解析】由函數(shù)y的圖象經(jīng)過點C(2，4)，有4＝4a，a＝1 ，所以函數(shù)y＝x2，故曲邊梯形EABC面積為S1＝x2dx＝|＝－＝，陰影部分面積為S2＝4－S1＝4－＝，所以概率P＝＝ . 【答案】 (5)計算(－2x)dx＝(　　) A．2π－4 B．π－4 C．ln 2－4 D．ln 2－2 【解析】由定積分的幾何意義知：()dx表示y＝，x∈[0，2]的面積，即半徑為2的圓的， 故()dx＝×π×22＝π，(2x)dx＝x

11、2|＝4， 所以(－2x)dx＝π－4. 【答案】B 【點評】(1)根據(jù)定積分的幾何意義可計算定積分； (2)利用定積分求平面圖形面積的四個步驟： ①畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象； ②借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限； ③把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和； ④計算定積分，寫出答案． 考點3　定積分在物理中的應用 (1)設變力F(x)作用在質(zhì)點M上，使M沿x軸的正向從x＝1運動到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x軸正向相同，則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為________． 【解析】變力F(x)＝x2＋1使質(zhì)點M沿x軸正

12、向從x＝1運動到x＝10所做的功為W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝|＝342，即變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為342. 【答案】342 (2)已知做變速直線運動的質(zhì)點的速度方程是v(t)＝(單位：m/s)． (i)求該質(zhì)點從t＝10 s到t＝30 s時所走過的路程； (ii)求該質(zhì)點從開始運動到運動結束共走過的路程． 【解析】(i)s1＝v(t)dt＝tdt＋20dt＝350(m)． (ii)s2＝v(t)dt＝tdt＋20dt＋(100－t)dt＝1 600(m)． 【點評】定積分在物理中的兩個應用： (1)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從

13、x＝a移動到x＝b時，力F(x)所做的功是W＝ F(x)dx. (2)變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為v＝v(t)，那么從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路程s＝v(t)dt. 考點4　定積分的綜合應用 已知函數(shù)f(x)＝ln|x|(x≠0)，函數(shù)g(x)＝＋af′(x)(x≠0)． (1)當x≠0時，求函數(shù)y＝g(x)的表達式； (2)若a>0，函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值； (3)在(2)的條件下，求直線y＝x＋與函數(shù)y＝g(x)的圖象所圍成圖形的面積． 【解析】(1)因為f(x)＝ln|x|， 所以當x>0時，f(x)＝ln x，

14、f′(x)＝， 當x<0時，f(x)＝ln (－x)，f′(x)＝·(－1)＝. 所以當x≠0時，函數(shù)y＝g(x)＝x＋. (2)由(1)知，g(x)＝x＋， 所以當a>0，x>0時，g(x)≥2，當且僅當x＝時取等號．所以函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，所以依題意得2＝2，所以a＝1. (3)由解得 所以直線y＝x＋與函數(shù)y＝g(x)的圖象所圍成圖形的面積S＝∫2dx＝dx＝＋ln 3－2ln 2. 方法總結　　【p42】 1．定積分計算的關鍵是通過逆向思維獲知被積函數(shù)的原函數(shù)，即導數(shù)運算的逆運算． 2．定積分在物理學中的應用必須遵循相應的物理過程和物理原理．

15、 3．利用定積分求平面圖形面積的步驟： (1)畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象； (2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限； (3)將曲邊梯形面積表示成若干個定積分的和； (4)計算定積分，寫出答案． 走進高考　　【p42】 1．(2011·全國卷)由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為(　　) A. B．4 C. D．6 【解析】y＝與y＝x－2以及y軸所圍成的圖形為如圖所示的陰影部分， 聯(lián)立得交點坐標為(4，2)，故所求面積為 S＝dx＝|＝. 【答案】C 考點集訓　　【p197】 A組題 1．

16、由直線x＝，x＝2，曲線y＝及x軸所圍成的封閉圖形的面積是(　　) A.ln 2 B．2ln 2－1 C．2ln 2 D．ln 【解析】根據(jù)題意可知面積為：S＝∫2dx＝ln 2－ln＝2ln 2. 【答案】C 2．定積分dx＝(　　) A．10－ln 3 B．8－ln 3 C.D. 【解析】由題意得dx＝(x2－ln x)|＝(32－ln 3)－(12－ln 1)＝8－ln 3. 【答案】B 3．已知S1＝xdx，S2＝exdx，S3＝x2dx，則S1，S2，S3的大小關系為(　　) A．S1

17、30，∴φ′(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，φ′(x)≥e－2>0，∴φ(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，∴φ(x)≥e－1>0，∴φ(x)>0?g(x)>h(x)，∴當x∈[1，2]時，ex>x2≥x，∴S2>S3>S1. 【答案】B 4．已知f(x)＝ax3－3x＋6sin x (a，b為常數(shù))，則f(x)dx(　　) A．恒為0 B．恒為正 C．恒

18、為負D．取值不定 【解析】由題知ax3－3x＋6sin xdx＝ |＝0. 【答案】A 5．若∫0(sin x－acos x)dx＝－，則實數(shù)a等于(　　) A．1 B.C．－1 D．－ 【解析】由題意可知： ∫0(sin x－acos x)dx＝∫0(sin x)dx－a∫0(cos x)dx ＝1－－a, 結合題意有： 1－－a＝－，解得： a＝. 【答案】B 6．若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，則f(x)dx＝________． 【解析】∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx， ∴f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－1－1＝－2. 【

19、答案】－2 7．一物體做變速直線運動，其v－t曲線如圖所示，則該物體在s～6 s間的運動路程為________m. 【解析】由圖可知， v(t)＝ 由變速直線運動的路程公式，可得s＝∫6v(t)dt＝∫12tdt＋ 2dt＋dt＝t2|1＋2t|＋|＝(m)．所以物體在s～6 s間的運動路程是m. 【答案】 8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的圖象如圖，直線y＝0在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為. (1)求f(x)的解析式； (2)若常數(shù)m>0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－m，m]上的最大值． 【解析】(1)由f(0)＝0得

20、c＝0. f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′(0)＝0得b＝0， ∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，則易知圖中所圍成的區(qū)域(陰影)面積為[－f(x)]dx＝，從而得a＝－3， ∴f(x)＝x3－3x2. (2)由(1)知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 當x變化時，f′(x)，f(x)的取值變化情況如下： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 單調(diào) 遞增 極大值 f(0)＝0 單調(diào) 遞減 極小值 f(2

21、)＝－4 單調(diào) 遞增 又f(3)＝0，所以①當03時，f(x)max＝f(m)＝m3－3m2. 綜上可知：當03時，f(x)max＝f(m)＝m3－3m2. B組題 1．對于任意實數(shù)a，b，定義max{a，b}＝若f(x)＝ max{1，x2}，則f(x)dx＝__________． 【解析】f(x)dx＝x2dx＋1dx＋x2dx＝|＋x|＋|＝. 【答案】 2．如圖，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)，陰影部分是由兩曲線y＝，y＝x2(

22、0≤x≤1)圍成，在正方形內(nèi)隨機取一點，且此點取自陰影部分的概率是a，則函數(shù)f(x)＝的值域為________． 【解析】設陰影部分的面積為S，則S＝(－x2)dx＝|＝－＝，又正方形面積為1，∴a＝，∴f(x)＝ ∴f(x)的值域為[－1，＋∞). 【答案】[－1，＋∞) 3．我國古代數(shù)學家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”．其中“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相等．如圖所示，在空間直角坐標系O－xyz平面內(nèi)，若函數(shù)f(x)＝的圖象與x軸圍

23、成一個封閉的區(qū)域A，將區(qū)域A沿z軸的正方向平移4個單位，得到幾何體如圖1，現(xiàn)有一個與之等高的圓柱如圖2，其底面積與區(qū)域A的面積相等，則此圓柱的體積為__________． 【解析】由題可得：底面面積為S＝S圓＋∫0cos xdx＝π＋1，所以圓柱的體積為：×4＝π＋4. 【答案】π＋4 4．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，直線l1：x＝2，直線l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t為常數(shù))．若直線l1，l2與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形以及l(fā)2，y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形(陰影部分)如圖所示． (1)求a、b、c的值； (2)求陰影面積S關于t的函數(shù)S(t)的解析式． 【解析】(1)由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點(0，0)，(8，0)， 并且f(x)的最大值為16，則 解得 ∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝－x2＋8x， (2)由得x2－8x－t(t－8)＝0， ∴x1＝t，x2＝8－t， ∵0≤t≤2， ∴直線l2與f(x)的圖象的交點坐標為(t，－t2＋8t)， 由定積分的幾何意義知： S(t)＝dx ＋dx ＝| ＋| ＝－t3＋10t2－16t＋. 18