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1、第46講 雙曲線
1.[2018·湖南、河南聯(lián)考] 已知雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,-2),一條漸近線的斜率為3,則該雙曲線的方程為 ( )
A.x23-y2=1 B.x2-y23=1
C.y23-x2=1 D.y2-x23=1
2.[2018·湖南邵陽(yáng)期末] 設(shè)P是雙曲線y2-x23=1上一點(diǎn),A(0,-2),B(0,2),若|PA|+|PB|=8,且|PA|>4,則|PB|= ( )
A.2 B.32 C.3 D.72
3.[2018·河北衡水武邑中學(xué)六模] 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線與
2、直線3x-y+5=0垂直,則雙曲線C的離心率為 ( )
A.2 B.103 C.10 D.22
4.若雙曲線y25-x2=m(m>0)的焦距為12,則m= .?
5.[2018·江蘇卷] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0) 到一條漸近線的距離為32c,則其離心率為 .?
6.[2018·福建四校聯(lián)考] 設(shè)F是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)F到漸近線的距離與雙曲線的兩焦點(diǎn)間的距離的比為1∶6,則雙曲線的漸近線方程為 ( )
A.22x±y=0 B.x±22y=0
C.x±35
3、y=0 D.35x±y=0
7.[2018·廣東揭陽(yáng)二模] 已知雙曲線的焦距為4,A,B是其左、右焦點(diǎn),點(diǎn)C在雙曲線右支上,△ABC的周長(zhǎng)為10,則|AC|的取值范圍是 ( )
A.(2,5) B.(2,6)
C.(3,5) D.(3,6)
8.[2018·廣東茂名二聯(lián)] 已知a>0,b>0,以(0,b)為圓心,a為半徑的圓與雙曲線C:y2a2-x2b2=1的漸近線相離,則C的離心率的取值范圍是 ( )
A.1,5+12 B.5+12,+∞
C.1,5+32 D.5+32,+∞
9.[2018·陜西西安模擬] 等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y2=16x的
4、準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=43,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為 ( )
A.2 B.22
C.4 D.8
10.[2018·浙江紹興二調(diào)] 已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),以F1F2為直徑的圓交漸近線ay=bx于點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限),PF1交雙曲線左支于點(diǎn)Q,若Q是線段PF1的中點(diǎn),則該雙曲線的離心率為 ( )
A.3 B.5
C.5+1 D.5-1
11.[2018·北京朝陽(yáng)區(qū)質(zhì)檢] 已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合,一條漸近線方程為x+y=0,則雙曲線C的方程是 .?
12.
5、[2018·云南昆明一中摸底] 已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,F(2,0)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作漸近線的垂線l,垂足為M,直線l交y軸于點(diǎn)E,若FM=3ME,則雙曲線C的方程為 .?
13.[2018·海南中學(xué)一模] 已知雙曲線C的一條漸近線的方程是x-2y=0,且雙曲線C過(guò)點(diǎn)(22,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,P為雙曲線C上任意一點(diǎn),直線PA1,PA2分別與直線l:x=1交于點(diǎn)M,N,求|MN|的最小值.
14.設(shè)A,B分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn),雙曲線的
6、實(shí)軸長(zhǎng)為43,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=33x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D,使得OM+ON=tOD,求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo).
15.[2018·重慶三診] 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F2為直徑的圓M與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),若AF1與圓M相切,則雙曲線C的離心率為 ( )
A.2+362 B.2+62
C.32+62 D.32+262
16.[2018·山西五校聯(lián)考] 設(shè)雙曲線C:x
7、2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,|F1F2|=2c,過(guò)F2作x軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A,已知Qc,3a2,|F2Q|>|F2A|,P是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn),且|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立,則雙曲線的離心率的取值范圍是 ( )
A.102,+∞ B.1,76
C.76,102 D.1,102
課時(shí)作業(yè)(四十六)
1.C [解析] 由題意得c=2,ab=3,因?yàn)閍2+b2=c2,所以a=3,b=1,所以雙曲線的方程為y23-x2=1,故選C.
2.C [解析] 因?yàn)閨PA|>4,所以|PB|<4,故|P
8、A|-|PB|=2a=2,又|PA|+|PB|=8,所以|PB|=3,故選C.
3.B [解析] 易知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,直線3x-y+5=0可化為y=3x+5,∵雙曲線C:x2a2-y2b2=1的一條漸近線與直線3x-y+5=0垂直,∴-ba=-13,即c2-a2a2=19,∴雙曲線的離心率e=ca=103,故選B.
4.6 [解析] 由題意知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y25m-x2m=1(m>0),∵雙曲線的焦距為12,∴5m+m=1222=36,∴m=6.
5.2 [解析] 取雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0,則由題意得|bc
9、+a×0|b2+a2=32c,則b=32c,所以b2=34c2,即c2-a2=34c2,所以c2=4a2,則c=2a,所以雙曲線的離心率e=ca=2.
6.B [解析] 易知雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離d=|bc|a2+b2=bcc=b,∵點(diǎn)F到漸近線的距離與雙曲線的兩焦點(diǎn)間的距離的比為1∶6,∴b2c=16,即c=3b,則c2=a2+b2=9b2,∴a2=8b2,則a=22b,故雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±b22bx=±122x,即x±22y=0,故選B.
7.C [解析] 設(shè)|AC|=m,|BC|=n,則由雙曲線的定義可得m-n=2a①,由題意可得m+n=10-4=
10、6②,聯(lián)立①②,可得m=a+3.因?yàn)?a,即b2>ac,∴c2-ac-a2>0,即e2-e-1>0,∴e>5+12或e<1-52(舍).故選B.
9.C [解析] 因?yàn)榈容S雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)其方程為x2a2-y2a2=1(a>0),易知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-4,代入雙曲線方程,解得y=±16-a2.則|AB|=216-a2=43,解得a=2,所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,故選C.
10.C [解析] 易知以F1F2為直徑
11、的圓的方程為x2+y2=c2,由x2+y2=c2,y=bax,結(jié)合c2=a2+b2,且點(diǎn)P在第一象限,可得P(a,b).雙曲線的左焦點(diǎn)為F1(-c,0),則PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為a-c2,b2,又點(diǎn)Q在雙曲線上,所以(a-c)24a2-b24b2=1,整理可得c2-2ac-4a2=0,即e2-2e-4=0,解得e=1±5,因?yàn)殡p曲線的離心率e>1,所以e=5+1.
11.x22-y22=1 [解析] 拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),所以雙曲線C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為x+y=0,所以a=b,所以a2+a2=4,所以a2=2,所以雙曲線C的方程為x22-y22
12、=1.
12.x2-y23=1 [解析] 設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則漸近線方程為y=±bax,由點(diǎn)到直線的距離公式可得FM=b,由FM=3ME得|ME|=b3,在△EOF中,由勾股定理可得|OE|=(4b3)?2-4,∵FE 與漸近線垂直,∴(4b3)?2-42=ab,結(jié)合a2=4-b2,可得b2=3,a2=1,∴雙曲線C的方程為x2-y23=1.
13.解:(1)由漸近線方程可設(shè)雙曲線C的方程為x2-4y2=k(k≠0),把(22,1)代入,可得k=4,
所以雙曲線C的方程為x24-y2=1.
(2)易知當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時(shí),|MN|取得最小值.
13、
不妨設(shè)點(diǎn)P位于第一象限,由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),根據(jù)雙曲線C的方程可得yx-2·yx+2=14,設(shè)直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2,則k1>0,k2>0,且k1k2=14.
直線PA1的方程為y=k1(x+2),令x=1,得M(1,3k1),
直線PA2的方程為y=k2(x-2),令x=1,得N(1,-k2),
所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥23k1k2=3,
當(dāng)且僅當(dāng)3k1=k2,即k1=36,k2=32時(shí)等號(hào)成立.
故|MN|的最小值為3.
14.解:(1)由題意可知a=23,∵雙曲線的一條漸近線的方程為y=bax,即bx
14、-ay=0,
且焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,∴|bc|b2+a2=b=3,
∴雙曲線的方程為x212-y23=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
將直線方程y=33x-2與雙曲線方程x212-y23=1聯(lián)立,得x2-163x+84=0,
則x1+x2=163,y1+y2=33(x1+x2)-4=12,
∴x0y0=433,x0212-y023=1,得x0=43,y0=3,
∴t=4,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(43,3).
15.C [解析] 根據(jù)題意,得|AM|=c2,|MF1|=3c2,因?yàn)锳F1與圓M相
15、切,所以∠F1AM=π2,所以在Rt△F1AM中,由勾股定理可得|AF1|=2c,所以cos∠F1MA=|AM||F1M|=13,所以cos∠AMF2=-13,在△AMF2中,由余弦定理可得|AF2|=c24+c24-2·c2·c2·(-13)=63c,所以e=2c2a=2c2c-6c3=32+62,故選C.
16.B [解析]AF2垂直于x軸,則|F2A|=b2a,點(diǎn)A的坐標(biāo)為c,b2a,∵Qc,3a2,且|F2Q|>|F2A|,∴3a2>b2a,即3a2>2b2=2(c2-a2),則有e=ca<102.又|PF1|+|PQ|>32|F1F2|恒成立,∴由雙曲線的定義,可得2a+|PF2|+|PQ|>3c恒成立,易知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),|PF2|+|PQ|取得最小值為|F2Q|=3a2,∴3c<2a+3a2,即e=ca<76,由e>1,可得e的取值范圍是1,76.
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