（新課標(biāo) 全國(guó)I卷）2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題17 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文（含解析）

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1、專題17 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 坐標(biāo)系與參數(shù)方程大題：10年10考，而且是作為2個(gè)選做題之一出現(xiàn)的，主要考查兩個(gè)方面：一是極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，二是極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度較?。? 1．（2019年）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ+11＝0． （1）求C和l的直角坐標(biāo)方程； （2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值． 【解析】（1）由（t為參數(shù)），得， 兩式平方相加，得（x≠﹣1）， ∴C的直角坐標(biāo)方程為（x≠﹣1）， 由2ρcosθ+ρsinθ+11＝0

2、，得， 即直線l的直角坐標(biāo)方程為得． （2）法一、設(shè)C上的點(diǎn)P（cosθ，2sinθ）（θ≠π）， 則P到直線的距離為： d＝＝． ∴當(dāng)sin（θ+φ）＝﹣1時(shí)，d有最小值為． 法二、設(shè)與直線平行的直線方程為， 聯(lián)立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0． 由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4． ∴當(dāng)m＝4時(shí)，直線與曲線C的切點(diǎn)到直線的距離最小，為． 2．（2018年）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|+2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ﹣3＝0． （1）求C2的直角坐標(biāo)方程； （2）

3、若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程． 【解析】（1）曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ﹣3＝0． 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2+2x﹣3＝0， 轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為：（x+1）2+y2＝4． （2）由于曲線C1的方程為y＝k|x|+2，則：該射線關(guān)于y軸對(duì)稱，且恒過(guò)定點(diǎn)（0，2）． 由于該射線與曲線C2的極坐標(biāo)有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)． 所以必有一直線相切，一直線相交． 則圓心到直線y＝kx+2的距離等于半徑2． 故，或， 解得：k＝或0， 當(dāng)k＝0時(shí)，不符合條件，故舍去， 同理解得：k＝或0， 經(jīng)檢驗(yàn)，直線與曲線C2沒(méi)有公共點(diǎn)． 故C1的方程為． 3．（2

4、017年）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）． （1）若a＝﹣1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為，求a． 【解析】（1）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程是+y2＝1； a＝﹣1時(shí)，直線l的參數(shù)方程化為一般方程是：x+4y﹣3＝0； 聯(lián)立方程， 解得或， 所以橢圓C和直線l的交點(diǎn)為（3，0）和（，）． （2）l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）化為一般方程是x+4y﹣a﹣4＝0， 橢圓C上的任一點(diǎn)P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）， 所以點(diǎn)P到直線l的距離d＝＝，φ滿足tanφ＝

5、，且d的最大值為． ①當(dāng)﹣a﹣4≤0時(shí)，即a≥﹣4時(shí)，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17， 解得a＝8和﹣26，a＝8符合題意． ②當(dāng)﹣a﹣4＞0時(shí)，即a＜﹣4時(shí)，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17， 解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合題意． 4．（2016年）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cosθ． （1）說(shuō)明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； （2）直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足t

6、anα0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a． 【解析】（1）由，得，兩式平方相加得，x2+（y﹣1）2＝a2． ∴C1為以（0，1）為圓心，以a為半徑的圓． 化為一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．① 由x2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0； （2）C2：ρ＝4cosθ，兩邊同時(shí)乘ρ得ρ2＝4ρcosθ， ∴x2+y2＝4x，② 即（x﹣2）2+y2＝4． 由C3：θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，得y＝2x， ∵曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上， ∴y＝2x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1

7、﹣a2＝0，即為C3 ， ∴1﹣a2＝0， ∴a＝1（a＞0）． 5．（2015年）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝﹣2，圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （1）求C1，C2的極坐標(biāo)方程； （2）若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝（ρ∈R），設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． 【解析】（1）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的極坐標(biāo)方程為 ρcosθ＝﹣2， 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的極坐標(biāo)方程為：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1， 化簡(jiǎn)可得ρ2﹣（2ρcosθ

8、+4ρsinθ）+4＝0． （2）把直線C3的極坐標(biāo)方程θ＝（ρ∈R）代入圓C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0， 求得ρ1＝，ρ2＝， ∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝，由于圓C2的半徑為1，∴C2M⊥C2N， △C2MN的面積為＝＝． 6．（2014年）已知曲線C：＝1，直線l：（t為參數(shù)）． （1）寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； （2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． 【解析】（1）對(duì)于曲線C：＝1，可令x＝2cosθ、y＝3sinθ， 故曲線C的參數(shù)方

9、程為（θ為參數(shù)）． 對(duì)于直線l：， 由①得：t＝x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6＝0； （2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（2cosθ，3sinθ）． P到直線l的距離為． 則，其中α為銳角． 當(dāng)sin（θ+α）＝﹣1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為． 當(dāng)sin（θ+α）＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為． 7．（2013年）已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ． （1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； （2）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 【解析】（1）將，消去參數(shù)

10、t，化為普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2＝25， 即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0， 將代入x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0， 得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0． ∴C1的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0． （2）∵曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ． ∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2y＝0， 聯(lián)立， 解得或， ∴C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（，）和（2，）． 8．（2012年）已知曲線C1的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C2的坐標(biāo)系方程是ρ＝2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在

11、C2上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，）． （1）求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)； （2）設(shè)P為C1上任意一點(diǎn)，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍． 【解析】（1）點(diǎn)A，B，C，D的極坐標(biāo)為（2，），（2，），（2，），（2，）， 點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)為（1，），（，1），（，），（，）． （2）設(shè)P（x0，y0），則（為參數(shù)）， t＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ， ∵sin2φ∈[0，1]， ∴t∈[32，52]． 9．（2011年）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C

12、1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2． （1）求C2的方程； （2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|． 【解析】（1）設(shè)P（x，y），則由條件知M（，）．由于M點(diǎn)在C1上， 所以，即， 從而C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)） （2）曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ． 射線θ＝與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sin， 射線θ＝與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8sin． 所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝． 10．（2010年

13、）已知直線C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)）． （1）當(dāng)α＝時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線． 【解析】（1）當(dāng)α＝時(shí)，C1的普通方程為，C2的普通方程為x2+y2＝1． 聯(lián)立方程組， 解得C1與C2的交點(diǎn)為（1，0），（，）． （2）C1的普通方程為xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0①． 則OA的方程為xcosα+ysinα＝0②， 聯(lián)立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα； A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin2α，﹣cosαsinα）， 故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）， P點(diǎn)軌跡的普通方程為． 故P點(diǎn)軌跡是圓心為（，），半徑為的圓． 8