大學(xué)物理：第4章 剛體力學(xué)

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1、一、剛體變化的物體。何狀和大小都不會(huì)發(fā)生任定義：任何情況下，形式二、剛體運(yùn)動(dòng)的基本形平動(dòng)：.1運(yùn)動(dòng)稱(chēng)平動(dòng)。方向始終保持平行，此的空間剛體上任意兩點(diǎn)的連線定義：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ABABA B 轉(zhuǎn)動(dòng)：.2oo作圓周運(yùn)動(dòng)線剛體上各點(diǎn)都繞同一直轉(zhuǎn)動(dòng)：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，固定不動(dòng)，稱(chēng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)如轉(zhuǎn)軸相對(duì)所選參照系剛體運(yùn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)述三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描本特征：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的基圓周運(yùn)動(dòng)。于固定轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作剛體上各質(zhì)點(diǎn)都在垂直.1內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相同。運(yùn)動(dòng)的半徑在相同時(shí)間點(diǎn)作圓周對(duì)位置不變，所以各質(zhì)由于剛體上各點(diǎn)間的相.2速度角位移、角速度、角加同的剛體中所有質(zhì)點(diǎn)具有相rv表示剛體角速度用矢量：右手螺旋法則。方向與轉(zhuǎn)

2、動(dòng)方向的關(guān)系對(duì)剛體上任一質(zhì)點(diǎn)有dtd角加速度：rrvvrv2siniFziinFiF所受的力矩：一、剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) iiiFrM力的切向分量）大?。?sin(sin iiiiiiiiizFFFrFrM向上方向：右手螺旋，圖中|.2FFF和分解為不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，將其外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：外力F.1體轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用；平行于轉(zhuǎn)軸的力，對(duì)剛:|F轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)），其力矩垂直于轉(zhuǎn)軸的力（即在:FFrM軸負(fù)向?yàn)樨?fù)沿軸正向?yàn)檎?；沿?guī)定：ZMZM:iro力的作用點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)平面 與轉(zhuǎn)軸交點(diǎn) 的位置矢量。ooiFifiiimir定軸二、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理：用牛頓第二定律：對(duì)質(zhì)點(diǎn)iiiiiamfFiiiiiniininamfF

3、amfF切向：法向：法向力對(duì)軸的力矩為零iiiiiramrfF）（2sinsiniii iii ii iMFrfrmr即：對(duì)整個(gè)剛體：niiiniiiiniiiirmrfrF1211)(sinsin：力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩和為零由牛頓第三定律知，內(nèi)0sin1niiiirf則，剛體所受合外力矩：niiiniiiirmrFM121)(sinniiirmI12定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：MI剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理注：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用注：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用J表示；表示；角加速度也可用角加速度也可用 表示。表示。IM 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1m2moo1r2rimiroodmr.1IM分離質(zhì)點(diǎn)：.2niiirmI123.質(zhì)量連續(xù)分布

4、dmrdIdm2 小質(zhì)元dmrI2 則取決于三個(gè)因素：轉(zhuǎn)軸位置的分布；的大??；.3 .2 .1mm注：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用注：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可用J表示；表示；角加速度也可用角加速度也可用 表示。表示。frdrdm2元：在圓盤(pán)上取小圓環(huán)為質(zhì)解：先求摩擦力矩：drgrrdrgrdM222所受摩擦力矩為RdrrgdMM0223312RgRRg32)(2Rmg32OR00211()2mROImR例：均勻薄圓盤(pán)質(zhì)量為，半徑為，在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)軸為（如圖），圓盤(pán)與水平桌面的摩擦系數(shù)為，問(wèn)角速度由到停止轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤(pán)共轉(zhuǎn)過(guò)多少圈？經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？圓薄盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rodrIM 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理：IMRgmRRmg34)2(322

5、2202由0gRgR834322202020gRn163220t0又0tRg3400gRt430ZF一、力矩作功的元功：力FsdFdAsdFsdFsdFZntsdFnsdFZdsFtrdFtdrFt)(MdMddA 為正；否則為負(fù)。同向，與dAdM位置，外力矩作功：當(dāng)剛體由2121MddAA積累）效應(yīng)。力矩的角積累（空間功為恒力矩若M221121()AMdMdM二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能22211 22ikiiii imEmvm r：22211 22kkii iEEm rI總轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：三、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理dIddtdIMddA122122)(22121kkEEIdIMddAA能的增量矩作功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

6、動(dòng)在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，合外力四、剛體的重力勢(shì)能的重力勢(shì)能為其質(zhì)量集中于質(zhì)心點(diǎn)體的重力勢(shì)能剛體有一質(zhì)量中心，剛XYZiZCZCimOCPmgZE 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)等，都可以方便地用于原理、機(jī)械能守恒定律關(guān)于一般質(zhì)點(diǎn)組的功能動(dòng)量定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角dtdIIM剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理：固定IdtIdM）（dtdLooirivimiiiiiiiiiiivmrvrmrrmrmI)(2）（即：IdMdt221121ILILtt剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量時(shí)間內(nèi)，122121IIIdMdttt）（微分形式積分形式律二、剛體角動(dòng)量守恒定dtIdM）（dtdL0M恒量IL討論：保持不變。度角動(dòng)量守恒表現(xiàn)為角速一定，體，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)

7、于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛I.1仍可以轉(zhuǎn)很久。矩切斷電源后，忽略阻力例：高速轉(zhuǎn)動(dòng)的砂輪，恒量時(shí)，單個(gè)剛體，當(dāng)IM0.22211 IIII，但，或者，推廣到非剛體，則有、滑冰、跳水生活中的例子：芭蕾舞恒量則如果外 2211 ,0iiiiiIIM軸轉(zhuǎn)動(dòng)）幾個(gè)物體系統(tǒng)作同軸定系統(tǒng)(.3OIII人）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：解：（12iiOrmI啞鈴的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：222222221136.03.022296.17.0222kgmmrIkgmmrIOO兩手靠攏時(shí)：兩手伸開(kāi)時(shí)：守恒，有：動(dòng)量軸的力矩為零，所以角支持力）作用，但對(duì)轉(zhuǎn)、統(tǒng)雖然受到外力（重力當(dāng)人把啞鈴靠攏時(shí)，系2211)()(OOIIII人人21/2140601.5/1

8、2skgcmcms例：一個(gè)人站在無(wú)摩擦的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)的中央，平臺(tái)以 周的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，這時(shí)他的雙臂是伸開(kāi)，并且雙手都握著質(zhì)量為的啞鈴，兩手上的啞鈴相距為，當(dāng)人把啞鈴靠近到距離為時(shí)，平臺(tái)的轉(zhuǎn)速增為周。求：（）人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（設(shè)為恒量）（）人使啞鈴靠近后，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加多少？122211OOIII人)(2)(2122211nnnInIOO284.215.15.136.0196.1kgm211222)(21)(21)2(OOKIIIIE人人)()(22112222nIInIIOO人人J3.471)96.184.2(5.1)36.084.2(14.3222mgmg51成的系統(tǒng)。研究對(duì)象為棒與鉛球組解：（方法

9、一）dmgllmgMddAd)sin51sin2(時(shí)重力矩作元功：系統(tǒng)轉(zhuǎn)過(guò)角度2315(1)3mmlIml例：將一條質(zhì)量為 的細(xì)金屬棒豎直立地，然后在它的端點(diǎn)再裝上一個(gè)質(zhì)量為的鉛球（半徑可忽略），如圖?，F(xiàn)因極微小的擾動(dòng)棒自己倒下，由于接觸地面處有足夠的摩擦力，倒下的過(guò)程中棒與地面的接觸點(diǎn)不發(fā)生滑動(dòng)。已知棒長(zhǎng) 金屬棒對(duì)接觸點(diǎn)處水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。求棒即將著地時(shí)頂端的鉛球的速率是多少？又因?yàn)橄到y(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量著地時(shí)角速度為角速度設(shè)系統(tǒng)在豎直位置時(shí)的,002221585131mlmlmlIII鉛球棒2201122AMdII根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有222/0)158(21)sin51sin2(mldmgllmg即

10、：2230852mllmglmglg821821gllv鉛球的速率：重力勢(shì)能零點(diǎn)。機(jī)械能守恒。取地面為只有重力作功，故系統(tǒng)中究對(duì)象。在棒倒下過(guò)程和地球組成的系統(tǒng)為研（方法二）以棒、鉛球521lmglmgE初態(tài)：22221 11 1()()2 32 5Emlm v末態(tài)：2221 11 1()()252 32 5llmgmgmlm v根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：2222101)(61107mvlvmlmgl821glv 得：OM231145,113152 1013mkglmOImlmkN mMkgrad s 例：質(zhì)量長(zhǎng)度的細(xì)金屬棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸 無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量），在細(xì)金屬棒的另一端

11、再裝上一個(gè)質(zhì)量為的半徑可以忽略的小鉛球，使兩者組成剛體。先把剛體拉到水平位置，然后由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)心撞擊一與彈簧（勁度系數(shù)）相連，質(zhì)量的鋼塊，碰后剛體的角速度（沿原運(yùn)動(dòng)方向），而鋼塊沿水平光滑地面滑行，致使彈簧壓縮，求彈簧的壓縮量。解：解：可分成三個(gè)過(guò)程求的角速度為設(shè)剛體擺至豎直位置時(shí)守恒。豎直位置過(guò)程，機(jī)械能）剛體由水平位置擺至（122152Ilmglmg2221585131mlmlmlI其中l(wèi)g821得量守恒。，剛體與鋼塊系統(tǒng)角動(dòng)）剛體與鋼塊碰撞過(guò)程（2ImvlI)/(6.5smmlIIv求得鋼塊速度的過(guò)程，機(jī)械能守恒。）碰撞后鋼塊壓縮彈簧（3222121kxMv)(125.

12、02mkMvx解得彈簧壓縮量：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）avrr加速度：速度：位移：位置矢量：描寫(xiě)運(yùn)動(dòng)的基本量：角加速度：角速度：角位移：角位置：描寫(xiě)轉(zhuǎn)動(dòng)的基本量：m質(zhì)量：描述慣性的量：dmrIrmIIii22剛體質(zhì)量連續(xù)分布：剛體由分離質(zhì)點(diǎn)組成時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：描述轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量：學(xué)的比較質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)與剛體動(dòng)力F力：改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）FrM力矩：改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的量：BAPPbaabEEAsdFAFSAA保守力的功：變力的功：恒力的功：力的功：cos21)(12MdAMAA變力矩的功：恒力矩的功：力矩的功：2221rMmGEkxEmghEPPP引力勢(shì)能：彈性勢(shì)能：重力勢(shì)能

13、：勢(shì)能：為質(zhì)心坐標(biāo)）（重力勢(shì)能：CCPzmgzE 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）221mvEK平動(dòng)動(dòng)能：221IEK轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：vmp動(dòng)量：（對(duì)某一參考點(diǎn)）角動(dòng)量：vmrL（對(duì)定軸）角動(dòng)量：IL 21ttdtFI沖量：21ttMdtI沖量矩：amdtvmdF)(牛頓第二定律：力的瞬時(shí)作用規(guī)律：IM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律：力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）恒量當(dāng)機(jī)械能守恒定律：功能原理：質(zhì)點(diǎn)組：質(zhì)點(diǎn)：動(dòng)能定理：律：力對(duì)空間的積累作用規(guī)非保內(nèi)外非保內(nèi)外非保內(nèi)保內(nèi)外pkpkpkkkkkababEEEAAEEEEEEAAEEAAAEEmvmvAab0)()(212100002221222121IIMdA轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：規(guī)律：力矩對(duì)空間的積累作用恒矢量時(shí)，當(dāng)角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量定理：恒矢量時(shí)，當(dāng)恒矢量時(shí)，當(dāng)動(dòng)量守恒定律：動(dòng)量定理：律：力對(duì)時(shí)間的積累作用規(guī)某分量某分量vmrLMdtLdMmvFvmFmvmvdtFii00012規(guī)律：力矩對(duì)時(shí)間的積累作用恒矢量時(shí)，對(duì)系統(tǒng)，當(dāng)恒矢量時(shí)，對(duì)剛體，當(dāng)角動(dòng)量守恒定律：角動(dòng)量定理：iittILMILMIIdtM001221剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)