東北大學數(shù)值分析 總復習+習題【章節(jié)優(yōu)講】

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1、總總 復復 習習一、緒論一、緒論 1.掌握絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限及有效數(shù)字的概念。掌握誤差限和有效數(shù)字之間的關系。會計算誤差限和有效數(shù)字。2.了解數(shù)值計算中應注意的一些問題.一般地,凡是由精確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值,其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位。定義定義1 1 設數(shù)x是數(shù)x*的近似值，如果x的絕對誤差限是它的某一數(shù)位的半個單位，并且從x左起第一個非零數(shù)字到該數(shù)位共有n位，則稱這n個數(shù)字為x的有效數(shù)字有效數(shù)字，也 稱用x近似x*時具有具有n n位有效數(shù)字位有效數(shù)字。1優(yōu)質(zhì)教學二、解線性方程組的直接法二、解線性方程組的直接法 1.了解Gauss消元法的基本思想,知

2、道適用范圍 2.掌握矩陣的直接三角分解法。順序Gauss消元法:矩陣A A的各階順序主子式都不為零.主元Gauss消元法:矩陣A A的行列式不為零.定理定理 設n階方陣A的各階順序主子式不為零,則存在唯一單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使A=LU.會對矩陣進行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。了解它們之間的關系。熟練掌握用三角分解法求方程組的解。了解平方根法和追趕法的思想。2優(yōu)質(zhì)教學 3.了解向量和矩陣的范數(shù)的定義,會判定范數(shù)(三要素非負性、齊次性、三角不等式);會計算幾個常用的向量和矩陣的范數(shù)；了解范數(shù)的等價性和向量矩陣極限的概

3、念。4.了解方程組的性態(tài)，會計算簡單矩陣的條件數(shù)。三、解線性方程組的迭代法三、解線性方程組的迭代法 1.會建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；會判定迭代方法的收斂性。（1）迭代法收斂迭代矩陣譜半徑小于1.（2）迭代法收斂的充分條件是迭代矩陣的范數(shù)小于1.（3）A嚴格對角占優(yōu),則J法,GS法,SOR法(01)收斂.（4）A對稱正定,則GS法,SOR法(02)收斂.3優(yōu)質(zhì)教學 2.掌握并會應用迭代法的誤差估計式。四、解非線性方程的迭代法四、解非線性方程的迭代法 1.了解二分法的思想,誤差估計式|xk-|2-(k+1)(b-a).)0()1(*)(1xxMMxxkk 2.會建立簡單迭代法迭代格

4、式；會判定迭代方法的收斂性。定理定理 若(x)為I上的壓縮映射,則對任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收斂于(x)在I上的唯一不動點.推論推論 若1.a(x)b;2.|(x)|L1,xa,b.則xk+1=(xk),x0a,b都收斂于方程的唯一根.4優(yōu)質(zhì)教學 3.了解迭代法收斂階的概念,會求迭代法收斂的階.了解Aitken加速技巧.4.會建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的優(yōu)缺點.了解Newton迭代法的變形.(1)xkp階收斂于是指:推論推論 若(x)在附近具有一階連續(xù)導數(shù),且|()|1,則對充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收斂.Cxxpkkk1lim (2)若

5、()0,則迭代法線性收斂.)()(1kkkkxfxfxx 局部平方收斂.5優(yōu)質(zhì)教學五、矩陣特征值問題五、矩陣特征值問題 1.了解Gerschgorin圓盤定理,會估計特征值.1.了解差商的概念和性質(zhì).2.了解乘冪法、反冪法的思想及加速技巧.3.了解Jacobi方法的思想以及平面旋轉(zhuǎn)矩陣的構造.六、插值與逼近六、插值與逼近 Lagrange、Newton、Hermite插值多項式；基函數(shù)法及待定系數(shù)法。2.會建立插值多項式并導出插值余項.3.了解分段插值及三次樣條插值的概念及構造思想。6優(yōu)質(zhì)教學 4.了解正交多項式的概念，會求簡單的正交多項式。1.了解求積公式的一般形式及插值型求積公式的構造.掌

6、握梯形公式和Simpson公式及其誤差。5.掌握最小二乘法的思想，會求擬合曲線及最佳均方誤差.2.掌握求積公式的代數(shù)精度的概念，會用待定系數(shù)法確定求積公式。七、數(shù)值積分七、數(shù)值積分 )(12)()()(2)(3fabbfafabdxxfba)(2880)()()2(4)(6)()4(5fabbfbafafabdxxfba7優(yōu)質(zhì)教學 3.了解復化求積公式的思想和Romberg公式的構造。5.了解微分公式建立形式，會求簡單的微分公式。4.了解Gauss公式的概念，會建立簡單的Gauss公式。1.了解構造數(shù)值解法的基本思想及概念。八、常微分方程數(shù)值解法八、常微分方程數(shù)值解法 2.掌握差分公式局部截斷

7、誤差和階的概念，會求差分公式的局部截斷誤差。3.會判斷單步方法的收斂性和穩(wěn)定性，求穩(wěn)定區(qū)間。8優(yōu)質(zhì)教學一、填空題（每空3分,共30分)考試題解析考試題解析 解解 由于得特征值:又A-1=2.設矩陣A=,當a取_值時,A可以唯一分解為GGT,其中G為下三角矩陣.1.設矩陣A=,則(A)=_,Cond(A)1=_.32213221EA0742ii32,32217122371 ,所以A1=5,A-11=5/7.7/2510011aaaa9優(yōu)質(zhì)教學 解解 令 解 只要取(x)=x3-a,或(x)=1-x3/a.5.設(x)=x3+x2-3,則差商3,32,33,34=_.3.向量x x=(x1,x2,

8、x3)T,試問|x1|+|2x2|+|x3|是不是一種向量范數(shù)_,而|x1|+|2x2+x3|是不是一種向量范數(shù)_.,02110011,011122aaaaaaaa2121a得：是 不是 4.求 的Newton迭代格式為_.3a212313323kkkkkkkxaxxxaxxx或 1 6.設l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點的三次插值基函數(shù),則 =_.303)2)(jjjxxl (x-2)3 7.設S(x)=是以0,1,2為節(jié) 2112102323xcxbxxxxx10優(yōu)質(zhì)教學 解解(1)因為0 x1時,(x)0,所以(x)僅在(1,2)內(nèi)有零點

9、,而當1x0,故(x)單調(diào).因此方程(x)=0有唯一正根,且在區(qū)間(1,2)內(nèi).點的三次樣條函數(shù),則b=_c=_.解解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)設函數(shù)(x)=x2-sinx-1 (1)試證方程(x)=0有唯一正根;(2)構造一種收斂的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,計算精度為=10-2的近似根;(3)此迭代法的收斂階是多少?說明之.-2 3 (2)構造迭代格式:,.2,1,0sin11kxxkk由于|(x)|=|1,故此迭代法收斂.xxsin12/cos11優(yōu)質(zhì)教學 (3)因為0/2,所以()取初值x0=1.5,計算得x1=1.4133

10、3,x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2,故可取根的近似值x2=1.40983.sin12/cos 0故,此迭代法線性收斂(收斂階為1).三、(14分)設線性方程組 (1)寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)討論這兩種迭代法的收斂性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法計算時,預估誤差x*-x(10)(取三位有效數(shù)字).36225124321321321xxxxxxxxx12優(yōu)質(zhì)教學 (2)因為A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,但不是正定矩陣,故Jacobi法收斂,SOR法當01時收斂.解解 (1)(1)Jacobi法和SOR法的迭

11、代格式分別為 216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx (3)由(1)可見B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經(jīng)計算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有113.05.075.0175.0110)0()1()10(*xxBBxxk13優(yōu)質(zhì)教學四

12、、(13分)已知(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5,解解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得 H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x)令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 0.5x(x-1)(x-2)(1)試建立一個三次插值多項式H3(x),使?jié)M足插值條件:H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5;(2)設y=(x)在0,2上四次連續(xù)可微,試確定插值余項R(x)=(x)-H3(x).令

13、2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2),令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),=x3-2.5x2+2.5x+214優(yōu)質(zhì)教學 由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0,故可設五、(12分)試確定參數(shù)A,B,C及,使數(shù)值積分公式4=A+B+C,0=A-C,16/3=A2+C2,0=A3-C3有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少?它是否是Gauss公式?解解 令公式對(x)=1,x,x2,x3,x4都精確成立,則有 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)

14、構造函數(shù)(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0)2()1(!4)()(2)4(xxxfxRx22)()0()()(CfBfAfdxxf64/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/215優(yōu)質(zhì)教學容易驗證公式對(x)=x5仍精確成立，故其代數(shù)精度為5，是Gauss公式。六、(12分)設初值問題(1)試證單步法 解解 (1)由于)(),(aybxayxfy021411323221,.2,1,0)3(),(,),(ynKKyyhKyhxfKyxfKhnnnnnn是二階方法.(2)

15、以此法求解y=-10y,y(0)=1時,取步長h=0.25,所得數(shù)值解yn是否穩(wěn)定?為什么?16優(yōu)質(zhì)教學于是有而),(132322hKyhxfKnn222222232222331484()2999nnnnnnnnnfffhhfxyfffhh fh fO hxx yy)(261)(214222222321hOfyffyxfxfhfyfxfhhfyynnnnnnnnnnn)()(6121)()(61)(21)()()(4324321hOxyhfyfxfhhfyhOxyhxyhxyhxyxynnnnnnnnnnn 17優(yōu)質(zhì)教學所以有當h=0.25時,有)()(311hOyxynn)320(30104

16、1nnnnnhyyyhyy所以此單步方法為二階方法.(2)此單步方法用于方程y=-10y,則有nyhh50101 21625.1125.35.21501012hh所以,所得數(shù)值解是不穩(wěn)定的.七、(6分)設n階矩陣A A=(aij)nn,試證實數(shù)ijnjian,1maxA為矩陣A A的一種范數(shù).證明證明 對任意n階方陣A,BA,B和常數(shù),有18優(yōu)質(zhì)教學 所以,實數(shù)A A是矩陣A A的范數(shù).。時且僅當0,0max,1A0AAijnjianAAijnjiijnjianan,1,1maxmaxBABA|maxmax,1,1ijijnjiijijnjibanban1,1,1111,1,maxmax(max)maxmaxABA Bnnikkjijiki j ni j ni nkkijiki j ni k nna bnabna nb 19優(yōu)質(zhì)教學