2019高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù)單元測(cè)試2 北師大版必備1-1

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1、 第三章?變化率與導(dǎo)數(shù) (時(shí)間:100?分鐘,滿分:120?分) 一、選擇題(本大題共?10?小題,每小題?5?分,共?50?分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1 1.已知函數(shù)?f(x)= ,則?f′(x)等于( ) 3 A.- 3 3????????????????????????????B.0 C. 3 3  D.?3 ,∴f′(x)=(??1 解析:選?B.∵f(x)= 1 3??????????????3  )′=0.

2、 A.(6+Δ?t)m/s?????????????????? B.(6+Δ?t+?? )m/s Δ?t Δ?t?????????? Δ?t f(1+Δ?x)-3 Δ?x 2.已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為?s=t2+3(s?的單位:m,t?的單位:s),則該質(zhì)點(diǎn)在?t=3?s 到?t=(3+Δ?t)s?這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為( ) 9 Δ?t 9 C.(3+Δ?t)m/s D.( +Δ?t)m/s Δ?s (3+Δ?t)2+3-(32+3) 解析:選?A.平均速度為 = =(6+Δ?t)m/s. 3.函數(shù)?f(x)=x3+x+1,則lim =( )

3、Δ?x→0 A.1 B.4 C.5 D.0 解析:選?B.由已知得?f(1)=3,故lim Δ?x→0 f(1+Δ?x)-3 Δ?x A.(x+??)′=1+ 2??????????? B.(lg??x)′=? 1 f(1+Δ?x)-f(1) Δ?x =lim =f′(1)=3x2+1|x=1=4,故選?B. Δ?x→0 4.已知函數(shù)?y=f(x)的圖像如圖,則?f′(xA)與?f′(xB)的大小關(guān)系是( ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) D.

4、不能確定 解析:選?B.由圖像可知,f′(xA)<f′(xB). 5.下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是( ) 1 1 x x xln?10 C.(ln?x)′=x D.(x2cos?x)′=-2xsin?x 1 1 1 解析:選?B.(x+x)′=1-x2,故?A?錯(cuò);(ln?x)′=x,故?C?錯(cuò);(x2cos?x)′=2xcos?x 1 A.6x2+x-??-sin??x??????????????? B.6x2+x-??+sin??x C.6x2+??x-??+sin??x?????????????? D.6x2+??x-??-sin??x =6x2+??

5、x-??-sin??x. -x2sin?x,故?D?錯(cuò),故選?B. 3 6.已知?y=2x3+?x+cos?x,則?y′等于( ) 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 3 3 1 解析:選?D.y′=(2x3)′+(x3)′+(cos?x)′ 1 2 3 3 1 7.已知曲線?y=x3-1?與曲線?y=3-2x2?在?x=x0?處的切線互相垂直,則?x0?的值為( ) B.? 3 A.  3 3 3 3 C.?3  D. 3 9 3 解析:選?D.因?yàn)?y=x3-1??y′=3

6、x2,y=3-??x2??y′=-x,由題意得?3x20·(-x0)=2 1 1 3?1 3?9 ??????????? 3?? -1,解得?x30=3,即?x0= =?3  ,故選?D. 8.已知函數(shù)?y=f(x)的圖像是下列四個(gè)圖像之一,且其導(dǎo)函數(shù)?y=f′(x)的圖像如圖所 示,則該函數(shù)的圖像是( ) 9.在函數(shù)?y=x3-8x?的圖像上,其切線的傾斜角小于 的點(diǎn)中,坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè) 解析:選?B.從導(dǎo)函數(shù)的圖像可以看出,導(dǎo)函

7、數(shù)值先增大后減小,x=0?時(shí)最大,所以函 數(shù)?f(x)的圖像的變化率也先增大后減小,在?x=0?時(shí)變化率最大.A?項(xiàng),在?x=0?時(shí)變化率最 小,故錯(cuò)誤;C?項(xiàng),變化率是越來越大的,故錯(cuò)誤;D?項(xiàng),變化率是越來越小的,故錯(cuò)誤.B 項(xiàng)正確. π 4 數(shù)是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2 23 2 2解析:選?D.由于?y′=(x?-8x)′=3x?-8,由題意,得?0<3x?-8<1,??<x?<3,解 2解析:選?B.g′(x)=2,h′(x)=??,φ?′(x)=3x?(x≠0).解方程?g(x)=g′(x),即 2x=2,得?x=1

8、,即?a=1;解方程?h(x)=h′(x),即?ln?x=??,在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)?y 3=ln??x,y=??的圖像(圖略),可得?1<x<e,即?1<b<e;解方程?φ?(x)=φ?′(x),即?x 311.已知?f(x)=??x?+3xf′(0),則?f′(1)等于________. 12.正弦曲線?y=sin??x?上切線斜率等于?的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________. 解析:y′=cos??x,令?cos?x=??,x=2kπ?± ,k∈Z. 答案:2kπ?± ,k∈Z 2313.f(x)=x?-??x?+bx+c??的圖像存在與直線?y=1??平行的切線,則?b??

9、的取值范圍是 2解析:由題意知,存在?x?使?f′(x)=3x?-x+b=0,故Δ?=1-12b≥0,得?b≤ . 12 f′(-1)=3+2a-4=0,∴a=??. 2 列í y的前?n?項(xiàng)和的公式為________.n n ????得-???3<x<- 6, 6<x<???3,所以整數(shù)?x?不存在,故不等式的整數(shù)解有?0?個(gè). 8 3 2 2 3 3 10.定義方程?f(x)=f′(x)的實(shí)數(shù)根?x0?叫做函數(shù)?f(x)的“新駐點(diǎn)”,若函數(shù)?g(x)=2x, h(x)=ln?x,φ?(x)=x3(x≠0)的“新駐點(diǎn)”分別為?a,b,c,則?a,b,c?的大小關(guān)系為

10、( ) A.a(chǎn)>b>c B.c>b>a C.a(chǎn)>c>b D.b>a>c 1 x 1 x 1 x =3x2(x≠0),得?x=3,即?c=3.所以?c>b>a. 二、填空題(本大題共?5?小題,每小題?5?分,共?25?分.把答案填在題中橫線上) 1 3 解析:f′(x)=x2+3f′(0),令?x=0?得 f′(0)=3f′(0),∴f′(0)=0, f′(x)=x2,∴f′(1)=1. 答案:1 1 2 1 π 2 3 π 3 1 2 ________. 1 12 1 答案:(-∞, ] 14.已知?a?為實(shí)數(shù),f(x)=(x2

11、-4)(x-a),且?f′(-1)=0,則?a=________. 解析:f(x)=x3-ax2-4x+4a,f′(x)=3x2-2ax-4, 1 2 1 答案: 15.對(duì)正整數(shù)?n,設(shè)曲線?y=xn(1-x)在?x=2?處的切線與?y?軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?an,則數(shù) ì?a ü ??+1t 解析:由?y=xn(1-x)得?y′=nxn-1(1-x)+xn(-1), ∴f′(2)=-n·2n-1-2n. 又∵切點(diǎn)為(2,-2n). ∴切線方程為: y+2n=-(n·2n-1+2n)(x-2). 令?x=0,得?an=(n+1)·2n. 3 則數(shù)列í y

12、的通項(xiàng)公式為?2n,由等比數(shù)列前?n?項(xiàng)和公式求得其和為?2n+1-2.n n f′(x)=(2ln??2)′+(ln?x)′=??. Δ?t 218.(本小題滿分?10?分)求曲線?y=??和?y=x?在它們交點(diǎn)處的兩條切線與?x?軸所圍成的 2??y=x 令?y=0?分別得?x=2?和?x=??,即它們與?x?軸的交點(diǎn)分別為(2,0)和(??,0),三角形面 積?S=??×1×|2-??|=??. =0,即?c=??, 2∴f(x)的表達(dá)式為?f(x)=x?+x+??. ????????????????????????????????????(3)法一:f′(x

13、)= = . ????????????所以?f′(x)= = . ì?y= ?? 1 1 2解:由í x?得?x=1,y=1.即交點(diǎn)為(1,1),y′=(??)′=-???,y′=(x?)′=2x, ì?a ü ??+1t 答案:2n+1-2 三、解答題(本大題共?5?小題,共?55?分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 16.(本小題滿分?10?分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x)=ln(8x); (2)f(x)=x(x+1)(x2-x+1); ex+1 ? (3)f(x)=ex-1. 解:(1)f(x)=2ln?2+ln?x, 1 x (2)f(

14、x)=x(x+1)(x2-x+1)=x(x3+1)=x4+x, ∴f′(x)=4x3+1. (ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′ -2ex (ex-1)2 (ex-1)2 ex+1 2 ?? 法二:因?yàn)?f(x)=ex-1=1+ex-1, -2(ex-1)′ -2ex (ex-1)2 (ex-1)2 17.(本小題滿分?10?分)某物體按照?s(t)=3t2+2t+4?的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求物體運(yùn)動(dòng) 4?s?時(shí)的瞬時(shí)速度. 解:由于Δ?s=3(t+Δ?t)2+2(t+Δ?t)+4-(3t2+2t+4)=(2+6t)Δ?t+3(Δ?t)2. Δ?s =2

15、+6t+3Δ?t, 所以當(dāng)?t?趨于?4s?時(shí),即Δ?t?趨于?0?時(shí),平均變化率趨于?26,s′(4)=26?m/s. 導(dǎo)數(shù)?s′(4)表示當(dāng)?t=4?s?時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)變化率,即運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度. 1 x 三角形的面積. 1 x x2 y′|x=1=-1,y′|x=1=2,過交點(diǎn)的切線為?y-1=-(x-1)和?y-1=2(x-1). 1 1 2 2 1 1 3 2 2 4 19.(本小題滿分?12?分)設(shè)?y=f(x)是二次函數(shù),方程?f(x)=0?有兩個(gè)相等的實(shí)根,且 f′(x)=2x+1.求?y=f(x)的函數(shù)表達(dá)式. 解:∵f′(x)=2x

16、+1, ∴f(x)=x2+x+c(c?為常數(shù)), 又∵方程?f(x)=0?有兩個(gè)相等的實(shí)根,即?x2+x+c=0?有兩個(gè)相等的實(shí)根,Δ=12-4c 1 4 1 4 20.(本小題滿分?13?分)已知函數(shù)?f(x)=ax2-(a+2)x+ln?x. (1)當(dāng)?a=1?時(shí),求曲線?y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程; 4 解:(1)當(dāng)?a=1?時(shí),f(x)=x2-3x+ln??x,f′(x)=2x-3+??,因?yàn)?f′(1)=0,f(1) x x??????? = x??????? , (2)當(dāng)?a≥1?時(shí),求證:當(dāng)?x∈[1,e]時(shí),f′

17、(x)≥0,其中?e?為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 1 x =-2. 所以切線方程是?y=-2. (2)證明:函數(shù)?f(x)=ax2-(a+2)x+ln?x?的定義域是(0,+∞),f′(x)=2ax-(a+ 1 2)+?, 2ax2-(a+2)x+1 (2x-1)(ax-1) 即?f′(x)= 當(dāng)?a≥1?時(shí),在?x∈[1,e]上,2x-1>0,ax-1≥0, 可得?f′(x)≥0. 5

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