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1、第三節(jié) 分部積分法
分布圖示
★ 分部積分公式 ★ 幾點(diǎn)說(shuō)明
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12
★ 例13
★ 分部積分的列表法
★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17
★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí)
★ 習(xí)題4-3
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內(nèi)容要點(diǎn)
分部積分公式：
(3.1)
2、(3.2)
分部積分法實(shí)質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(或微分)的逆運(yùn)算. 一般地, 下列類(lèi)型的被積函數(shù)?？紤]應(yīng)用分部積分法(其中m, n都是正整數(shù)).
例題選講
例1 (E01) 求不定積分 .
解一 令
顯然, 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.
解二 令
例2 (E02) 求不定積分 .
解
小結(jié)：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)的乘積, 可設(shè)冪函數(shù)為u, 而將其余部分湊微分進(jìn)入微分號(hào), 使得應(yīng)用分部積分公式后, 冪函數(shù)的冪次降低一次.
例3 (E03) 求不定積分 .
解 令
例4 (E04) 求不
3、定積分.
解 令
小結(jié)：若被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積, 可設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u, 而將冪函數(shù)湊微分進(jìn)入微分號(hào), 使得應(yīng)用分部積分公式后, 對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失.
例5 (E05) 求不定積分.
解
注意循環(huán)形式
注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積,u, dv可隨意選取, 但在兩次分部積分中, 必須選用同類(lèi)型的u, 以便經(jīng)過(guò)兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式, 從而解出所求積分.
例6(E06) 求積分.
解
靈活應(yīng)用分部積分法,可以解決
4、許多不定積分的計(jì)算問(wèn)題. 下面再舉一些例子,請(qǐng)讀者悉心體會(huì)其解題方法.
例7 (E07) 求
解
由于上式右端的第三項(xiàng)就是所求的積分
把它移到等號(hào)左端去，再兩端各除以2，便得
例8 求不定積分
解
例9 求不定積分
解 令則于是
例10(E08) 求不定積分.
解 令則
例11 求
解法1 先分部積分，后換元.
設(shè)則
于是
再設(shè)則于是
代入上式, 得
解法2 先換元, 后分部積分.
設(shè) 則
再設(shè) 則
例12(E09) 求其中為正整數(shù).
解 用分部積分法，當(dāng)時(shí)
5、有
即
于是
以此作遞推公式，并由 即可得
例13 (E10) 已知的一個(gè)原函數(shù)是, 求.
解
根據(jù)題意再注意到
兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得
例14 計(jì)算不定積分
解 不易求積分，只能放在左列，而放在右列,列表如下:
例15 計(jì)算不定積分
解 可看作乘積形式將放在左列,1放在右列，列表如下:
例16 計(jì)算不定積分
解 函數(shù)和都是易求原函數(shù)的函數(shù),都可放右列，但考慮到左列的函數(shù)應(yīng)是求導(dǎo)后逐漸簡(jiǎn)單的，故放左列, 放右列列表如下:
例17 計(jì)算不定積分.
解 函數(shù)都是易求原函數(shù)的函數(shù)，且它們的導(dǎo)函數(shù)分別是穩(wěn)定的和(或)形式，故它們的左右位置可隨意選取.例如選取為左, 為右, 可得
，
移項(xiàng)得
課堂練習(xí)
1. 求不定積分
2. 求不定積分 .
03第三節(jié)分部積分法
