高等數(shù)學(xué)教材word版()

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1、目 錄 一、函數(shù)與極限 2 1、集合的概念 2 2、常量與變量 3 2、函數(shù) 4 3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài) 4 4、反函數(shù) 5 5、復(fù)合函數(shù) 6 6、初等函數(shù) 6 7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) 7 8、數(shù)列的極限 8 9、函數(shù)的極限 9 10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 11 一、函數(shù)與極限 1、集合的概念 一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡(jiǎn)稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因?yàn)樗脑夭皇谴_定的。 我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……

2、表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。 ⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N ⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。 ⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。 ⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。 ⑸、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R。 集合的表示方法 ⑵、 列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。 集合間的基本關(guān)系 ⑴、子集：一般地

3、，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論： ①、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A A ②、對(duì)于集合A、B、C，

4、如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。 ③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本運(yùn)算 ⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、補(bǔ)集： ①全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作U。 ②

5、補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。 即CUA＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的個(gè)數(shù) ⑴、有限集：我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集。 ⑵、用card來表示有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。 ⑶、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的問題： 1、學(xué)校里開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)A＝｛x|x是參加一百米跑的同學(xué)｝，B＝｛x|x是參加二百米跑的同學(xué)｝，C＝｛x

6、|x是參加四百米跑的同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)，請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定，并解釋以下集合運(yùn)算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。 2、在平面直角坐標(biāo)系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直線y＝x，從這個(gè)角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請(qǐng)分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。 3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實(shí)數(shù)a使A＝B成立？ 4、對(duì)于有限集合A、B、C，能不能找出這三個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)與交集、并集元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)

7、系呢？ 5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計(jì)一種比較這兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)多少的方法嗎？ 2、常量與變量 ⑴、變量的定義：我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對(duì)于所研究的對(duì)象是極其微小的，我們則把它看作常量。 ⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。 區(qū)間的名稱

8、 區(qū)間的滿足的不等式 區(qū)間的記號(hào) 區(qū)間在數(shù)軸上的表示 閉區(qū)間 a≤x≤b [a，b] 開區(qū)間 a＜x＜b （a，b） 半開區(qū)間 a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b） 以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間： [a，+∞)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分別讀作"負(fù)無窮大"和"正無窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。 ⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│

9、x-α│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。 2、函數(shù) ⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫

10、做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。 ⑵、函數(shù)相等 由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。 ⑶、域函數(shù)的表示方法 a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：將一系列的自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。 c)：圖示

11、法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量，縱坐標(biāo)表示因變量。例：直角坐標(biāo)系中，半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓用圖示法表示為： 3、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài) ⑴、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個(gè)與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。 注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù) 例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的. ⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加

12、的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。 例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。 ⑶、函數(shù)的奇偶性 如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。 注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 ⑷、函數(shù)的周期性 對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。 注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。

13、例題：函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。 4、反函數(shù) ⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對(duì)應(yīng)，即，那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù). 注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。 ⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)?R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減). 注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減) 例題：y=x2，其定義域?yàn)?-∞,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞).對(duì)于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x

14、的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對(duì)y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). ⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。 例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。如右圖所示： 5、復(fù)合函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。 注

15、：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。 例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。 因?yàn)閷?duì)于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。 6、初等函數(shù) ⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下： 函數(shù)名稱 函數(shù)的記號(hào) 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) 指數(shù)函數(shù) ?a):不論x為何值,y總為正數(shù); ?b):當(dāng)x=0時(shí),y=1. 對(duì)數(shù)函數(shù) ?a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點(diǎn) ?b):當(dāng)a＞1時(shí),在區(qū)間

16、(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增. 冪函數(shù) a為任意實(shí)數(shù) 這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。 ?令a=m/n ?a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù); ?b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù); ?c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-∞,0)無意義. 三角函數(shù) (正弦函數(shù)) ?這里只寫出了正弦函數(shù) ?a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù) ?b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且 反三角函數(shù) (反正弦函數(shù)) 這里只寫出了反正弦函數(shù) ?a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值. ⑵、初

17、等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù). 例題：是初等函數(shù)。 7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) ⑴、雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述) 函數(shù)的名稱 函數(shù)的表達(dá)式 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) 雙曲正弦 a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)； b)：是奇函數(shù)； c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增 雙曲余弦 a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)； b)：是偶函數(shù)； c)：其圖像過點(diǎn)(0,1)； 雙曲正切 a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)； b)：是奇函數(shù)； c)：其圖形

18、夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增； 我們?cè)賮砜匆幌码p曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別： 雙曲函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的性質(zhì) Shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù) sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù) 它們都不是周期函數(shù) 都是周期函數(shù) 雙曲函數(shù)也有和差公式： ⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù). a)：反雙曲正弦函數(shù)?? 其定義域?yàn)椋?-∞,+∞)； b)：反雙曲余弦函數(shù)?? 其定義域?yàn)椋篬1,+∞)； c)：反雙曲正切函數(shù)?? ? 其定義域?yàn)椋?-1,+1)； 8、數(shù)列的極限 我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的

19、概念。 ⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng). 注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) ⑵、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。 例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。 設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次

20、循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，… 當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。 注：上面這個(gè)例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。 ⑶、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n＞N時(shí)的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a . 記作：或 注：

21、此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。 ⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的ε鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示： ????????????????????????? ?? 因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)n＞N時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。 注：至于如何求數(shù)列的極限

22、，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。 ⑸、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。 定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。 注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列? 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…? 是有界的，但它是發(fā)散的。 9、函數(shù)的極限 前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限. 函數(shù)的極值有兩種情況：a

23、)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ? 下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念! ⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況) a):自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式 的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式 ????????????????????????????????? 那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作： 下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下： 數(shù)列

24、的極限的定義 函數(shù)的極限的定義 存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對(duì)于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當(dāng)x→∞時(shí)收斂于A記：。 存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限為A，記：。 從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？？試思考之 b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來看一個(gè)例子. 例：函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出,如下圖: 從中我們可以看出x→1時(shí)，→2.

25、而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說：只要與2只差一個(gè)微量ε，就一定可以找到一個(gè)δ，當(dāng)＜δ時(shí)滿足＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對(duì)任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)存在極限，且極限為A，記：。 注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對(duì)給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。 有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？ ???? a):先任取ε＞0； ???? b):寫出

26、不等式＜ε； ????c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能； ??? d):則對(duì)于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε成立，因此.。 10、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則與數(shù)列極限的運(yùn)算規(guī)則相似。 ⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 ?? 若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，. 則：? ? ???? ?????? ??? 推論：???? 在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來求極限。 例題：求 解答： 例題：求 此題如果像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此

27、函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。 解答： 注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。 我們先來看一個(gè)例子： 例：符號(hào)函數(shù)為 對(duì)于這個(gè)分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時(shí)函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。 定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限.記：

28、 如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限.記： 注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時(shí)有極限 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 ?? 準(zhǔn)則一：對(duì)于點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點(diǎn)本身可以除外(或絕對(duì)值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且， 那末存在，且等于A 注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則. 準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限. 注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界 兩個(gè)重要的極限 ?? 一： 注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045... 二： 注：在此我們對(duì)這兩個(gè)重要極限不加以證明. 注：

29、我們要牢記這兩個(gè)重要極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們. 例題：求 解答：令，則x=-2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞， 則 注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0. 無窮大量和無窮小量 無窮大量 我們先來看一個(gè)例子： 已知函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng) 時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大量。 記為：（表示為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的） 同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)，無限趨大的定義

30、：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)，成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無窮大量，記為：。 無窮小量 以零為極限的變量稱為無窮小量。 定義：設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對(duì)于適合不等式(或)的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時(shí) 為無窮小量. 記作：(或) 注意：無窮大量與無窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.。

31、 關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理 定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無窮小量，反之亦成立。 定理二：無窮小量的有利運(yùn)算定理 a)：有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個(gè)無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量. 無窮小量的比較 通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個(gè)無窮小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。 定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零， a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮小； b)

32、：如果，則稱α和β是同階無窮?。? c)：如果，則稱α和β是等價(jià)無窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià)) 例：因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x與3x是同階無窮小； 因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，x2是3x的高階無窮小； 因?yàn)?，所以?dāng)x→0時(shí)，sinx與x是等價(jià)無窮小。 等價(jià)無窮小的性質(zhì) 設(shè)，且存在，則. 注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來簡(jiǎn)化求極限問題。 例題：1.求 ?? 解答：當(dāng)x→0時(shí)，sinax∽ax，tanbx∽bx，故： 例題： 2.求 解答： 注： 注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中

33、的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。 函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)概念——增量 設(shè)變量x從它的一個(gè)初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1 增量△x可正可負(fù). 我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例子：函數(shù)在點(diǎn)x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對(duì)應(yīng)的增量為： 這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖： 現(xiàn)在我們可對(duì)連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時(shí)，函數(shù)y

34、對(duì)應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 函數(shù)連續(xù)性的定義： 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn). 下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù). 一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。 注

35、：一個(gè)函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，否則在此點(diǎn)不連續(xù). 注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。 通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn) 函數(shù)的間斷點(diǎn) 定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn). ???? 它包括三種情形： a)：在x0無定義； b)：在x→x0時(shí)無極限； c)：在x→x0時(shí)有極限但不等于； 下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型： 例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；

36、例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)； ? 例3：函數(shù)當(dāng)x→0時(shí)，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾何圖形表示出來如下: 間斷點(diǎn)的分類 我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn). 可去間斷點(diǎn) 若x0是函數(shù)的間

37、斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性 我們通過函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論： a)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)； b)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)； c)：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)； 反函數(shù)的連續(xù)性 若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在

38、對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù) 例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點(diǎn)u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限也存在且等于.即： 例題：求 解答： 注：函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點(diǎn)u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點(diǎn)u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x=x0也是連續(xù)的 初等函數(shù)的連續(xù)性 通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連

39、續(xù)的. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下： 最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明) ?? 例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點(diǎn)x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值；則在點(diǎn)x=3π/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點(diǎn)出的函數(shù)值。 介值定理????在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個(gè)ξ，

40、使 ????? 推論：?在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。 二、導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)的概念 在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置x是時(shí)間t的函數(shù)，，求質(zhì)點(diǎn)在t0的瞬時(shí)速度？我們知道時(shí)間從t0有增量△t時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增量 ，這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段△t的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為：.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在t0的瞬時(shí)速度，若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)速度。我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段△t無限地接近于0時(shí)，此平均速度會(huì)無限地接近于質(zhì)點(diǎn)t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即：質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)的瞬時(shí)

41、速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下： 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：， 函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。 ??? 注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限 左、右導(dǎo)數(shù) 前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是

42、差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。 注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件 函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則 函數(shù)的和差求導(dǎo)法則 ?? 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。 例題：已知，求 解答： 例題：已知，求 解答： 函數(shù)的積商求導(dǎo)法則 常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫成： 例題：

43、已知，求 解答： 函數(shù)的積的求導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答： 注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成： 例題：已知，求 解答： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個(gè)例子! 例題：求=? 解答：由于，故?? 這個(gè)解答正確嗎? 這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，正確的解答應(yīng)該如下： 我們發(fā)生錯(cuò)誤的原

44、因是是對(duì)自變量x求導(dǎo)，而不是對(duì)2x求導(dǎo)。 下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則 規(guī)則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為： ，其中u為中間變量 例題：已知，求 解答：設(shè),則可分解為,因此 注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。 例題：已知，求 ?? 解答： 反函數(shù)求導(dǎo)法則 根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)： 定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)，且有： 注：通過此定理我們可以發(fā)

45、現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對(duì)它作記號(hào)變換。 即： 是對(duì)y求導(dǎo)，是對(duì)x求導(dǎo) 例題：求的導(dǎo)數(shù). 解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則： 例題：求的導(dǎo)數(shù). 解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則： 高階導(dǎo)數(shù) 我們知道，在物理學(xué)上變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即： ，而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率，即速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)： ，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做s對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義： 定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).

46、類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù). 分別記作：，，…，或，，…， 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)可運(yùn)用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。 例題：已知，求? 解答：因?yàn)?a，故=0 例題：求對(duì)數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。 解答：，，，， 一般地，可得 隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則 我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù). 一般地，如果方程F(x

47、,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來解決這個(gè)問題！ 隱函數(shù)的求導(dǎo) 若已知F(x,y)=0，求時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解： a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)； b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。 例題：已知，求 解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱

48、函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)， ，，故= ?? 注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對(duì)其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。 例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù) 解答：兩邊對(duì)x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時(shí)，y=0.故。 有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。 例題：已知x＞0，求 此題若對(duì)其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對(duì)其兩邊取

49、自然對(duì)數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，就比較簡(jiǎn)便些。如下 解答：先兩邊取對(duì)數(shù)： ，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo) 因?yàn)椋? 例題：已知，求 此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo) 解答：先兩邊取對(duì)數(shù)再兩邊求導(dǎo)因?yàn)椋? 函數(shù)的微分 學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個(gè)具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？ 解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)： 薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：。從上式我

50、們可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)△x→0時(shí)，它是△x的高階無窮小，表示為： 由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時(shí)，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義： 函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。 通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△

51、y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時(shí)，△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為： 由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。 微分形式不變性 ?? 什么是微分形式不邊形呢？ ?? 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為： ?????????????????????????? ， ?? 由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成 ?????????????????????????? ?? 由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy

52、總可以用與du的乘積來表示， ?? 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。 ?? 例題：已知，求dy ?? 解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則 ????????? ?? 通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù) ?? 的運(yùn)算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則是怎樣的呢？ ????? 下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則 　 基本初等函數(shù)的微分公式 ?? 由于函數(shù)微分的表達(dá)式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初

53、等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對(duì)比一下：(部分公式) 導(dǎo)數(shù)公式 微分公式 微分運(yùn)算法則 ?? 由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)照一下： 函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 函數(shù)和、差、積、商的微分法則 ?? 復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。 ?? 例題：設(shè)，求對(duì)x3的導(dǎo)數(shù) ?? 解答：根據(jù)微分形式的不變性 ???????? 微分的應(yīng)用

54、 ?? 微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計(jì)算函數(shù)的增量，有時(shí)比較困難，但計(jì)算微分則比較簡(jiǎn)單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用. ?? 例題：求的近似值。 ?? 解答：我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題 ????????? ????????????? ?????? 故其近似值為1.025(精確值為1.024695) 三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 微分學(xué)中值定理 　 ?? 在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個(gè)問題，如下： ?? 設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(diǎn)(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處

55、處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到， ??????????????????????????? ?? 差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動(dòng)，那么至少有一次機(jī)會(huì)達(dá)到離割線最遠(yuǎn)的一點(diǎn)P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此 ?????????????????????????? 成立。 ?? 注：這個(gè)結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 ?? 如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c， 使 成立。 ?? 這

56、個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下： ?? 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。 ?? 注：這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。 ?? 注：在此我們對(duì)這兩個(gè)定理不加以證明，若有什么疑問，請(qǐng)參考相關(guān)書籍 ?? 下面我們?cè)趯W(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理 柯西中值定理 ?? 如果函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且≠0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。 ?? 例題：證明方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根 ??? 證明：不

57、難發(fā)現(xiàn)方程左端是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ???????? 函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理 ???????? 可知，在0與1之間至少有一點(diǎn)c，使，即 ???????? 也就是：方程在0與1之間至少有一個(gè)實(shí)根 未定式問題 　 ?? 問題：什么樣的式子稱作未定式呢？ ?? 答案：對(duì)于函數(shù),來說，當(dāng)x→a(或x→∞)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無窮大 ????? 則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為型 ?? 我們?nèi)菀字?，?duì)于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個(gè)法則來求解的，那么我們?cè)撊绾吻筮@類問題的極限呢？ ?? 下面我們

58、來學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個(gè)問題的答案 ?? 注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。 羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 當(dāng)x→a(或x→∞)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│＞N)時(shí)，與都存在，≠0，且存在 ???? 則：= ?? 這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則 ?? 注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。 ?? 例題：求 ?? 解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因?yàn)樗俏炊ㄊ街械男颓蠼鈫栴}，因此我們就可以

59、利用上面所學(xué)的法則了。 ????????? ?? 例題：求 ?? 解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解 ????????? ? 另外，若遇到 、、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。 ?? 例題：求 ?? 解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解， ?????????? ?? 注：羅彼塔法則只是說明：對(duì)未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存在，此時(shí)只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。 函數(shù)單調(diào)性的判定法 　 ? 函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減

60、性呢？ ? 我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負(fù)),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的增減性. 判定方法： ? 設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo). ?? a)：如果在(a,b)內(nèi)＞0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加； ?? b)：如果在(a,b)內(nèi)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少. ?? 例題：確定函數(shù)的增減區(qū)間. ?? 解答：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,＋∞) ???????? 其導(dǎo)數(shù)為：，因此可以判出： ???????? 當(dāng)x＞0時(shí)，＞0，故它的單調(diào)

61、增區(qū)間為(0,＋∞)； ???????? 當(dāng)x＜0時(shí)，＜0，故它的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0)； 注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。 函數(shù)的極值及其求法 ?? ? 在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子： ? 設(shè)有函數(shù)，容易知道點(diǎn)x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，又可知在點(diǎn)x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點(diǎn)x=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點(diǎn)x=1的一個(gè)鄰域,對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi),任何點(diǎn)x(x=1除外)，＜均成立，點(diǎn)x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點(diǎn)有這些性質(zhì)呢？ ? 事實(shí)上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值， 函數(shù)極值的定義 ? 設(shè)函

62、數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點(diǎn). ? 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＜均成立， ??? 則說是函數(shù)的一個(gè)極大值； ? 若存在著x0點(diǎn)的一個(gè)鄰域，對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任何點(diǎn)x(x0點(diǎn)除外)，＞均成立， ??? 則說是函數(shù)的一個(gè)極小值. ? 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。 ? 我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？ ? 學(xué)習(xí)這個(gè)問題之前，我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一個(gè)概念——駐點(diǎn) ? 凡是使的x點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。 ? 判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種：如下 方法一： ? 設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)的鄰域可導(dǎo)，且

63、. ? 情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，＜0， ?????????? 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值。 ? 情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時(shí)，＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時(shí)，＞0， ?????????? 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值。 ? 注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點(diǎn)不存在的情況。 ? 用方法一求極值的一般步驟是： ???? a)：求； ???? b)：求的全部的解——駐點(diǎn)； ???? c)：判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。 例題：求極值點(diǎn) ?? 解答：先求導(dǎo)數(shù) ?????? 再求出駐點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，x=-2、1、-4/5 ??????

64、 判定函數(shù)的極值，如下圖所示 ???????????????? 方法二： ? 設(shè)函數(shù)在x0點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，且時(shí). ?? 則：a)：當(dāng)＜0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值； ?????? b)：當(dāng)＞0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值； ?????? c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來判定. ?? 例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。 ??? 解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點(diǎn)，下面我們?cè)賮砬笏亩A導(dǎo)數(shù)。 ?????? ?????? ，故此時(shí)的情形不確定，我們可由方法一來判定； ?????? ＜0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)； ?????? ＞0，故此點(diǎn)為極小值點(diǎn)

65、。 函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用 ?? 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常會(huì)遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。 ?? 這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。 ?? 怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時(shí)，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。 ?? 例題：求函數(shù)，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。 ?? 解答：在此區(qū)間處處可導(dǎo)， ??????? 先來求函數(shù)的極值，故x=±1， ??????

66、? 再來比較端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。 ??????? 因?yàn)?，，? ??????? 故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。 ?? 例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最??？ ?? 解答：由題意可知：為一常數(shù)， ??????? 面積 ??????? 故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。 ??????? ??????? ??????? 故：時(shí)，用料最省。 曲線的凹向與拐點(diǎn) 　 ? 通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進(jìn)一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。 定義： ? 對(duì)區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。 曲線凹向的判定定理 ? 定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對(duì)應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是： ?????????? 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 ? 定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)