2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 4.2 單位圓與周期性課件 北師大版必修4.ppt

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1、第一章 4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式,4.1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義 4.2 單位圓與周期性,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義及其應(yīng)用. 2.掌握同角的正弦、余弦函數(shù)值間的關(guān)系. 3.理解周期函數(shù)的定義.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一 任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù),使銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，PMx軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|r. 思考1 角的正弦、余弦分別等于什么？,答案 不會(huì).,思考2 對(duì)確定的銳角，sin ，cos 的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？,思考3

2、若取|OP|1時(shí)，sin ，cos 的值怎樣表示？,答案 sin y，cos x.,梳理 (1)對(duì)于任意角，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于唯一的點(diǎn)P(u，v)，那么點(diǎn)P的 定義為角的正弦函數(shù)，記作 ；點(diǎn)P的 定義為角的余弦函數(shù)，記作 . (2)對(duì)于給定的角，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的，所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù).,縱坐標(biāo)v,vsin ,橫坐標(biāo)u,ucos ,知識(shí)點(diǎn)二 正弦、余弦函數(shù)的定義域,思考 對(duì)于任意角，sin ，cos 都有意義嗎？,答案 由三角函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意角，sin ，cos 都有意

3、義.,梳理 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域,知識(shí)點(diǎn)三 正弦、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào),思考 根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能判斷正弦、余弦函數(shù)的值在各象限的符號(hào)嗎？,答案 由三角函數(shù)定義可知，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(u，v)，則sin v，cos u. 當(dāng)為第一象限角時(shí)，v0，u0，故sin 0，cos 0， 同理可得在其他象限時(shí)三角函數(shù)值的符號(hào).,梳理 正弦、余弦函數(shù)在各象限的符號(hào),知識(shí)點(diǎn)四 周期函數(shù),思考 由sin(x2k)sin x(kZ)可知函數(shù)值隨著角的變化呈周期性變化，你能說一下函數(shù)的變化周期嗎？,答案 2，4，6，2，等都是函數(shù)的周期.,梳理 一般地，對(duì)

4、于函數(shù)f(x)，如果存在 ，對(duì)定義域內(nèi)的_ _x值，都有 ，我們就把f(x)稱為周期函數(shù)， 稱為這個(gè)函數(shù)的周期. 特別地，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱2k(kZ，k0)為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期，其中2是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中 的一個(gè)，稱為 ，簡稱為周期.,非零實(shí)數(shù)T,任意,一個(gè),f(xT)f(x),T,最小,最小正周期,思考辨析 判斷正誤 1.函數(shù)f(x)x2滿足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以6為周期的周期函數(shù).( ),提示 周期函數(shù)需滿足對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)值x，都有f(xT)f(x)， 對(duì)于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)， f(x)x2

5、不是以6為周期的周期函數(shù).,2.任何周期函數(shù)都有最小正周期.( ),提示 對(duì)于常函數(shù)f(x)c，任意一個(gè)正實(shí)數(shù)都是其周期，因而不存在最小正周期.,答案,提示,題型探究,類型一 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義的應(yīng)用,命題角度1 已知角終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)求三角函數(shù)值,解答,x0，x1. 當(dāng)x1時(shí)，P(1，3)，,當(dāng)x1時(shí)，P(1，3)，,反思與感悟 (1)已知角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法 先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.,(2)當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.,跟蹤訓(xùn)練1 已知角的終邊過點(diǎn)P(3a

6、，4a)(a0)，求2sin cos 的值.,若a0，則r5a，角在第二象限，,若a0，則為第一象限角，r2a，,若a0，則為第三象限角，r2a，,解答,類型二 正弦、余弦函數(shù)值符號(hào)的判斷,例3 (1)若是第二象限角，則點(diǎn)P(sin ，cos )在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 為第二象限角， sin 0，cos 0， 點(diǎn)P在第四象限，故選D.,答案,解析,(2)判斷下列各式的符號(hào). sin 145cos(210)；,解 145是第二象限角， sin 1450， 210360150， 210是第二象限角， cos (210)0， sin 145cos(210)0

7、.,解答,sin 3cos 4.,解答,sin 30，cos 40， sin 3cos 40.,反思與感悟 準(zhǔn)確確定正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值中角所在象限是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確記憶正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)是解決正弦、余弦函數(shù)值符號(hào)判斷問題的關(guān)鍵.,跟蹤訓(xùn)練3 若三角形的兩內(nèi)角A，B滿足sin Acos B0，則此三角形必為 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上三種情況都有可能,解析 由題意知，A，B(0，)， sin A0，cos B0， B為鈍角.故選B.,答案,解析,類型三 周期性,例4 (1)已知函數(shù)f(x)在其定義域上都滿足f(x2)f(x)，求證：函數(shù)f(x)是以4為周

8、期的周期函數(shù)；,證明 f(x4)f (x2)2f(x2)f(x)f(x)， 由周期函數(shù)定義知，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,證明,證明,由周期函數(shù)定義知，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,反思與感悟 (1)證明函數(shù)是周期函數(shù)，只需根據(jù)定義：存在非零常數(shù)T，對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，都有f(xT)f(x).,跟蹤訓(xùn)練4 若函數(shù)yf(x)(xR)滿足f(x)f(xa)f(xa)(a0，cos 0.,答案,解析,1,2,4,5,3,A.2 B.0 C.1 D.3,解析 f(x)是以1為一個(gè)周期的函數(shù)， kZ且k0，也是f(x)的周期.,又當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)2x1，,1,2,4,5,3

9、,答案,解析,4.點(diǎn)P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.,解析 2 0165360216， 2 016是第三象限角， sin 2 0160，cos 2 0160， 點(diǎn)P位于第三象限.,1,2,4,5,3,答案,解析,三,5.已知角的終邊在直線y2x上，求sin cos 的值.,1,2,4,5,3,解答,規(guī)律與方法,1.三角函數(shù)的定義是以后學(xué)習(xí)一切三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，要充分理解其內(nèi)涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān)，與所選取的點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)這一關(guān)鍵點(diǎn). 2.三角函數(shù)值的符號(hào)主要涉及開方、去絕對(duì)值等計(jì)算問題，同時(shí)也要注意終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)值情況，因角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)決定了三角函數(shù)值的符號(hào)，所以當(dāng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)注意進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想. 3.正弦、余弦函數(shù)的周期性反映了終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，作用是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求02(或0360)角的三角函數(shù)值.,