重點題型第五版大學物理答案第八章(馬文蔚)

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1、第八章　電磁感應　電磁場 8 －1　一根無限長平行直導線載有電流I，一矩形線圈位于導線平面內(nèi)沿垂直于載流導線方向以恒定速率運動（如圖所示），則（　?。? （A） 線圈中無感應電流 （B） 線圈中感應電流為順時針方向 （C） 線圈中感應電流為逆時針方向 （D） 線圈中感應電流方向無法確定 分析與解　由右手定則可以判斷，在矩形線圈附近磁場垂直紙面朝里，磁場是非均勻場，距離長直載流導線越遠，磁場越弱．因而當矩形線圈朝下運動時，在線圈中產(chǎn)生感應電流，感第八章　電磁感應　電磁場 8 －1　一根無限長平行直導線載有電流I，一矩形線圈位于導線平面內(nèi)沿垂直于載流導線方向以恒定速率運動（如圖所示

2、），則（　　） （A） 線圈中無感應電流 （B） 線圈中感應電流為順時針方向 （C） 線圈中感應電流為逆時針方向 （D） 線圈中感應電流方向無法確定 分析與解　由右手定則可以判斷，在矩形線圈附近磁場垂直紙面朝里，磁場是非均勻場， 應電流方向由法拉第電磁感應定律可以判定．因而正確答案為（B）． 8 －2 　將形狀完全相同的銅環(huán)和木環(huán)靜止放置在交變磁場中，并假設通過兩環(huán)面的磁通量隨時間的變化率相等，不計自感時則（　　） （A） 銅環(huán)中有感應電流，木環(huán)中無感應電流 （B） 銅環(huán)中有感應電流，木環(huán)中有感應電流 （C） 銅環(huán)中感應電動勢大，木環(huán)中感應電動勢小 （D） 銅環(huán)中感應電動

3、勢小，木環(huán)中感應電動勢大 分析與解　根據(jù)法拉第電磁感應定律，銅環(huán)、木環(huán)中的感應電場大小相等， 但在木環(huán)中不會形成電流．因而正確答案為（A）． 8 －3　有兩個線圈，線圈1 對線圈2 的互感系數(shù)為M21 ，而線圈2 對線圈1的互感系數(shù)為M12 ．若它們分別流過i1 和i2 的變化電流且，并設由i2變化在線圈1 中產(chǎn)生的互感電動勢為ε12 ，由i1 變化在線圈2 中產(chǎn)生的互感電動勢為ε21 ，下述論斷正確的是（　?。? （A） ， （B） ， （C）， （D） ， 分析與解　教材中已經(jīng)證明M21 ＝M12 ，電磁感應定律；．因而正確答案為（D）． 8 －4　對位移電流，下述四

4、種說法中哪一種說法是正確的是（　?。? （A） 位移電流的實質(zhì)是變化的電場 （B） 位移電流和傳導電流一樣是定向運動的電荷 （C） 位移電流服從傳導電流遵循的所有定律 （D） 位移電流的磁效應不服從安培環(huán)路定理 分析與解　位移電流的實質(zhì)是變化的電場．變化的電場激發(fā)磁場，在這一點位移電流等效于傳導電流，但是位移電流不是走向運動的電荷，也就不服從焦耳熱效應、安培力等定律．因而正確答案為（A）． 8 －5　下列概念正確的是（　?。? （A） 感應電場是保守場 （B） 感應電場的電場線是一組閉合曲線 （C） ，因而線圈的自感系數(shù)與回路的電流成反比 （D） ，回路的磁通量越大，回路的自感

5、系數(shù)也一定大 分析與解　對照感應電場的性質(zhì)，感應電場的電場線是一組閉合曲線．因而 正確答案為（B）． 8 －6　一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時間的關系為，求在時，線圈中的感應電動勢． 分析　由于線圈有N 匝相同回路，線圈中的感應電動勢等于各匝回路的感應電動勢的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應定律通常寫成，其中稱為磁鏈． 解　線圈中總的感應電動勢 當 時，． 8 －7　有兩根相距為d 的無限長平行直導線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以的變化率增長．若有一邊長為d 的正方形線圈與兩導線處于同一平面內(nèi)，如圖所示．求線圈中的感應電動勢． 分析　本題

6、仍可用法拉第電磁感應定律來求解．由于回路處在非均勻磁場中，磁通量就需用來計算（其中B 為兩無限長直電流單獨存在時產(chǎn)生的磁感強度B1 與B2 之和）． 為了積分的需要，建立如圖所示的坐標系．由于B 僅與x 有關，即，故取一個平行于長直導線的寬為ｄx、長為d 的面元ｄS，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過線積分求得（若取面元，則上述積分實際上為二重積分）．本題在工程技術中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式求解． 解1　穿過面元ｄS 的磁通量為 因此穿過線圈的磁通量為 再由法拉第電磁感應定律，有 解2　當兩長直導線有電流I 通過時，穿過線圈的磁通量為 線圈與兩長直導線間

7、的互感為 當電流以變化時，線圈中的互感電動勢為 試想：如線圈又以速率v 沿水平向右運動，如何用法拉第電磁感應定律求圖示位置的電動勢呢？此時線圈中既有動生電動勢，又有感生電動勢．設時刻t，線圈左端距右側(cè)直導線的距離為ξ，則穿過回路的磁通量，它表現(xiàn)為變量I和ξ的二元函數(shù)，將Φ代入 即可求解，求解時應按復合函數(shù)求導，注意，其中，再令ξ＝d 即可求得圖示位置處回路中的總電動勢．最終結(jié)果為兩項，其中一項為動生電動勢，另一項為感生電動勢． 8 －8　有一測量磁感強度的線圈，其截面積S ＝4.0 cm2 、匝數(shù)N ＝160 匝、電阻R ＝50Ω．線圈與一內(nèi)阻Ri＝30Ω的沖擊電流計相連．若開始

8、時，線圈的平面與均勻磁場的磁感強度B 相垂直，然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與B 的方向平行．此時從沖擊電流計中測得電荷值．問此均勻磁場的磁感強度B 的值為多少？ 分析　在電磁感應現(xiàn)象中，閉合回路中的感應電動勢和感應電流與磁通量變化的快慢有關，而在一段時間內(nèi)，通過導體截面的感應電量只與磁通量變化的大小有關，與磁通量變化的快慢無關．工程中常通過感應電量的測定來確定磁場的強弱． 解　在線圈轉(zhuǎn)過90°角時，通過線圈平面磁通量的變化量為 因此，流過導體截面的電量為 則 8 －10　如圖（ａ）所示，把一半徑為R 的半圓形導線OP 置于磁感強度為B的均

9、勻磁場中，當導線以速率v 水平向右平動時，求導線中感應電動勢E 的大小，哪一端電勢較高？ 分析　本題及后面幾題中的電動勢均為動生電動勢，除仍可由求解外（必須設法構(gòu)造一個閉合回路），還可直接用公式求解． 在用后一種方法求解時，應注意導體上任一導線元ｄl 上的動生電動勢.在一般情況下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函數(shù)．矢量（v ×B）的方向就是導線中電勢升高的方向． 解1　如圖（ｂ）所示，假想半圓形導線OP 在寬為2R 的靜止形導軌上滑動，兩者之間形成一個閉合回路．設順時針方向為回路正向，任一時刻端點O 或 端點P 距 形導軌左側(cè)距離為x，則 即 由于靜止的 形導軌上的電

10、動勢為零，則E ＝－2RvB．式中負號表示電動勢的方向為逆時針，對OP 段來說端點P 的電勢較高． 解2　建立如圖（c）所示的坐標系，在導體上任意處取導體元ｄl，則 由矢量（v ×B）的指向可知，端點P 的電勢較高． 解3　連接OP 使導線構(gòu)成一個閉合回路．由于磁場是均勻的，在任意時刻，穿過回路的磁通量常數(shù).由法拉第電磁感應定律可知，E ＝0 又因 E ＝EOP ＋EPO 即 EOP ＝－EPO ＝2RvB 由上述結(jié)果可知，在均勻磁場中，任意閉合導體回路平動所產(chǎn)生的動生電動勢為零；而任意曲線形導

11、體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導體上的動生電動勢．上述求解方法是疊加思想的逆運用，即補償?shù)姆椒ǎ? 8 －11　長為L的銅棒，以距端點r 處為支點，以角速率ω繞通過支點且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動.設磁感強度為B的均勻磁場與軸平行，求棒兩端的電勢差． 分析　應該注意棒兩端的電勢差與棒上的動生電動勢是兩個不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動勢的不同．在開路時，兩者大小相等，方向相反（電動勢的方向是電勢升高的方向，而電勢差的正方向是電勢降落的方向）．本題可直接用積分法求解棒上的電動勢，亦可以將整個棒的電動勢看作是OA 棒與OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．而EO A 和EO B 則

12、可以直接利用第８ －2 節(jié)例1 給出的結(jié)果． 解1　如圖（ａ）所示，在棒上距點O 為l 處取導體元ｄl，則 因此棒兩端的電勢差為 當L ＞2r 時，端點A 處的電勢較高 解2　將AB 棒上的電動勢看作是OA 棒和OB 棒上電動勢的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．其中 , 則 8 －12　如圖所示，長為L 的導體棒OP，處于均勻磁場中，并繞OO′軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為θ，磁感強度B 與轉(zhuǎn)軸平行．求OP 棒在圖示位置處的電動勢． 分析　如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應定律 計算（此時必須構(gòu)造一個包含OP導體在內(nèi)的閉合回路， 如直角三角形導體回路OPQO），

13、也可用來計算．由于對稱性，導體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時產(chǎn)生的電動勢與圖示位置是相同的． 解1　由上分析，得 由矢量的方向可知端點P 的電勢較高． 解2　設想導體OP 為直角三角形導體回路OPQO 中的一部分，任一時刻穿 過回路的磁通量Φ為零，則回路的總電動勢 顯然，EQO ＝0，所以 由上可知，導體棒OP 旋轉(zhuǎn)時，在單位時間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導體棒QP 等效．后者是垂直切割的情況． 8 －13　如圖（ａ）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長直導線移動，此導線通有電流I ＝40A．求桿中的感應電動勢，桿的哪一端電勢較高？ 分析　本題可用兩種方法求解．（1）

14、 用公式求解，建立圖（a）所示的坐標系，所取導體元，該處的磁感強度．（2） 用法拉第電磁感應定律求解，需構(gòu)造一個包含桿AB 在內(nèi)的閉合回路．為此可設想桿AB在一個靜止的形導軌上滑動，如圖（ｂ）所示．設時刻t，桿AB 距導軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動勢，亦即本題桿中的電動勢． 解1　根據(jù)分析，桿中的感應電動勢為 式中負號表示電動勢方向由B 指向A，故點A 電勢較高． 解2　設順時針方向為回路ABCD 的正向，根據(jù)分析，在距直導線x 處，取寬為ｄx、長為y 的面元ｄS，則穿過面元的磁通量為 穿過回路的磁通量為 回路的電動勢為

15、 由于靜止的形導軌上電動勢為零，所以 式中負號說明回路電動勢方向為逆時針，對AB 導體來說，電動勢方向應由B 指向A，故點A 電勢較高． 8 －14　如圖（ａ）所示，在“無限長”直載流導線的近旁，放置一個矩形導體線框，該線框在垂直于導線方向上以勻速率v 向右移動，求在圖示位置處，線框中感應電動勢的大小和方向． 分析　本題亦可用兩種方法求解．其中應注意下列兩點：1．當閉合導體線框在磁場中運動時，線框中的總電動勢就等于框上各段導體中的動生電動勢的代數(shù)和．如圖（ａ）所示，導體eh 段和fg 段上的電動勢為零［此兩段導體上處處滿足］，因而線框中的總電動勢為 其等效電路如圖（ｂ）所

16、示． 2．用公式求解，式中Φ是線框運動至任意位置處時，穿過線框的磁通量．為此設時刻t 時，線框左邊距導線的距離為ξ，如圖（c）所示，顯然ξ是時間t 的函數(shù)，且有．在求得線框在任意位置處的電動勢E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得線框在題目所給位置處的電動勢． 解1　根據(jù)分析，線框中的電動勢為 由Eef ＞Ehg 可知，線框中的電動勢方向為efgh． 解2　設順時針方向為線框回路的正向．根據(jù)分析，在任意位置處，穿過線框的磁通量為 相應電動勢為 令ξ＝d，得線框在圖示位置處的電動勢為 由E ＞0 可知，線框中電動勢方向為順時針方向． 　*8 －15　有一長為l

17、，寬為b 的矩形導線框架，其質(zhì)量為m，電阻為R．在t ＝0時，框架從距水平面y ＝0 的上方h 處由靜止自由下落，如圖所示．磁場的分布為：在y ＝0 的水平面上方?jīng)]有磁場；在y ＝0 的水平面下方有磁感強度為B 的均勻磁場，B 的方向垂直紙面向里．已知框架在時刻t1 和t2 的位置如圖中所示．求在下述時間內(nèi)，框架的速度與時間的關系： （1） t1 ≥t ＞0，即框架進入磁場前；（2） t2 ≥t≥t1 ，即框架進入磁場， 但尚未全部進入磁場；（3）t ＞t2 ，即框架全部進入磁場后． 分析　設線框剛進入磁場（t1 時刻）和全部進入磁場（t2 時刻）的瞬間，其速度分別為v10 和v20

18、．在情況（1）和（3）中，線框中無感應電流，線框僅在重力作用下作落體運動，其速度與時間的關系分別為v＝gt（t ＜t1）和v ＝v20 ＋g（t－t2 ）（t ＞t2 ）．而在t1＜t＜t2這段時間內(nèi)，線框運動較為復雜，由于穿過線框回路的磁通量變化，使得回路中有感應電流存在，從而使線框除受重力外，還受到一個向上的安培力FA ，其大小與速度有關，即．根據(jù)牛頓運動定律，此時線框的運動微分方程為，解此微分方程可得t1＜t＜t2 時間內(nèi)線框的速度與時間的關系式． 解　（1） 根據(jù)分析，在時間內(nèi)，線框為自由落體運動，于是 其中時， （2） 線框進入磁場后，受到向上的安培力為 根據(jù)牛頓運動定律

19、，可得線框運動的微分方程 令，整理上式并分離變量積分，有 積分后將代入，可得 （3） 線框全部進入磁場后（t ＞t2），作初速為v20 的落體運動，故有 8 －17　半徑為R ＝2.0 cm 的無限長直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場可視為均勻磁場，管外磁場可近似看作零．若通電電流均勻變化，使得磁感強度B 隨時間的變化率為常量，且為正值，試求：（1） 管內(nèi)外由磁場變化激發(fā)的感生電場分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r ＝5．0 cm處感生電場的大小和方向． 分析　變化磁場可以在空間激發(fā)感生電場，感生電場的空間分布與場源———變化的磁場（包括磁場的空間分布以及磁場的變化率

20、等）密切相關，即.在一般情況下，求解感生電場的分布是困難的．但對于本題這種特殊情況，則可以利用場的對稱性進行求解．可以設想，無限長直螺線管內(nèi)磁場具有柱對稱性，其橫截面的磁場分布如圖所示．由其激發(fā)的感生電場也一定有相應的對稱性，考慮到感生電場的電場線為閉合曲線，因而本題中感生電場的電場線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓．同一圓周上各點的電場強度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向．圖中虛線表示r ＜R和r ＞R 兩個區(qū)域的電場線．電場線繞向取決于磁場的變化情況，由楞次定律可知，當時，電場線繞向與B 方向滿足右螺旋關系；當 時，電場線繞向與前者相反． 解　如圖所示，分別在r ＜R 和r

21、 ＞R 的兩個區(qū)域內(nèi)任取一電場線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設順時針方向為回路正向． （1） r ＜R，　 r ＞R，　 由于，故電場線的繞向為逆時針． （2） 由于r ＞R，所求點在螺線管外，因此 將r、R、的數(shù)值代入，可得，式中負號表示Ek的方向是逆時針的． 8 －19　截面積為長方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（ａ）所示，共有N 匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L． 分析　如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關的量．求自感L 的方法有兩種：1．設有電流I 通過線圈，計

22、算磁場穿過自身回路的總磁通量，再用公式計算L．2．讓回路中通以變化率已知的電流，測出回路中的感應電動勢EL ，由公式計算L．式中EL 和都較容易通過實驗測定，所以此方法一般適合于工程中．此外，還可通過計算能量的方法求解． 解　用方法1 求解，設有電流I 通過線圈，線圈回路呈長方形，如圖（ｂ）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范圍內(nèi)的磁場分布為 由于線圈由N 匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過自身回路的磁鏈為 則 若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對磁導率為μr ，則自感將增大μr倍． 8 －20　如圖所示，螺線管的管心是兩個套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1 和S

23、2 ，磁導率分別為μ1 和μ2 ，管長為l，匝數(shù)為N，求螺線管的自感．（設管的截面很?。? 分析　本題求解時應注意磁介質(zhì)的存在對磁場的影響．在無介質(zhì)時，通電螺線管內(nèi)的磁場是均勻的，磁感強度為B0 ，由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強度分別為μ1 B0 和μ2 B0 ．通過線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為S1 和S2 的兩部分磁通量之和．由自感的定義可解得結(jié)果． 解　設有電流I 通過螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強度分別為 , 通過N 匝回路的磁鏈為 則自感 8 －21　有兩根半徑均為a 的平行長直導線，它們中心距離為d．試求長為l 的一對導線的自感（導線內(nèi)部的磁通量可

24、略去不計）． 分析　兩平行長直導線可以看成無限長但寬為d 的矩形回路的一部分．設在矩形回路中通有逆時針方向電流I，然后計算圖中陰影部分（寬為d、長為l）的磁通量．該區(qū)域內(nèi)磁場可以看成兩無限長直載流導線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場的疊加． 解　在如圖所示的坐標中，當兩導線中通有圖示的電流I 時，兩平行導線間的磁感強度為 穿過圖中陰影部分的磁通量為 則長為l 的一對導線的自感為 如導線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對導線的自感為．L1 稱為外自感，即本題已求出的L，L2 稱為一根導線的內(nèi)自感．長為l的導線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解． 8 －22　如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩

25、組相同線圈AB 和A′B′，每個線圈的自感均為L，求：（1） A 和A′相接時，B 和B′間的自感L1 ；（2） A′和B 相接時，A 和B′間的自感L2 ． 分析　無論線圈AB 和A′B′作哪種方式連接，均可看成一個大線圈回路的兩個部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解．求解過程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線圈單獨存在時穿過自身回路的磁通量為Φ，則穿過兩線圈回路的磁通量為2Φ；而當兩組線圈按（1）或（2）方式連接后，則穿過大線圈回路的總磁通量為2Φ±2Φ，“ ±”取決于電流在兩組線圈中的流向是相同或是相反． 解?。?） 當A 和A′連接時，AB 和A′B′線圈中電流流向相反，

26、通過回路的磁通量亦相反，故總通量為 ， 故L1 ＝0． （2） 當A′和B 連接時，AB 和A′B′線圈中電流流向相同，通過回路的磁通量亦相同，故總通量為 ， 故． 本題結(jié)果在工程實際中有實用意義，如按題（1）方式連接，則可構(gòu)造出一個無自感的線圈． 8 －23　如圖所示，一面積為4.0 cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為20 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心且同平面．設線圈A 內(nèi)各點的磁感強度可看作是相同的．求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當線圈B 中電流的變化率為－50 A·ｓ－1 時，線圈A 中感應電動勢的大小和方向． 分析　設回路Ⅰ

27、中通有電流I1 ，穿過回路Ⅱ的磁通量為Φ21 ，則互感M ＝M21 ＝Φ21I1 ；也可設回路Ⅱ通有電流I2 ，穿過回路Ⅰ的磁通量為Φ12 ，則 ． 雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計算難易程度會有很大的不同．以本題為例，如設線圈B 中有電流I 通過，則在線圈A 中心處的磁感強度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場可視為均勻的，因而穿過線圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如設線圈A 通有電流I，其周圍的磁場分布是變化的，且難以計算，因而穿過線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見，計算互感一定要善于選擇方便的途徑． 解　（1） 設線圈B 有電流I 通過，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強度穿過小線圈A 的磁鏈近似為 則兩線圈的互感為 （2） 互感電動勢的方向和線圈B 中的電流方向相同．