1.2 充分條件和必要條件

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1、 1.2 充分條件和必要條件 班級 姓名 學(xué)習(xí)時間： 一、 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 正確理解充分條件、必要條件、充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件的概念 2.會判斷命題的充分條件、必要條件、充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件的方法，并進(jìn)行簡單的應(yīng)用。 二、 主線問題 1. 命題的概念： 命題的組成：

2、 2. 四種命題之間的關(guān)系： 3. 寫出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？ （1）若x＝y(tǒng)，則x2＝y(tǒng)2 （2）若ab = 0，則a = 0 （3）若x2>1，則x>1 （4）若x＝1或x＝2，則x2－3x＋2＝0 4. 對于命題“若p，則q”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？ （1）推斷符號“”的含義 如果命題“若p則q”為真命題，是指由p經(jīng)過推

3、理能推出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立．則記作pq ; 如果命題“若p則q”為假命題，是指由p經(jīng)過推理推不出q，則記作pq . 鞏固概念一：用 或填空 （1）x＝y(tǒng) x2＝y(tǒng)2 （2）ab = 0 a = 0 （3）x2>1 x>1 （4）x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0 （2）充分條件和必要條件的定義 定義：如果命題“若p，則q”為真命題，即p T q,那么我們就說p是q的 ；q是p ．

4、 思考：① 如果p是q的必要條件？那么應(yīng)該是 p q 還是 q p ？ ② 如何去判斷p是q的什么條件？ （3）充要條件的有關(guān)概念 已知p：整數(shù)a是2的倍數(shù)；q：整數(shù)a是偶數(shù).請判斷： p是q的充分條件嗎？p是q的必要條件嗎？ 類比歸納：一般地,如果既有 就記作p ? q.此時,我們說,那么p是q的充分必要條件,簡稱 .顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果p ? q,那么p 與 q互為充要條件. 探究結(jié)論：命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分為四類： (1) pq，而q

5、 p ，則p是q的 條件； (2) p q，而qp ，則p是q的 條件； (3)pq，又有qp.或，則p是q的 條件； (4) p q，又有q p，則p是q的 條件. 鞏固概念二： p q p是q的什么條件 q是p的什么條件 y是有理數(shù) y是實數(shù) x>5 x>3 m，n全是奇數(shù) m+n是偶數(shù) (x+1)(y-2

6、)=0 x=-1,y=2 ab≠0 a≠0 a≥b a>b x∈(A∩B) 三、 例題預(yù)熱 知識點一　充分、必要條件的判斷 例1：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？ 理數(shù) 例2：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？ （1）若a=0，則ab=0 ； （2）若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形全等； （3）若a>b，則ac>bc ； （4）若x=y，則x2=y2. 例3：下列各題中，哪些p是q

7、的充要條件？ (1) p：b＝0，q：函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)； (2) p：x>0，y>0，q：xy>0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. (4)p:x ＞5, ,q: x＞10； (5)p: a＞b ,q: a2＞b2. 練習(xí)已知實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，下列結(jié)論中正確的是(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是這個方程有實根的充分條件；②Δ＝b2－4ac≥0是這個方程有實根的必要條件； ③Δ＝b2－4ac≥0是這個方程有實根的充要條件；④Δ＝b2－4ac＝0是這個方程有實根的充分條件． A．③　　B．

8、①② C．①②③ D．①②③④ 歸納：一般地，若pTq ,但q1>p，則稱p是q的充分而不必要條件； 若p1>q，但qTp，則稱p是q的必要而不充分條件； 若p1>q，且q1>p，則稱p是q的既不充分也不必要條件． 在討論p是q的什么條件時，就是指以下四種之一： ①若pTq ,但q1>p，則p是q的充分而不必要條件；②若qTp，但p1>q，則p是q的必要而不充分條件； ③若pTq，且qTp，則p是q的充要條件；④若p1>q，且q1>p，則p是q的既不充分也不必要條件． 例4：指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又

9、不必要條件”中選出一種作答．) (1)△ABC中，p：A＞B，q：BC＞AC； (2)對于實數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 知識點二　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍或計算充要條件 例5：已知命題p：|1－|≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若p是q的必要非充分條件，試求實數(shù)m的取值范圍． 練習(xí)1、已知p：x2－8x－20≤0.q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若p是q的充分

10、而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． 練習(xí)2、　求對任意實數(shù)學(xué)x使ax2＋2x＋1>0恒成立的充要條件． 知識點三　充要條件的證明 例6：　試證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0. 練習(xí)1、　求證：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根大于1的充要條件為k<－2. 練習(xí)2、　求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的充要條件是a－b＋c＝0. 四、 目標(biāo)檢測 1．a(chǎn)2＋(b－1)2＝0是a(b－1)＝0的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充

11、分也不必要條件 2．設(shè)α、β∈(－，)，那么“α<β”是“tanα0 C.>1 D.<－1 4．命題“函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)”的充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)> B．a(chǎn)≥ C．a(chǎn)≤ D．a(chǎn)≤ 5．“b2＝ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的___

12、_____條件． 6．“cosα＝－”是“α＝2kπ＋π，k∈Z”的________條件． 五、分層達(dá)標(biāo) A組 1 ．指出下列各組命題中，p是q的什么條件. ; （2）p: 四邊形的四條邊相等 ; q: 四邊形是正方形; ; （4）p: 兩直線平行; q: 內(nèi)錯角相等. 2 ．如圖所示，在下列電路圖中閉合開關(guān)A是燈泡B亮的什么條件？ （1）開關(guān)A閉合是燈泡B亮的 條件；（2）開關(guān)A閉合是燈泡B亮的 條件； （3）開關(guān)A閉合是燈泡B亮

13、的 條件；（4）開關(guān)A閉合是燈泡B亮的 條件。 3：判斷下述p是q的什么條件. （1）p：x>5 ，q：x≥5 ； （2）p： x≥5 ，q： x>5 ； （3）p：A與B為互斥事件, q： A與B為對立事件 ； （4）p：D2+E2—4F>0 ， q： x2+y2+Dx +Ey +F=0是圓的方程； (5) p： ， q：； （6）p：△ABC中，A>B , q： △ABC中,sinA>sinB. B組 1．用“充分”或“必要”填空，并說明理由：①“a和b

14、都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的 條件；②“x＞5”是“x＞3”的 條件；③“x3”是“|x|3”的 條件；④“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的 條件；⑤“至少有一組對應(yīng)邊相等”是“兩個三角形全等”的 條件；⑥對于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不為0）來說，“b2-4ac0”是“這個方程有兩個正根”的 條件； 2．設(shè)命題甲為：0＜x＜5，命題乙為|x－2|＜3，那么甲是乙的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

15、 3．已知真命題“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，則“c≤d”是“e≤f”的 條件． 4．是的什么條件?并說明理由. 5． 已知p∶x2-8x-20＞0，q∶x2-2x+1-a2＞0。若p是q的充分而不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍. 6． ，是的充分條件，還是必要條件？充要條件？ 7．對于三個集合A，B，C，條件A?B，B?C，C?A是A＝B＝C的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 8．設(shè)集合M＝{x|0

16、　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 9．設(shè)m，n是整數(shù)，則“m，n均為偶數(shù)”是“m＋n是偶數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 10．若非空集合A、B、C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要條件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A”的必要條件 11．條件p：|x|＝x

17、，條件q：x2≥0，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 12．a(chǎn)<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)數(shù)根的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 C組 1.設(shè)，則是 的 （ ） A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 2.設(shè)，則不等式與都成立的充

18、要條件是（ ） A. B. C. D. 3.給出下列命題：①是的充要條件； ②是的充要條件； ③是的充要條件.則其中為真命題的有（ ） A． 個 B．個 C．個 D．個 4.已知命題;命題函數(shù)的值恒為負(fù).則命題是命題成立的（ ）

19、 A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5. 不等式成立的充要條件是 . 6.命題；命題關(guān)于的方程有兩個小于的正根，試分析是的什么條件. 7．設(shè)A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D是B的充分條件，那么，D是A的什么條件？A是B的什么條件？ 8.已知p , q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件. （1）s是q的什么條件？（2）r是q的什么條件？（3）p是q的什么條件？ 9.設(shè)p：|4x－3|≤1,

20、 q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0．若﹁ p是﹁ q的必要而不充分的條件，求實數(shù)a的取值范圍． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．(北京高考)“函數(shù)f(x)(x∈R)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 11．(浙江高考)“x＞1”是“x2＞x”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 12.判斷下列命題中，p是q的什么條件？ (1

21、)p：02，且y>3，q：x＋y>5； (3)p：b2－4ac<0，q：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R. 13．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分條件是q，求實數(shù)a的取值范圍． 14．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一個充分而不必要條件是－2b”是“a2>b2”的充分條件； ④“a<5”是“a<

22、3”的必要條件． 其中真命題的個數(shù)是________． 16．設(shè)α、β是方程x2－ax＋b＝0的兩個實根，試分析“a>2且b>1”是“兩根都大于1”的什么條件？ 17．求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件． 五、小結(jié)與反思 1、本節(jié)主要學(xué)習(xí)了推斷符號“”的意義，充分條件與必要條件的概念 2、判斷充分條件與必要條件的方法. （1）.直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結(jié)論是相對的） （2）.利用等價命題關(guān)系判斷：“pq”的等價命題是“qp”。即“若┐

23、q┐p成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”。 3、判斷充分條件與必要條件的依據(jù)是： （1）若pq（或若┐q┐p），則p是q的充分條件；q是p的必要條件. （2）條件是相互的； （3）p是q的什么條件，有四種回答方式： ① p是q的充分而不必要條件；② p是q的必要而不充分條件； ③ p是q的充要條件； ④ p是q的既不充分也不必要條件。 1.2 充分條件和必要條件(教師用) 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 正確理解充分條件、必要條件、充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件的概念 2.會判

24、斷命題的充分條件、必要條件、充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件的方法，并進(jìn)行簡單的應(yīng)用。 二、主線問題 1.命題的概念： 命題的組成： 2. 四種命題之間的關(guān)系： 3. 寫出下列命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？ （1）若x＝y(tǒng)，則x2＝y(tǒng)

25、2 （2）若ab = 0，則a = 0 （3）若x2>1，則x>1 （4）若x＝1或x＝2，則x2－3x＋2＝0 4. 對于命題“若p，則q”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？ 看p能不能推出q，如果p能推出q，則原命題是真命題，否則就是假命題 （1）推斷符號“”的含義 如果命題“若p則q”為真命題，是指由p經(jīng)過推理能推出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立．則記作pq ; 如果命題“若p則q”為假命題，是指由p經(jīng)過推理推不出q，則記作pq . 鞏固概念一：用 或填空 （1）x＝y(tǒng)

26、 x2＝y(tǒng)2 （2）ab = 0 a = 0 （3）x2>1 x>1 （4）x＝1或x＝2 x2－3x＋2＝0 （2）充分條件和必要條件的定義 　　命題“若p，則q” 為真命題，是指由p經(jīng)過推理能推出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立．換句話說，只要有條件p就能充分地保證結(jié)論q的成立，這時我們稱條件p是q成立的充分條件． 　　定義：如果命題“若p，則q”為真命題，即p T q,那么我們就說p是q的充分條件；q是p必要條件． 思考：① 如果p是q

27、的必要條件？那么應(yīng)該是 p q 還是 q p ？ ② 如何去判斷p是q的什么條件？ （3）充要條件的有關(guān)概念 已知p：整數(shù)a是2的倍數(shù)；q：整數(shù)a是偶數(shù).請判斷： p是q的充分條件嗎？p是q的必要條件嗎？ 分析：要判斷p是否是q的充分條件，就要看p能否推出q，要判斷p是否是q的必要條件，就要看q能否推出p．易知：pTq，故p是q的充分條件；又q T p，故p是q的必要條件．此時,我們說, p是q的 充分必要條件 類比歸納：一般地,如果既有 pTq，又有q T p 就記作p ? q.此時,我們說,那么p是q的充分必要條件,簡稱 充要條件.顯

28、然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果p ? q,那么p 與 q互為充要條件. 探究結(jié)論：命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分為四類： (1) pq，而q p ，則p是q的 條件； (2) p q，而qp ，則p是q的 條件； (3)pq，又有qp.或，則p是q的 條件； (4) p q，又有q p，則p是q的 條件. 鞏固概念二： p q p是q的什么條件

29、 q是p的什么條件 y是有理數(shù) y是實數(shù) x>5 x>3 m，n全是奇數(shù) m+n是偶數(shù) (x+1)(y-2)=0 x=-1,y=2 ab≠0 a≠0 a≥b a>b x∈(A∩B) 三、例題預(yù)熱 知識點一　充分、必要條件的判斷 例1：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？ 理數(shù) 【解析】 根據(jù)命題的組成特征得到： 只有第四個命題不符合條件. 例2：下列

30、“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？ （1）若a=0，則ab=0 ； （2）若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形全等； （3）若a>b，則ac>bc ； （4）若x=y，則x2=y2. 【解析】根據(jù)必要條件的概念，得到只有第2個不符合條件. 例3：下列各題中，哪些p是q的充要條件？ (1)p：b＝0，q：函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)； (2)p：x>0，y>0，q：xy>0； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. (4)p:x ＞5, ,q: x＞10； (5)p: a＞b ,q: a2＞b2. 分

31、析：要判斷p是q的充要條件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p． 解：命題（１）和（３）中，pTq ，且qTp，即p ? q，故p 是q的充要條件； 命題（２）中，pTq ,但q1>p，故p 不是q的充要條件； 命題（４）中，p1>q ，但qTp，故p 不是q的充要條件； 命題（５）中，p1>q ，且q1>p，故p 不是q的充要條件； 【反思感悟】　判斷p是q的什么條件，常用方法是驗證由p能否推出q，由q能否推出p，對于否定性命題，注意利用等價命題來判斷． 練習(xí) 已知實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，下列結(jié)論中正確的是(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是這個

32、方程有實根的充分條件； ②Δ＝b2－4ac≥0是這個方程有實根的必要條件； ③Δ＝b2－4ac≥0是這個方程有實根的充要條件； ④Δ＝b2－4ac＝0是這個方程有實根的充分條件． A．③　　　　　　 　　B．①② C．①②③ D．①②③④ 答案　D 解析　Δ＝b2－4ac≥0是實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根的充要條件，利用該結(jié)論可知①②③正確，由于Δ＝b2－4ac＝0時，方程有相等實根，故④是正確的． 歸納：一般地， 若pTq ,但q1>p，則稱p是q的充分而不必要條件； 若p1>q

33、，但qTp，則稱p是q的必要而不充分條件； 若p1>q，且q1>p，則稱p是q的既不充分也不必要條件． 在討論p是q的什么條件時，就是指以下四種之一： 　?、偃魀Tq ,但q1>p，則p是q的充分而不必要條件； 　?、谌魆Tp，但p1>q，則p是q的必要而不充分條件； 　　③若pTq，且qTp，則p是q的充要條件； ④若p1>q，且q1>p，則p是q的既不充分也不必要條件． 例4：指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要條件”中選出一種作答．) (1)△ABC中，p：A＞B，q：BC＞AC； (2)對于實數(shù)x，y，p：x

34、＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解　(1)p是q的充要條件． (2)∵其逆否命題：x＝2且y＝6?x＋y＝8， ∴p是q的充分不必要條件． (3)取A＝120°，B＝30°，p 1>q，又取A＝30°， B＝120°，q 1>p，∴p是q的既不充分又不必要條件． (4)∵p＝{(1,2)}，q＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，p?q，但q 1> p ∴p是q的充分不必要條件． 知識點二　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的

35、取值范圍或計算充要條件 例5：已知命題p：|1－|≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若p是q的必要非充分條件，試求實數(shù)m的取值范圍． 解　由|1－|≤2，得－2≤x≤10. 所以p：A＝{x|x<－2或x>10}． 由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m，所以q：B＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}． 因為p是q的必要非充分條件，所以B是A的真子集， 所以或 解得滿足條件的m的取值范圍是[9，＋∞)． 練習(xí)1、已知p：x2－8x－20≤0.q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若p是q的充分而不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解

36、：　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m(m>0)． ∴p：A＝{x|x>10或x<－2}， q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m}． ∵p是q的充分而不必要條件．∴A B. ∴，解得00恒成立的充要條件． 解　當(dāng)a＝0時，2x＋1>0不恒成立． 當(dāng)a≠0時，ax2＋2x＋1>0恒成立．??a>1. 所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要條件是a>1. 知識點三　

37、充要條件的證明 例6：　試證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0. 證明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0，所以ac<0. 充分性：由ac<0可推得，Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根． 練習(xí)1、　求證：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根大于1的充要條件為k<－2. 證明　必要性： 若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根，不妨設(shè)兩個根為x1，x2，則 ?即

38、解得k<－2. 充分性： 當(dāng)k<－2時，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0. 設(shè)方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根為x1，x2. 則(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2 ＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0， ∴x1－1>0，x2－1>0. ∴x1>1，x2>1. 綜上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根的充要條件為k<－2. 【反思感悟】　證明充要條件，即證明原命題和逆命題都成立．要注意“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”

39、兩種說法的差異，分清哪是條件，哪是結(jié)論． 練習(xí)2、　求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的充要條件是a－b＋c＝0. 證明　必要性 ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1，∴x＝－1適合方程ax2＋bx＋c＝0，即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0. 充分性 ∵a－b＋c＝0，∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，也就是x＝－1適合方程ax2＋bx＋c＝0 因此方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1. 四、目標(biāo)檢測 1．a(chǎn)2＋(b－1)2＝0是a(b－1)＝0的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要

40、條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　由a2＋(b－1)2＝0，即a＝0，b＝1，所以a(b－1)＝0；由a(b－1)＝0，得a＝0或b＝1， 當(dāng)a＝0或b＝1時，a2＋(b－1)2不一定為0，故選A. 2．設(shè)α、β∈(－，)，那么“α<β”是“tanα

41、 B．a(chǎn)－b>0 C.>1 D.<－1 答案　A 解析　由題意可知a<0，b<0是結(jié)論，因找的是必要條件．即由結(jié)論能推出條件，由條件推不出結(jié)論來，a<0，b<0?a＋b<0，但a＋b<0D?/a<0，b<0，故選A. 4．命題“函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)”的充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)> B．a(chǎn)≥ C．a(chǎn)≤ D．a(chǎn)≤ 答案　C 解析　對于f(x)＝x2－ax＋b，其圖象的對稱軸為x＝a，要使函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，只須a≤1.得a

42、≤，但要找的是充分不必要條件，因≤.即由a≤能推出f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，故a≤是充分不必要條件． 5．“b2＝ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的________條件． 答案　必要不充分 解析　由b2＝ac ? a，b，c成等比數(shù)列， 例如：a＝0，b＝0，c＝5.若a，b，c成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義知b2＝ac. 6．“cosα＝－”是“α＝2kπ＋π，k∈Z”的________條件． 答案　必要不充分 解析　由cosα＝－?α＝2kπ＋π或α＝2kπ＋，k∈Z，由α＝2kπ＋π?cosα＝－，故答案為必要不充分條件． 五、分層達(dá)標(biāo)

43、 A組 1 ．指出下列各組命題中，p是q的什么條件. ; （2）p: 四邊形的四條邊相等 ; q: 四邊形是正方形; ; （4）p: 兩直線平行 ; q: 內(nèi)錯角相等. 2 ．如圖所示，在下列電路圖中閉合開關(guān)A是燈泡B亮的什么條件？ （1）開關(guān)A閉合是燈泡B亮的 條件；（2）開關(guān)A閉合是燈泡B亮的 條件； （3）開關(guān)A閉合是燈泡B亮的 條件；（4）開關(guān)A閉合是燈泡B亮的 條件。 3：判斷下述p是q的什么條件. （1）p：x>5

44、 ，q：x≥5 ； （2）p： x≥5 ，q： x>5 ； （3）p：A與B為互斥事件, q： A與B為對立事件 ； （4）p：D2+E2—4F>0 ， q： x2+y2+Dx +Ey +F=0是圓的方程； (6) p： ， q：； （6）p：△ABC中，A>B , q： △ABC中,sinA>sinB. B組 1．用“充分”或“必要”填空，并說明理由： ①“a和b都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的 條件； ②“x＞5”是“x＞

45、3”的 條件； ③“x3”是“|x|3”的 條件； ④“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的 條件； ⑤“至少有一組對應(yīng)邊相等”是“兩個三角形全等”的 條件； ⑥對于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不為0）來說，“b2-4ac0”是“這個方程有兩個正根”的 條件； ①充分 ②充分 ③充分 ④充分 ⑤必要 ⑥必要 2．設(shè)命題甲為：0＜x＜5，命題乙為|x－2|＜3，那么甲是乙的（ A ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不

46、充分也不必要條件 3．已知真命題“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，則“c≤d”是“e≤f”的充分條件． 4．是的什么條件?并說明理由. 解： 但反之卻不一定成立。例如取α=1,β=5,顯然滿足 但不滿足所以是的必要但不充分條件. 5.已知p∶x2-8x-20＞0，q∶x2-2x+1-a2＞0。若p是q的充分而不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍. 解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0 如圖，依題意，pq，但q不能推出p，說明AB，則有 解得0＜a≤3. 6.，是的充分條件，還是必要條件？充要條件？ (充分不

47、必要條件) 7．對于三個集合A，B，C，條件A?B，B?C，C?A是A＝B＝C的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　由A?B，B?C，得A?C；又因C?A，所以A＝C，同理得A＝B.由A＝B＝C，得A?B，B?C，C?A. 8．設(shè)集合M＝{x|0

48、． 9．設(shè)m，n是整數(shù)，則“m，n均為偶數(shù)”是“m＋n是偶數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　當(dāng)m，n均為偶數(shù)時，則m＋n是偶數(shù)，反之當(dāng)m＋n是偶數(shù)時，m、n不一定均為偶數(shù)，例如1＋3＝4是偶數(shù)，而1、3均為奇數(shù)． 10．若非空集合A、B、C滿足A∪B＝C，且B不是A的子集，則(　　) A．“x∈C”是“x∈A”的充分條件但不是必要條件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要條件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分條件也不是“x∈A

49、”的必要條件 答案　B 解析　 由題意知，A、B、C的關(guān)系用圖來表示． 若x∈C，不一定有x∈A，而x∈A，則必有x∈C，∴“x∈C”是“x∈A”的必要條件但不是充分條件． 11．條件p：|x|＝x，條件q：x2≥0，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　∵|x|＝x，∴x≥0，∴x2≥0，即p?q. 若x2≥0，則x∈RD?/|x|＝x.故選A. 12．a(chǎn)<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)數(shù)根的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．

50、充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　當(dāng)a<0時，由韋達(dá)定理知x1·x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一負(fù)根，符合題意；當(dāng)ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)數(shù)根時，a可以為0，因為當(dāng)a＝0時，該方程僅有一根為－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)數(shù)根的充分不必要條件． C組 1.設(shè)，則是 的 （ ） A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

51、 A【解析】，則， ∴，條件充分，反之不真，如. 2.設(shè)，則不等式與都成立的充要條件是（ ） A. B. C. D. B【解析】， ∵， ∴.而，故得. 3.給出下列命題：①是的充要條件； ②是的充要條件； ③是的充要條件.則其中為真命題的有（ ） B． 個 B．個 C．個 D．個 A【解析】①，反之不真；② ，反之不真；③，反之不真. 4.已知命題;

52、命題函數(shù)的值恒為負(fù).則命題是命題成立的（ ） A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A【解析】；函數(shù)的值恒為負(fù)，不一定有，如時，函數(shù)的值恒為負(fù). 5.不等式成立的充要條件是 . 且【解析】時，, ∴；時， 此式當(dāng)時恒成立. 6.命題；命題關(guān)于的方程有兩個小于的正根，試分析是的什么條件. 解：設(shè)關(guān)于的方程有兩個小

53、于的正根，則，，∵， ∴， ∴，這說明是的必要條件.設(shè)，關(guān)于的方程不一定有兩個小于的正根，如時，方程沒有實數(shù)根，這說明不是的充分條件.綜上，是的必要不充分條件. 7．設(shè)A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D是B的充分條件，那么，D是A的什么條件？A是B的什么條件？ 解：由題意作出邏輯圖（右圖），便知，D是A的必要條件；A是B的充分條件. 8.已知p , q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件. （1）s是q的什么條件？ （2）r是q的什么條件？ （3）p是q的什么條件？ 9.設(shè)p：|4x－3|≤1, q：x2－(2a＋1)x＋a(

54、a＋1)≤0．若﹁ p是﹁ q的必要而不充分的條件，求實數(shù)a的取值范圍． . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．(北京高考)“函數(shù)f(x)(x∈R)存在反函數(shù)”是“函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　如果函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的定義可知，原函數(shù)存在反函數(shù)，而反之不成立，當(dāng)原函數(shù)存在反函數(shù)時，該函數(shù)f(x)可能在R上為減函數(shù)． 答案　B 11．(浙江高考)“x＞1”是“x2＞x”的(　　) A．充分而不必要條

55、件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　由x2>x得x<0或x>1.∴由“x>1”?“x2>x”而“x2>x”D?/“x>1”，∴“x>1”是“x2>x”的充分不必要條件． 答案　A 12.判斷下列命題中，p是q的什么條件？ (1)p：02，且y>3，q：x＋y>5； (3)p：b2－4ac<0，q：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R. 解　(1)∵|x－2|<4，∴－2

56、)當(dāng)x>2，且y>3時，一定有x＋y>5，但反過來不成立，故p是q的充分不必要條件． (3)若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R， 則a>0，且b2－4ac<0，故p是q的必要不充分條件． 13．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分條件是q，求實數(shù)a的取值范圍． 解　q是p的必要不充分條件， 則p?q且qD?/p. ∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1. ∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤. ∴滿足條件的a的取值范圍為[0，]． 14．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一個充分而不必要條件是－2

57、　a>2 解析　不等式變形為(x＋1)(x＋a)<0，因當(dāng)－2－a，即a>2. 15.對任意的a、b、c∈R，給出下列命題： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件； ②“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分條件； ④“a<5”是“a<3”的必要條件． 其中真命題的個數(shù)是________． 答案　2 解析　命題②，④是真命題． 16．設(shè)α、β是方程x2－ax＋b＝0的兩個實根，試分析“a>2且b>1”是“兩根都大于1”的什么條件？ 解　由根與系數(shù)的關(guān)系得，判定的

58、條件是p：，結(jié)論是q：(Δ≥0)． ①由α>1且β>1?a＝α＋β>2，b＝αβ>1?a>2且b>1，故q?p. ②取α＝4，β＝，則滿足a＝α＋β＝4＋>2，b＝αβ＝4×＝2>1，但pD?/q. 綜上所述知：“a>2且b>1”是α>1且β>1的必要不充分條件． 17.求關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件． 解　(1)當(dāng)a＝0時，解得x＝－1，滿足條件； (2)當(dāng)a≠0時，顯然方程沒有零根，若方程有兩異號實根，則a<0； 若方程有兩個負(fù)的實根， 則必須滿足?0

59、 因此，關(guān)于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件是a≤. 五、小結(jié)與反思 1、本節(jié)主要學(xué)習(xí)了推斷符號“”的意義，充分條件與必要條件的概念 2、判斷充分條件與必要條件的方法. （1）.直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”.（條件與結(jié)論是相對的） （2）.利用等價命題關(guān)系判斷：“pq”的等價命題是“qp”。即“若┐q┐p成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”。 3、判斷充分條件與必要條件的依據(jù)是： （1）若pq（或若┐q┐p），則p是q的充分條件；q是p的必要條件. （2）條件是相互的； （3）p是q的什么條件，有四種回答方式： ① p是q的充分而不必要條件；② p是q的必要而不充分條件； ③ p是q的充要條件； ④ p是q的既不充分也不必要條件。 第 17 頁 共 17 頁