人教版八下數(shù)學(xué) 期末高效復(fù)習(xí) 專題3 平行四邊形

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 期末高效復(fù)習(xí) 專題3 平行四邊形 1. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,∠C 和 ∠D 的平分線交于 M,DM 的延長線交 BC 于 E,試猜想: (1) CM 與 DE 的位置關(guān)系? (2) M 在 DE 的什么位置上?并證明你的猜想. 2. 在平行四邊形 ABCD 中,BC=2AB,E 為 BC 中點(diǎn),則 ∠AED= °. 3. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,則 BD= . 4. 如圖的平行四邊形 ABCD 中,對角線 AC,BD 交于點(diǎn) O,EF 過點(diǎn) O,并與

2、AD,BC 分別交于點(diǎn) E,F(xiàn),已知 AE=3,BF=5. (1) 求 BC 的長; (2) 如果兩條對角線長的和是 20,求 △AOD 的周長. 5. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,點(diǎn) E 是 BC 邊的中點(diǎn),連接 AE 并延長與 DC 的延長線交于 F. (1) 求證:CF=CD. (2) 若 AF 平分 ∠BAD,連接 DE,試判斷 DE 與 AF 的位置關(guān)系,并說明理由. 6. 如圖,已知 BD 垂直平分 AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC. (1) 證明:四邊形 ABDF 是平行四邊形; (2) 若 AF=DF=5,AD=6,求

3、AC 的長. 7. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,點(diǎn) O 是邊 BC 的中點(diǎn),連接 AO 并延長,交 DC 延長線于點(diǎn) E,連接 AC,BE. (1) 求證:四邊形 ABEC 是平行四邊形; (2) 當(dāng) ∠D=50°,∠AOC=100° 時(shí),判斷四邊形 ABEC 的形狀,并說明理由. 8. 如圖,點(diǎn) A,F(xiàn),C,D 在同一直線上,點(diǎn) B 和點(diǎn) E 分別在直線 AD 的兩側(cè),且 AB=DE,∠A=∠D,AF=DC. (1) 請寫出圖中兩對全等的三角形; (2) 求證:四邊形 BCEF 是平行四邊形. 9. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AB=6?

4、cm,AD=10?cm,點(diǎn) P 在 AD 邊上以每秒 1?cm 的速度從點(diǎn) A 向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng),點(diǎn) Q 在 BC 邊上以每秒 4?cm 的速度從點(diǎn) C 出發(fā),在 CB 間往返運(yùn)動(dòng),兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) D 時(shí)停止運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn) Q 也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t?s,當(dāng) t 為何值時(shí),以 P,D,Q,B 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形? 10. 如圖,在 △ABC 中,點(diǎn) D 是邊 BC 的中點(diǎn),點(diǎn) E 在 △ABC 內(nèi),AE 平分 ∠BAC,CE⊥AE,點(diǎn) F 在邊 AB 上,EF∥BC. (1) 求證:四邊形 BDEF 是平行四邊形; (2) 線段 BF,AB,A

5、C 的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系?證明你所得到的結(jié)論. 11. 如圖,在 △ABC 中,點(diǎn) D,E,F(xiàn) 分別是邊 AB,BC,CA 的中點(diǎn),AH 是邊 BC 上的高. (1) 求證:四邊形 ADEF 是平行四邊形; (2) 若 ∠AHF=20°,∠AHD=50°,求 ∠DEF 的度數(shù). 12. 請回答下列問題: (1) 如圖①,在四邊形 ABCD 中,AB=CD,E,F(xiàn) 分別是 AD,BC 的中點(diǎn),連接 FE 并延長,分別與 BA,CD 的延長線交于點(diǎn) M,N.求證:∠BME=∠CNE; (2) 如圖②,在 △ABC,F(xiàn) 是 BC 邊的中點(diǎn),D 是 AC 邊上一

6、點(diǎn),E 是 AD 的中點(diǎn),直線 FE 交 BA 的延長線于點(diǎn) G,若 AB=DC=2,∠FEC=45°,求 FE 的長度, 13. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,已知 AC=4?cm,若 △ACD 的周長為 13?cm,則平行四邊形 ABCD 的周長為 ?? A. 26?cm B. 24?cm C. 20?cm D. 18?cm 14. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分線交 BC 于點(diǎn) E,交 DC 的延長線于點(diǎn) F,BG⊥AE 于 G,BG=42,則梯形 AECD 的周長為 ?? A. 22 B. 23

7、 C. 24 D. 25 15. 如圖,點(diǎn) P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)的任意一點(diǎn),連接 PA,PB,PC,PD,得到 △PAB,△PBC,△PCD,△PDA,設(shè)它們的面積分別是 S1,S2,S3,S4,給出如下結(jié)論:① S1+S3=S2+S4;②如果 S4>S2,則 S3>S1;③若 S3=2S1,則 S4=2S2;④若 S1-S2=S3-S4,則 P 點(diǎn)一定在對角線 BD 上.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ?? A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè) 16. 已知,如圖,在平行四邊形 ABCD 中,延長 DA 到點(diǎn) E,延長 BC 到點(diǎn) F,使得 AE=

8、CF,連接 EF,分別交 AB,CD 于點(diǎn) M,N,連接 DM,BN. (1) 求證:△AEM≌△CFN; (2) 求證:四邊形 BMDN 是平行四邊形. 17. 如圖,平行四邊形 ABCD 中,E 是 AD 的中點(diǎn),連接 CE 并延長,與 BA 的延長線交于點(diǎn) F.請你找出圖中與 AF 相等的一條線段,并加以證明.(不再添加其他線段,不再標(biāo)注或使用其他字母) 結(jié)論:AF= . 18. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,∠ABC 的平分線交 AD 于點(diǎn) E,延長 BE 交 CD 的延長線于點(diǎn) F. (1) 若 ∠F=20°,求 ∠A 的度數(shù); (

9、2) 若 AB=5,BC=8,CE⊥AD,求平行四邊形 ABCD 的面積. 19. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AE⊥BD 于點(diǎn) E,CF⊥BD 于點(diǎn) F,連接 AF,CE. (1) 求證:四邊形 AECF 是平行四邊形; (2) 若 AB=6,AD=221,∠ABD=30°,求四邊形 AECF 的面積. 20. BD,CE 分別是 △ABC 的外角平分線,過 A 作 AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別是 F,G,易證 FG=12AB+BC+AC. (1) 若 BD,CE 分別是 △ABC 的內(nèi)角平分線,F(xiàn)G 與 △ABC 三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系?畫出圖形并說

10、明理由; (2) 若 BD,CE 分別是 △ABC 的內(nèi)角和外角平分線,F(xiàn)G 與 △ABC 三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系?畫出圖形并說明理由. 21. 定義:等腰三角形 ABC,如果腰長是底邊長的兩倍,則稱三角形 ABC 是等腰倍邊三角形. (1) 如圖①,等腰倍邊三角形 ABC,AB=AC,BC=2,則 AB= ; (2) 如圖②,平行四邊形 ABCD 中,AB=8,對角線交于點(diǎn) O,若分成的四個(gè)以 O 為頂點(diǎn)的三角形中存在等腰倍邊三角形,求 AC+BD 的值. 答案 1. 【答案】 (1) CM⊥DE,理由: ∵AD∥BC, ∴∠ADC+∠BC

11、D=180°, ∵DE,CM 分別平分 ∠ADC,∠BCD, ∴∠MDC=12∠ADC,∠DCM=12∠DCB, ∴∠MDC+∠MCD=90°, ∴CM⊥DE. (2) M 在 DE 的中點(diǎn)處. 證明: ∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠CEM, ∵∠ADE=∠CDE, ∴∠CDE=∠CED, ∴CD=CE, ∵CM⊥DE, ∴EM=MD. 2. 【答案】 90 3. 【答案】 413 4. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AD∥BC,AO=CO, ∴∠EAO=∠FCO, 在

12、△AOE 和 △COF 中, ∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF, ∴AE=CF=3, ∴BC=BF+CF=5+3=8. (2) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AO=CO,BO=DO,AD=BC=8, ∵AC+BD=20, ∴AO+DO=10, ∴△AOD 的周長 =AO+DO+AD=18. 5. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AB∥CD, ∵ 點(diǎn) F 為 DC 的延長線上的一點(diǎn), ∴AB∥DF, ∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA, ∵

13、E 為 BC 中點(diǎn), ∴BE=CE, 則在 △BAE 和 △CFE 中, ∠BAE=∠CFE,∠EBA=∠ECF,BE=CE, ∴△BAE≌△CFEAAS, ∴AB=CF, ∴CF=CD. (2) DE⊥AF. 理由: ∵AF 平分 ∠BAD, ∴∠BAF=∠DAF, ∵∠BAF=∠F, ∵∠DAF=∠F, ∴DA=DF, 又由(1)知 △BAE≌△CFE, ∴AE=EF, ∴DE⊥AF. 6. 【答案】 (1) ∵BD 垂直平分 AC, ∴AB=BC,AD=DC, ∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,

14、 ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA, ∴∠BAD=∠BCD. ∵∠BCD=∠ADF, ∴∠BAD=∠ADF, ∴AB∥FD, ∵BD⊥AC,AF⊥AC, ∴AF∥BD, ∴ 四邊形 ABDF 是平行四邊形. (2) ∵ 四邊形 ABDF 是平行四邊形,AF=DF=5, ∴ 四邊形 ABDF 為菱形, ∴AB=BD=5. 設(shè) BE=x,則 DE=5-x,由題設(shè)得 AC⊥BD, ∴AB2-BE2=AD2-DE2,即 52-x2=62-5-x2,解得 x=75, ∴AE=AB2-BE2=245, ∴AC=2AE=485. 7.

15、 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AB∥CD, ∴∠BAO=∠CEO,∠ABO=∠ECO, ∵ 點(diǎn) O 是邊 BC 的中點(diǎn), ∴BO=CO, ∴△ABO≌△ECOAAS, ∴AO=EO, ∴ 四邊形 ABEC 是平行四邊形. (2) 四邊形 ABEC 是矩形, 理由: ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴∠ABC=∠D=50°, ∵∠AOC=∠ABC+∠BAO=100°, ∴∠ABC=∠BAO=50°, ∴AO=BO, ∴AE=BC, ∴ 平行四邊形 ABEC 是矩形. 8. 【答案】

16、(1) △ABF≌△DEC,△ABC≌△DEF. (2) ∵ △ABF≌△DEC, ∴ BF=EC, 又 ∵ △ABC≌△DEF, ∴ BC=EF, ∴ 四邊形 BCEF 是平行四邊形. 9. 【答案】 ∵ 四邊形 ABCD 為平行四邊形, ∴PD∥BQ. 若要以 P,D,Q,B 四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形,則 PD=BQ. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t. 當(dāng) 0≤t≤52 時(shí),AP=t,PD=10-t,CQ=4t,BQ=10-4t, ∴10-t=10-4t, 3t=0, t=0; 當(dāng) 52

17、0, ∴10-t=4t-10. 解得:t=4; 當(dāng) 5

18、∠GAE=∠CAE,AE=AE,∠AEG=∠AEC, ∴△AGE≌△ACEASA. ∴GE=EC. ∵BD=CD, ∴DE 為 △CGB 的中位線, ∴DE∥AB. ∵EF∥BC, ∴ 四邊形 BDEF 是平行四邊形. (2) BF=12AB-AC. 理由如下: ∵ 四邊形 BDEF 是平行四邊形, ∴BF=DE. ∵D 、 E 分別是 BC 、 GC 的中點(diǎn), ∴BF=DE=12BG. ∵△AGE≌△ACE, ∴AG=AC, ∴BF=12AB-AG=12AB-AC. 11. 【答案】 (1) ∵ 點(diǎn) D,E,F(xiàn) 分

19、別是 AB,BC,CA 的中點(diǎn), ∴DE,EF 都是 △ABC 的中位線, ∴EF∥AB,DE∥AC, ∴ 四邊形 ADEF 是平行四邊形. (2) ∵ 四邊形 ADEF 是平行四邊形, ∴∠DEF=∠BAC, ∵D,F(xiàn) 分別是 AB,CA 的中點(diǎn),AH 是邊 BC 上的高, ∴DH=AD,F(xiàn)H=AF, ∴∠DAH=∠DHA,∠FAH=∠FHA, ∵∠DAH+∠FAH=∠BAC,∠DHA+∠FHA=∠DHF, ∴∠DHF=∠BAC, ∴∠DHF=∠DEF. ∵∠AHF=20°,∠AHD=50°, ∴∠DEF=∠DHF=∠AHF+∠AHD

20、=20°+50°=70°. 12. 【答案】 (1) 答圖略,連接 BD,取 BD 的中點(diǎn) H,連接 EH,F(xiàn)H, ∵E,H 分別是 AD,BD 的中點(diǎn), ∴EH∥AB,EH=12AB, ∴∠BME=∠HEF, ∵F,H 分別是 BC,BD 的中點(diǎn), ∴FH∥CD,F(xiàn)H=12CD, ∴∠CNE=∠HFE, ∵AB=CD, ∴HE=FH, ∴∠HEF=∠HFE, ∴∠BME=∠CNE. (2) 答圖略,連接 BD,取 BD 的中點(diǎn) H,連接 EH,F(xiàn)H, ∵E,F(xiàn) 分別是 AD,BC 的中點(diǎn), ∴EH=12AB,F(xiàn)H=12CD,

21、FH∥AC, ∴∠HFE=∠FEC=45°, ∵AB=CD=2, ∴HF=HE=1, ∴∠HEF=∠HFE=45°, ∴∠EHF=180°-∠HFE-∠HEF=90°, ∴EF=HE2+HF2=12+12=2. 13. 【答案】D 【解析】因?yàn)?AC=4?cm,若 △ADC 的周長為 13?cm, 所以 AD+DC=13-4=9(cm). 又因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形, 所以 AB=CD,AD=BC, 所以平行四邊形的周長為 2AB+BC=18?cm. 14. 【答案】A 【解析】 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴BC=A

22、D=9,CD=AB=6,AD∥BC, ∴∠DAE=∠AEB, ∵AE 平分 ∠BAD, ∴∠DAE=∠BAE, ∴∠BAE=∠BEA, ∴BE=AB=6, ∴EC=BC-BE=3, ∵BG⊥AE, ∴AG=EG=AB2-BG2=62-422=2, ∴AE=AG+EG=4, ∴ 梯形 AECD 的周長為:AD+CD+CE+AE=9+6+3+4=22. 15. 【答案】B 16. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴∠DAB=∠BCD, ∴∠EAM=∠FCN. ∵AD∥BC, ∴∠E=∠F. ∵A

23、E=CF, ∴△AEM≌△CFN. (2) 由(1)得 AM=CN, ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AB∥CD 且 AB=CD, ∴BM∥DN 且 BM=DN, ∴ 四邊形 BMDN 是平行四邊形. 17. 【答案】 AB 或 CD; 與 AF 相等的有 AB 或 CD. ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠FAE=∠D, ∵E 是 AD 的中點(diǎn), ∴AE=DE, 在 △AEF 和 △DEC 中,∠FAE=∠D,AE=DE,∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DECASA, ∴AF=C

24、D, ∴AF=CD=AB. 18. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AD∥BC,AB∥CD, ∴∠AEB=∠CBF,∠ABE=∠F=20°, ∵∠ABC 的平分線交 AD 于點(diǎn) E, ∴∠ABE=∠CBF, ∴∠AEB=∠ABE=20°, ∴AE=AB,∠A=180°-20°-20°÷2=140°. (2) ∵AE=AB=5,AD=BC=8, ∴DE=AD-AE=3, ∵CE⊥AD,CD=AB=5, ∴CE=CD2-DE2=52-32=4, ∴ 平行四邊形 ABCD 的面積為 AD?CE=8×4=32.

25、 19. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABE=∠CDF, ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°, 在 △AEB 和 △CFD 中, ∠ABE=∠CDF,∠AEB=∠CFD,AB=CD, ∴△AEB≌△CFDAAS, ∴AE=CF, ∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形. (2) 在 Rt△ABE 中, ∵AB=6,∠ABE=30°, ∴AE=12AB=3,BE=3AE=33, 在 Rt△ADE 中,DE=AD2-AE2=53, ∵△AEB≌

26、△CFD, ∴BE=DF=33, ∴EF=23, ∴S平行四邊形AECF=2?S△AEF=2×12×3×23=63. 20. 【答案】 (1) 答圖略,延長 AF,AG,與直線 B 相交于 M,N, ∵AF⊥BD,∠ABF=∠MBF, ∴∠BAF=∠BMF, ∴MB=AB, ∴AF=MF, 同理:CN=AC,AG=NG, ∴FG=12MN=12BM+CN-BC=12AB+AC-BC, ∴ 線段 FG 與 △ABC 三邊的數(shù)量關(guān)系是 FG=12AB+AC-BC; (2) 答圖略,延長 AF,AG,與直線 BC 相交于 M,N, 同樣由(1)

27、中可知,MB=AB,AF=MF,CN=AC,AG=NG, ∴FG=12MN=12CN+BC-BM=12AC+BC-AB, ∴ 線段 FG 與 △ABC 三邊的數(shù)量關(guān)系是 FG=12AC+BC-AB. 21. 【答案】 (1) 4 (2) ①當(dāng) △AOB(或 △COD)為等腰倍邊三角形時(shí), 若 AB 為底,則 AO=BO=16,AC+BD=64; 若 AB 為腰,則 AO 與 BO 其中一條是 8,另一條是 4,AC+BD=24; ②當(dāng) △AOD 或 △COB)為等腰倍邊三角形時(shí), 若 AD 為底,則 AO=DO,四邊形 ABCD 為矩形, 答圖略,作 OE

28、⊥AB 于點(diǎn) E,則 OE=12AD, 設(shè) AD=a,則 OD=OA=2a,OE=12a,BE=AE=12AB=4, 根據(jù)勾股定理,得 42+a22=2a2,解得 a=81515. ∴AC+BD=8a=641515; 若 AD 為腰,答圖略,設(shè) AO=2DO=2a,則 BD=2a, ∴AD=BD=AO=OC=BC=2a, 作 DE⊥AB,CF⊥AB 于點(diǎn) E,F(xiàn), ∴AE=BE=4,△ADE≌△BCFHL, ∴AE=BF=4, 根據(jù)勾股定理,得 AC2-AF2=BC2-BF2=CF2, ∴4a2-122=2a2-42,解得 a=463, ∴AC+BD=6a=86. 綜上,AC+BD 的值為 64 或 24 或 641515 或 86.

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