人教版八下數(shù)學(xué)期末高頻考點6 新定義

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1、 人教版八下數(shù)學(xué) 期末高頻考點6 新定義 1. 通過對《勾股定理》的學(xué)習(xí)，我們知道：如果一個三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形一定是直角三角形．如果我們新定義一種三角形一一兩邊的平方和等于第三邊平方的 2 倍的三角形叫做奇異三角形． (1) 根據(jù)奇異三角形的定義，判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？ ；（填“是”或“不是”） (2) 若某三角形的三邊長分別為 1，7，2，則該三角形是不是奇異三角形？請作出判斷并寫出判斷依據(jù)； (3) 在 Rt△ABC 中，三邊長分別為 a，b，c，且 a2=50，c2=100，則這個三角形是不是奇異三角形？請

2、作出判斷并寫出判斷依據(jù)； (4) 探究：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且 b>a，若 Rt△ABC 是奇異三角形，求 a2:b2:c2． 2. 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點 Aa,b，Bc,d，若點 Tx,y 滿足 x=a+c3，y=b+d3，那么稱點 T 是點 A，B 的三分點． 例如：A-1,5，B7,7，當(dāng)點 Tx,y 滿足 x=-1+73=2，y=5+73=4 時，點 T2,4 是點 A，B 的三分點． (1) 已知點 C-1,8，D1,2，E4,-2，請說明其中一個點是另外兩個點的三分點． (2) 如圖，點 A 的坐標(biāo)

3、為 3,0，點 Bt,2t+3 是直線 l 上任意一點，點 Tx,y 是點 A，B 的三分點． ①試確定 y 與 x 的關(guān)系式. ②若①中的函數(shù)圖象交 y 軸于點 M，直線 l 交 y 軸于點 N，當(dāng)以 M，N，B，T 為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點 B 的坐標(biāo)． ③若直線 AT 與線段 MN 有交點，直接寫出 t 的取值范圍． 3. 我們規(guī)定：經(jīng)過三角形的一個頂點且將三角形的周長分成相等的兩部分的直線叫做該三角形的“等周線”，“等周線”被這個三角形截得的線段叫做該三角形的“等周徑”．例如，等腰三角形底邊上的中線即為它的“等周徑”． (1) 若等邊三角形的“等周徑”長為

4、 3，則它的邊長為 ； (2) 如圖，點 E 為四邊形 ABCD 的邊 AB 上一點，已知 ∠DEC=∠A=∠B，AE=BC，過點 E 作 EF⊥CD 于點 F，求證：直線 EF 為 △DEC 的“等周線”； (3) Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若直線 l 為 △ABC 的“等周線”，請直接寫出 △ABC 的所有“等周徑”長． 4. 如圖①，對于平面內(nèi)的點 A，P，如果將線段 PA 繞點 P 逆時針旋轉(zhuǎn) 90° 能得到線段 PB，就稱點 B 是點 A 關(guān)于點 P 的“旋垂點”． (1) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點 S-3,1 關(guān)于

5、原點 O 的“旋垂點”是 ； (2) 如圖②，∠AOB=90°，OC 平分 ∠AOB，將直角三角板的直角頂點 P 放在 OC 上，兩直角邊分別交 OA，OB 于點 M，N，試說明：點 N 是點 M 關(guān)于點 P 的“旋垂點”； (3) 如圖③，直線 y=kx+3 與 x 軸交于點 P，與 y 軸交于點 Q，點 Q 關(guān)于點 P 的“旋垂點”記為點 Tm,n，若點 P 在 x 軸正半軸上，且 0

6、異三角形． (3) 當(dāng) c 為斜邊時，b2=c2-a2=50，Rt△ABC 不是奇異三角形． 當(dāng) b 為斜邊時，b2=c2+a2=150， ∵50+150=2×100， ∴a2+b2=2c2， ∴Rt△ABC 是奇異三角形． (4) Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2， ∵c>b>a， ∴2c2>b2+a2，2a2

7、 ∵-1+43=1，8-23=2， ∴ 點 D1,2 是點 C，E 的三分點． (2) ① ∵ 點 A 的坐標(biāo)為 3,0，點 Bt,2t+3 是直線 l 上任意一點，點 Tx,y 是點 A，B 的三分點， ∴x=3+t3,y=0+2t+33, ∴y=2x-1． ② ∵y=2x-1 的圖象交 y 軸于點 M，直線 l 交 y 軸于點 N， ∴ 點 M0,-1，點 N0,3， 當(dāng)四邊形 MTBN 是平行四邊形時，BT∥MN， ∵Bt,2t+3，T3+t3,2t+33， ∴t=3+t3， ∴t=32， ∴ 點 B 的坐標(biāo)為 32,6． 當(dāng)四邊形 MTNB

8、 是平行四邊形時， 設(shè) BT 與 MN 交于點 P，則點 P 為 BT 與 MN 的中點， ∴ 點 P0,1， ∵Bt,2t+3，T3+t3,2t+33， ∴t+3+t3=0， ∴t=-34， ∴ 點 B-34,32， 綜上所述，點 B 的坐標(biāo)為 32,6 或 -34,32． ③ -3≤t≤1． 【解析】 (2) ③當(dāng)直線 AT 過點 M 時， ∵ 點 A3,0，點 M0,-1， ∴ 直線 AM 的函數(shù)解析式為 y=13x-1， ∵ 點 T 在直線 AM 上， ∴2t+33=13×3+t3-1， ∴t=-3， 當(dāng)直線 AT 過點 N 時，

9、 ∵ 點 A3,0，點 N0,3， ∴ 直線 AN 的函數(shù)解析式為 y=-x+3， ∵ 點 T 在直線 AN 上， ∴2t+33=-3+t3+3， ∴t=1， ∵ 直線 AT 與線段 MN 有交點， ∴-3≤t≤1． 3. 【答案】 (1) 2 (2) ∵∠DEB=∠DEC+∠CEB=∠A+∠ADE，∠DEC=∠A=∠B， ∴∠ADE=∠CEB， ∵∠A=∠B，AE=BC， ∴△DAE≌△EBCAAS， ∴DE=EC， ∵EF⊥CD， ∴DF=FC， ∴ 直線 EF 為 △DEC 的“等周線”． (3) 655

10、或 25 或 32． 【解析】 (3) 如答圖①，當(dāng)“等周線”經(jīng)過點 C 時，直線 l 交 AB 于點 E， 設(shè) BE=x，則 AE=5-x．作 CH⊥AB 于點 H． 由題意得 3+x=4+5-x，解得 x=3， ∵CH=BC?ACAB=125， ∴BH=BC2-CH2=95， ∴EH=3-95=65， 在 Rt△ECH 中，CE=CH2+EH2=655， ∴“等周徑”長為 655． 如答圖②，當(dāng)“等周線”經(jīng)過點 A 時，直線 l 交 BC 于點 E， 設(shè) BE=x，則 CE=3-x． 由題意得 4+3-x=5+x，解得 x=1， ∴EC=2， 在 R

11、t△ACE 中，AE=EC2+AC2=25， ∴“等周徑”長為 25． 如答圖③，當(dāng)“等周線”經(jīng)過點 B 時，直線 l 交 AC 于點 E， 設(shè) AE=x，則 CE=4-x． 由題意得 3+4-x=5+x，解得 x=1， ∴CE=3， 在 Rt△BCE 中，BE=BC2+CE2=32， ∴“等周徑”長為 32． 綜上所述，滿足條件的“等周徑”長為 655 或 25 或 32． 4. 【答案】 (1) -1,-3 (2) 如答圖①，過點 P 作 PG⊥OA 于點 G，作 PH⊥OB 于點 H． ∵OC 平分 ∠AOB， ∴PG=PH． ∵

12、∠AOB=∠PGO=∠PHO=90°， ∴∠GPH=90°， ∵∠MPN=90°， ∴∠GPM=∠HPN， ∴△PGM≌△PHNASA， ∴PM=PN， ∴ 點 N 是點 M 關(guān)于點 P 的“旋垂點”． (3) ∵ 點 Q 關(guān)于點 P 的“旋垂點”記為點 Tm,n， ∴PQ⊥PT，PQ=PT． 如答圖②，過點 T 作 TE⊥x 軸于點 E． 當(dāng) x=0 時，y=3，當(dāng) y=0 時，kx+3=0，x=-3k， ∴Q0,3，P-3k,0， ∴OQ=3，OP=-3kk<0， 由（1）同理得 △QOP≌△PETAAS， ∴PE=OQ=3， ∴OP=3-OE=3--m=3+m， ∴m=OP-3， ∵0