2020年高中物理競賽名校沖刺講義設(shè)計-第八章 機械振動第六節(jié) 阻尼振動 受迫振動 共振

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1、 2020?高中物理競賽 江蘇省蘇州高級中學(xué)競賽講義 第八章?機械振動 §8.6?阻尼振動 一、阻尼振動 振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動 阻尼(damp)：消耗振動系統(tǒng)能量的原因。 阻尼種類： 摩擦阻尼 輻射阻尼 1?阻尼振動的振動方程和表達(dá)式 1）阻力 對在流體(液體、氣體)中運動的物體，當(dāng)物體速度較小時，阻力?μ?速度。 d?t 阻尼力 F?=?-?g?v?=?g?d?x r 式中g(shù)?：阻力系數(shù) 2）振動方程 討論在阻力作

2、用下的彈簧振子 kx 受力：彈性恢復(fù)力?–?和阻力?-g?v 則有振動方程 dx d?2?x -kx?-?g =?m dt dt?2 引入阻尼系數(shù) b?=?g?/2m?和固有頻率?w  0?=  k m dt?2 dt 得阻尼振動(damped?vibration)的微分方程 d?2?x dx +?2b +?w2?x?=?0 0 x 當(dāng)阻尼系數(shù)

3、較小,系統(tǒng)作阻尼振動，這時微分方程的 解為 A O  Ae??-?b?t Ae?-?b?t?cos?w?t t (j=?0) T A x?=?Ae?-?bt?cos(?w?t?+?j?) w2?=?w?2?+?b?2 0 ·此方程的解應(yīng)分三種情形討論： b?2??w2?稱作過阻尼(overdamping) 阻尼振動曲線 b?2?=?w2?稱作臨界阻尼(critical?damping?)

4、欠阻尼 過阻尼 o 臨界阻尼 三種阻尼比較 二、受迫振動(forced?vibration) 系統(tǒng)在周期性外力的作用下所進(jìn)行的振動，稱為受迫振動。 1.系統(tǒng)受力：以彈簧振子為例， 彈性力 -kx 阻尼力 -g?v 周期性驅(qū)動力?f?=?F0?cosw?t  t dt?????????????? dt?2 2.振動方程：由牛頓定律有 dx??????????????d?2?x -?kx?-?g???+?F?cos?ω?t?=?m p w 0?= k m 令

5、 2b?=?g?m f?=?F?m 得微分方程 d?t?2?????? d?t d?2?x d?x +?2?b +?w?2?x?=?f?cos?ω?t 0 p 3?解： x?=?A?e?-?bt?cos(?wt?+?j?)?+?A?cos?(w?t?+?f 0?p  p ) 在驅(qū)動力開始作用時，受迫振動的情況是較為復(fù)雜的，但經(jīng)過不太長時間后，受 迫振動達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)。受迫振動達(dá)到穩(wěn)定振動狀態(tài)?,其運動方程稱為其穩(wěn)態(tài) x?=?A?cos?(w?t?+?f p  p )

6、 解 4?特點：穩(wěn)態(tài)時的受迫振動是簡諧振動，但它不是無阻尼自由諧振動。 (1)角頻率：等于驅(qū)動力的角頻率?wp (2)振幅：·系統(tǒng)作等幅振動(雖有阻力消耗能量，但同時有驅(qū)動力作功對系統(tǒng)輸入 能量，系統(tǒng)仍可維持等幅振動)。 其振幅由系統(tǒng)參數(shù)(w0)、阻尼(b)、驅(qū)動力(F,w?p)共同決定。 f A?= m (w?2?-?w?2?)?+?4b?2w?2 0 p p A?的大小敏感于w和w0?的相對大小關(guān)系，而和初始條件(x0、u0)無關(guān)。 (3)初相：亦決定于w0、b、和w，與初始條件無關(guān)。 tan?j?= -?2?bw?p w?2

7、?-?w?2 0 p j?值在-p?~?0?之間。可見，位移?x?落后于驅(qū)動力?f?的變化(?f?的初相為零)。 練習(xí)：請將無阻尼自由諧振動和穩(wěn)態(tài)受迫振動作一對比。 三、共振（resonance） 位移共振：當(dāng)驅(qū)動力的角頻率?w?等于某個適當(dāng)數(shù)值?(稱共振角頻率)時，振幅 出現(xiàn)極大值、振動很劇烈的現(xiàn)象。 速度共振：當(dāng)驅(qū)動力的角頻率正好等于系統(tǒng)的固有角頻率時，速度幅wA?達(dá)極 大值的現(xiàn)象。 dt?2 dt 1?共振方程  d?2?x????dx +?2b??+?w?2?x?=?f?cos?w?t 0?p  A 共振頻率 共振振幅  A?= r  f 2d?w2?-?b?2 0 小阻尼 阻尼  ??0 大阻尼 o w0??????????A 共振角頻率 w?=?w2?-?2b?2 r?0