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1、第三節(jié) 分部積分法
分布圖示
★ 分部積分公式 ★ 幾點說明
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12
★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16
★ 例17 ★ 例18
★ 分部積分的列表法
★ 例19 ★ 例20 ★ 例21 ★ 例22
★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習
★ 習題4-3
內(nèi)容要點
分部積分公式：
(3.1)
2、 (3.2)
分部積分法實質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(或微分)的逆運算. 一般地, 下列類型的被積函數(shù)常考慮應(yīng)用分部積分法(其中m, n都是正整數(shù)).
例題選講
例1 (E01) 求不定積分 .
解一 令
顯然, 選擇不當，積分更難進行.
解二 令
例2 (E02) 求不定積分 .
解
注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)的乘積, 可設(shè)冪函數(shù)為u, 而將其余部分湊微分進入微分號, 使得應(yīng)用分部積分公式后, 冪函數(shù)的冪次降低一次.
例3 (E03) 求不定積分 .
解
3、令
例4 (E04) 求不定積分 .
解 令
注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積, 可設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u, 而將冪函數(shù)湊微分進入微分號, 使得應(yīng)用分部積分公式后, 對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失.
例5 (E05) 求不定積分.
解
注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積,u, dv可隨意選取, 但在兩次分部積分中, 必須選用同類型的u, 以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式, 從而解出所求積分.
例6 (E06) 求不定積分.
解
靈活應(yīng)用分部積分法,可以解決許多不定積分的計算問
4、題. 下面再舉一些例子,請讀者悉心體會其解題方法.
例7 (E07) 求不定積分 .
解
由于上式右端的第三項就是所求的積分把它移到等號左端去，再兩端各除以2，便得
例8 求不定積分
解
例9 求不定積分
解
原式
例10 (E08) 求不定積分.
解 令則于是
例11 求不定積分.
解 令則
例12 求
解法 1 先分部積分，后換元.設(shè)則
于是
再設(shè)則于是
代入上式, 得
解法 2 先換元, 后分部積分.設(shè)則
再設(shè)則
例
5、13 求不定積分
解 令則于是
原式
其中
例14 (E09) 求不定積分, 其中n為正整數(shù).
解 用分部積分法，當時有
即
于是
以此作遞推公式，并由即可得
例15 (E10) 已知的一個原函數(shù)是, 求.
解
根據(jù)題意再注意到
兩邊同時對求導(dǎo)，得
例16 求不定積分
解 先折成兩個不定積分，再利用分部積分法.
原式
例17 求不定積分
解
例18 求不定積分.
解 選于是
注: 本題選比選更能使解題方便.
例19 計算不定積分
解 不
6、易求積分，只能放在左列，而放在右列,列表如下:
例20 計算不定積分
解 可看作乘積形式將放在左列,1放在右列，列表如下:
例21 計算不定積分
解 函數(shù)和都是易求原函數(shù)的函數(shù),都可放右列，但考慮到左列的函數(shù)應(yīng)是求導(dǎo)后逐漸簡單的，故放左列, 放右列列表如下:
例22 計算不定積分.
解 函數(shù)都是易求原函數(shù)的函數(shù)，且它們的導(dǎo)函數(shù)分別是穩(wěn)定的和(或)形式，故它們的左右位置可隨意選取.例如選取為左, 為右, 可得
，
移項得
課堂練習
1. 求不定積分
2. 求不定積分.
03 第三節(jié) 分部積分法
