(浙江專版)2019版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和課件 理.ppt

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1、第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和,最新考綱1.理解等差數(shù)列的概念;2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式; 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決 相應的問題;4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.,1.等差數(shù)列的概念,(1)如果一個數(shù)列從第____項起,每一項與它的前一項的差等于______________,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的________,公差通常用字母d表示. 數(shù)學語言表達式:an1and(nN*,d為常數(shù)),或anan1d(n2,d為常數(shù)).,知 識 梳 理,2,同一個常數(shù),公差,2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式,(1)若

2、等差數(shù)列an的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an________________. 通項公式的推廣:anam____________ (m,nN*). (2)等差數(shù)列的前n項和公式,a1(n1)d,(nm)d,3.等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn是an的前n項和. (1)若mnpq(m,n,p,qN*),則有amanapaq. (2)等差數(shù)列an的單調(diào)性:當d0時,an是_______數(shù)列;當d0時,an是________數(shù)列;當d0時,an是__________. (3)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差為_____的等差數(shù)列.

3、(4)數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差數(shù)列.,遞增,遞減,常數(shù)列,md,5.等差數(shù)列的前n項和的最值,在等差數(shù)列an中,a10,d0,則Sn存在最_____值;若a10,d0,則Sn存在最______值.,大,小,常用結(jié)論與微點提醒,1.用定義法證明等差數(shù)列應注意“從第2項起”,如證明了an1and(n2)時,應注意驗證a2a1是否等于d,若a2a1d,則數(shù)列an不為等差數(shù)列. 2.利用二次函數(shù)性質(zhì)求等差數(shù)列前n項和最值時,一定要注意自變量n是正整數(shù).,診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”),(1)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*,都有2an1anan2.(

4、) (2)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的.() (3)已知數(shù)列an的通項公式是anpnq(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列.() (4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).() (5)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).(),解析(4)若公差d0,則通項公式不是n的一次函數(shù). (5)若公差d0,則前n項和不是二次函數(shù). 答案(1)(2)(3)(4)(5),2.在等差數(shù)列an中,若a24,a42,則a6等于() A.1 B.0 C.1 D.6 解析由等差數(shù)列的性質(zhì),得a62a4a22240,選B. 答案B,3.(2017全國卷)記Sn為等差數(shù)列an

5、的前n項和.若a4a524,S648,則an的公差為() A.1 B.2 C.4 D.8,答案C,解析由題意知,a1a17,又因為d0,所以a1a17,故a18d,a90,ana1(n1)d(n9)d,當an0時,n9,所以當n8或9時,Sn取最大值. 答案A,5.(必修5P68A8改編)在等差數(shù)列an中,若a3a4a5a6a7450,則a2a8________. 解析由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3a4a5a6a75a5450,a590,a2a82a5180. 答案180,6.(2018湖州調(diào)研)設等差數(shù)列an的公差是d,前n項和是Sn.若a11,a59,則公差d______,Sn______.,答

6、案2n2,考點一等差數(shù)列基本量的運算,【例1】 (1)(2016全國卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a108,則a100() A.100 B.99 C.98 D.97,(2)(2017全國卷)等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項的和為() A.24 B.3 C.3 D.8,答案(1)C(2)A,規(guī)律方法(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題. (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用,而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知和未知

7、是常用方法.,【訓練1】 (1)(一題多解)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S36,S412,則S6________. (2)(2015浙江卷)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1a21,則a1________,d________.,解析(1)法一設數(shù)列an的首項為a1,公差為d,由S36,,即S66a115d30.,考點二等差數(shù)列的判定與證明(變式遷移),(1)證明當n2時,anSnSn1且Sn(Snan)2an0. SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0, 即SnSn12(SnSn1)0.,規(guī)律方法等差數(shù)列的四種判斷方法: (1)定義法:對于n2的任意

8、自然數(shù),驗證anan1為同一常數(shù). (2)等差中項法:驗證2an1anan2(n3,nN*)都成立. (3)通項公式法:驗證anpnq. (4)前n項和公式法:驗證SnAn2Bn.后兩種方法只能用來判斷是否為等差數(shù)列,而不能用來證明等差數(shù)列,主要適合在選擇題中簡單判斷.,【訓練2】 (2017江蘇卷)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列an滿足:ankank1an1an1ank1ank2kan,對任意正整數(shù)n(nk)總成立,則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”. (1)證明:等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”; (2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:an是等差數(shù)列.,證明(1)因為an

9、是等差數(shù)列,設其公差為d, 則ana1(n1)d, 從而,當n4時, ankanka1(nk1)da1(nk1)d 2a12(n1)d2an,k1,2,3, 所以an3an2an1an1an2an36an, 因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”.,(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,因此, 當n3時,an2an1an1an24an, 當n4時,an3an2an1an1an2an36an. 由知,an3an24an1(anan1), an2an34an1(an1an). 將代入,得an1an12an,其中n4, 所以a3,a4,a5,是等差數(shù)列,設其公差為d. 在中,取n4,

10、則a2a3a5a64a4,所以a2a3d, 在中,取n3,則a1a2a4a54a3,所以a1a32d, 所以數(shù)列an是等差數(shù)列.,考點三等差數(shù)列的性質(zhì)及應用,【例3】 (1)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a1a3a53,則S5() A.5 B.7 C.9 D.11,答案(1)A(2)A(3)4 034,【訓練3】 (1)若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390,則這個數(shù)列的項數(shù)為() A.13 B.12 C.11 D.10 (2)在等差數(shù)列an中,若a3a4a5a6a725,則a2a8________. 解析(1)因為a1a2a334,an2an1an14

11、6, a1a2a3an2an1an34146180, 又因為a1ana2an1a3an2, 所以3(a1an)180,從而a1an60,,(2)因為an是等差數(shù)列,所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525,即a55,a2a82a510. 答案(1)A(2)10,考點四等差數(shù)列前n項和及其最值,【例4】 (1)(一題多解)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a113,S3S11,當Sn最大時,n的值是() A.5 B.6 C.7 D.8 (2)設數(shù)列an的通項公式為an2n10(nN*),則|a1||a2||a15|________.,解析(1)法一由S3S11,得a4a

12、5a110,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7a80.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減,從而得到a70,a8<0,故n7時Sn最大.,法二由S3S11,可得3a13d11a155d,把a113代入,得d2,故Sn13nn(n1)n214n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),知當n7時Sn最大. (2)由an2n10(nN*)知an是以8為首項,2為公差的等差數(shù)列,又由an2n100得n5,n5時,an0,當n5時,an0,|a1||a2||a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130. 答案(1)C(2)130,規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項和的最值,常用的方法:(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉(zhuǎn)折項; (2)利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項,便可求得和的最值; (3)將等差數(shù)列的前n項和SnAn2Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.,答案(1)B(2)C,

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