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1、1,第五章 矩陣的相似標準型,第一節(jié) 特征值與特征向量 第二節(jié) 相似矩陣 第三節(jié) 矩陣的對角化 第四節(jié) 實對稱矩陣的對角化,2,第一節(jié) 特征值與特征向量,一 特征值與特征向量的概念,二特征值與特征向量的計算,三特征值與特征向量的性質(zhì),3,一特征值與特征向量的概念,定義：,設(shè)A 是數(shù)域P 上一個n 階方陣，如果,存在數(shù)域P 中數(shù) 和n 維非零列向量 ,使得,特征值 的特征向量,則稱 為矩陣A 的特征值， 稱為A 的屬于,在幾何中，在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等,的問題. 于是我們抽象出下述概念.,學(xué)科中，都會提出是否有向量 滿足,4,如:設(shè),因此，2是A 的一個特征值， 是A的屬于,由于,特征值2
2、的一個特征向量,因此，-3是A 的一個特征值， 是A的屬于,特征值-3的一個特征向量,又,5, 方陣A可以有有限個不同的特征值, A的屬于同一個特征值的特征向量有無窮 多個(且加上0向量構(gòu)成向量空間即特征子空間),說明：,若,則對于,的特征向量。,若,則,的特征向量。,6,幾何意義：,若把矩陣看成變換，其特征向量,就是在該變換下保持不變或伸長(縮短)的向量，,特征向量對應(yīng)的特征值就是伸縮系數(shù)。,A來表示：,易知，坐標軸上的向量(a,0)T,(0,b)T (a,b0),是A的特征向量，對應(yīng)的特征值是1，-1。,7,可用下述矩陣A來表示：,由于任一非零向量在該變換下都不會變成它的,倍數(shù)，因此A沒有
3、特征值和特征向量。,問題：,如何判斷數(shù)域P上的n階矩陣是否有特征,值和特征向量？若有的話，如何求A的全部特,征值和特征向量？,8,是A 的屬于特征值 的特征向量,分析：,二特征值與特征向量存在性的判斷與計算,9,定義：,則,稱為A的特征多項式,即,10,定理1,,設(shè)A 是數(shù)域P 上一個n 階方陣，則,是A的一個特征值是A的特征方程,,在數(shù)域P 上的一個根,是A的屬于特征值的特征向量,說明：,(1)判斷A是否有特征值就是判斷A的特征方程,在數(shù)域P 上是否有根,(2)求A的屬于特征值的全部特征向量就是求,11, 求A 的全部特征值及特征向量的方法：,全部根,的全部特征值；,1. 計算A的特征多項
4、式,3. 對于A 的每一個特征值 , 求出齊次線性,則A的屬于 的全部特征向量為,不全為零,12,例1 求如下矩陣的特征值和特征向量.,(1)求特征值.,則A的全部特征值為,解：,A的特征方程為,(2)求特征向量, 即,13,對于特征值 解齊次線性方程組,對系數(shù)矩陣做初等行變換：,14,一個基礎(chǔ)解系是,則A的屬于 的全部特征向量是,(c1為不等于零任意常數(shù)),一般解是,15,對于特征值 解齊次線性方程組,對系數(shù)矩陣做出等行變換：,16,一個基礎(chǔ)解系是,(c2, c3為不全為零任意常數(shù)).,一般解是,則A的屬于 的全部特征向量是,17,例 求如下矩陣的特征值和特征向量.,A
5、的全部特征值為,解：,A的特征方程是,實數(shù)域上的矩陣A沒有特征值,復(fù)數(shù)域上的矩陣,18,對于特征值 求出齊次線性方程組,基礎(chǔ)解系為,則A的屬于 的全部特征向量是,(c1為不等于零任意常數(shù)),19,對于特征值 求出齊次線性方程組,基礎(chǔ)解系為,則A的屬于 的全部特征向量是,(c2為不等于零任意常數(shù)),問題：對角矩陣(上、下三角陣)的特征值是 什么？,答案：主對角線元素,20,（1）屬于矩陣A的每一個特征值的特征向量加上 零向量構(gòu)成向量空間，稱為A的特征子空間。,說明幾個概念和結(jié)論：,（2）把特征值 在特征多項式中的重數(shù)稱為 的代數(shù)重數(shù)；把屬于 的特征子空間的維數(shù)稱 為 的
6、幾何重數(shù)。,（3）對于每一個特征值而言，它的幾何重數(shù)總 不大于它的代數(shù)重數(shù)。,21,三特征值與特征向量的性質(zhì),特征值為,，則,22,則 ,,n 階方陣A的跡：,n 階方陣A的主對角元素之,和稱為A的跡，記作 tr(A), 即,性質(zhì)1,設(shè) 的特征值為,行列式的另一種計算法,,23,性質(zhì)2,復(fù)特征值.,復(fù)數(shù)域上的任意n 階方陣A必有n 個,全不為零.,n 階方陣A 可逆,A的n 個特征值,性質(zhì)3,例3,的一個特征值.,證明：,已知 是A的一個特征值，則 是 kA, 是A的特征值,, 存在非零向量,使得 成立，,24,證：, 是A的特征值,, 存在非零向量,使得 成立，,試證：
7、 是A-1的特征值.,例4 A 是n 階可逆矩陣， 是A的特征值，,(書P163例5.1.4),25,解：, 是A的特征值,,練習(xí)：,若A可逆,且 是A的一個特征值, 則,答案:,個特征值是（）,26,例5 設(shè) 是 n 階方陣A的特征值，證明,是A2的特征值.,證：,是A2的特征值.,,,易知，是的特征值。,例6,已知A的n個特征值是,求 3E-A的特征值.,(書P163例5.1.5),27,解：,矩陣3E-A的特征多項式,3E-A的n個特征值是,易知，,A+3E的n個特征值是,28,練習(xí) 設(shè) 是 n 階方陣A的特征值，則有,A2+4E必有特征值（ ）.,性質(zhì)4,從以上例子可以得出,則 必是f(A)的特征值。,A2+3A必有特征值（ ）.,A2+3A+4E必有特征值（ ）.,A5+3A3+2A+E必有特征值（ ）.,29,例7,(冪等矩陣：若A2=A，則稱A為冪等矩陣),若A 是冪等矩陣，證明A的特征值,只能是0或1,證：,30,例8,證明 n 階方陣A 與其轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同,的特征值.,（要證A 與AT有相同的特征值，只要證,A 與AT有相同的特征多項式即可）, A 與其轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值.,證：,31,例9,已知3階方陣A的特征值為-2,1,-1,求,的特征值是,解：,32,作 業(yè),P177 9 (1) (3) (4) 10 11,
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