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1、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
一. 本周教學(xué)內(nèi)容:二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
?二、本周學(xué)習(xí)目標(biāo)
掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì),能夠確定二次函數(shù)的表達式,并能夠?qū)D像進行分析
? 1. 與之間關(guān)系,()
? 2.
頂點坐標(biāo)?????????????????????????????????? 對稱軸
?????? ?????????????????????? (0,0)?????????????????????????????????? y軸
?????? ???????????????? (0,k)?????????????????????????????????? y軸
??????
2、?????????????? (h,0)?????????????????????????????????? 直線x=h
?????? ??????? (h,k)?????????????????????????????????? 直線x=h。
? 3. 二次函數(shù)頂點坐標(biāo)(,),對稱軸是直線。
? 4. 二次函數(shù)圖象的畫法。
?????? (1)通過配方法,將一般式化為形式;
?????? (2)確定拋物線的開口方向,對稱軸,頂點坐標(biāo);
?????? (3)在對稱軸兩側(cè),以頂點為中心,左右兩側(cè)對稱描點。
? 5. 求二次函數(shù)解析式。
?????? (1)一般式:
??????
3、 (2)頂點式:
?????? (3)交點式:,其中(,0),(,0)分別為拋物線與x軸的兩個交點。
?????? (4)對稱點式:,其中(),()為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點。
6. 拋物線中,的作用
(1)決定開口方向及開口大小,這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線
,故:①時,對稱軸為軸;②(即、同號)時,對稱軸在軸左側(cè);③(即、異號)時,對稱軸在軸右側(cè).
(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當(dāng)時,,∴拋物線與軸有且只有一個交點(0,):
①,拋物線經(jīng)過原點; ②,與軸交于正半軸;③,與軸交于負半軸.
以上三點中,當(dāng)
4、結(jié)論和條件互換時,仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè),則 .
?
三、考點分析
二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、確定二次函數(shù)的表達式、確定二次函數(shù)圖像特征,這三點在中考考點中均是要求學(xué)生能夠熟練掌握的內(nèi)容。
?
【典型例題】
例1. 已知拋物線。
?????? (1)求拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo);
?????? (2)求拋物線與軸、軸的交點坐標(biāo);
?????? (3)畫出函數(shù)圖象(草圖);
?????? (4)根據(jù)圖象說出:x為何值時,y隨x增大而增大?x為何值時y隨x增大而減小?函數(shù)y有最大值還是最小值?最值是多少?
?????? 分析:通過配方或利用頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐
5、標(biāo)和對稱軸,再利用五點作圖,并根據(jù)圖象回答增減性及最值。
?????? 解:(1)配方:得
?????? ∵??????? ∴拋物線開口向下
?????? 對稱軸:????????? 頂點坐標(biāo)是(,2)
?????? (2)令即,
得,。
∴它與x軸的交點坐標(biāo)為(,0),(,0)
再令即
∴它與y軸交點坐標(biāo)為(0,)
(3)∵頂點A(,2),對稱軸,與x軸交點為B(,0),C(,0)
與y軸交點D(0,)。D關(guān)于對稱軸的對稱點E(,),將E、B、A、C、D這5點連接成光滑曲線,即得拋物線圖象。
(4)從圖象可知,當(dāng)時,隨x增大而增大。
當(dāng)時,隨x增大而減小。
∵拋
6、物線開口向下,∴頂點A為最高點,函數(shù)有最大值即當(dāng)時,=2。
點撥:(1)五點作圖法是畫二次函數(shù)圖象的簡易作圖法,這五點是拋物線的五個特征點:即頂點,與x軸的兩個交點,與y軸的交點及該交點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點。
(2)有時候函數(shù)與x軸沒有交點,則選取作圖點的時候要考慮拋物線的對稱性,以對稱軸為中心對稱取點。
?
例2. 已知拋物線y=ax+bx+c的頂點是A(-1,4)且經(jīng)過點(1,2)求其解析式。
分析:此類題型可設(shè)頂點坐標(biāo)為(m,k),故解析式為y=a(x-m)+k.在本題中可設(shè)y=a(x+1)+4,再將點(1,2)代入求得a=-
∴y=-
即y=-
由于題中只有一個待定
7、的系數(shù)a,將已知點代入即可求出,進而得到要求的解析式。
?
例3. 如圖所示,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B、C三點。
(1)觀察圖像,寫出A、B、C三點的坐標(biāo),并求出函數(shù)的解析式;
(2)求此拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸。
分析:求函數(shù)解析式時,我們要注意考慮函數(shù)表達式的三種一般形式,并能夠根據(jù)題目條件來選取合適的表達式來求解。頂點坐標(biāo)和對稱軸則可以用相應(yīng)的公式來求解。
解:(1)A(,0),B(3,0),C(0,),將三點坐標(biāo)代入,
得????? 解得
∴二次函數(shù)的解析式為。
(2)∵,
,
∴頂點坐標(biāo)為,對稱軸為直線。
點撥:當(dāng)給出拋物線y=ax+bx+c上的三點時,可
8、采取列方程組,求出a、b、c的值,即可求出函數(shù)的解析式。
對于本題來說,我們還可以發(fā)現(xiàn)A、B兩點是圖像與x軸的交點,本題也可以采用交點式來求解,而且解法要比一般式要簡單。
?
【模擬試題】(答題時間:30分鐘)
1. 二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移3個單位,得到新的圖象的函數(shù)表達式是(? )
A. y=x2+3?????????????????? B. y=x2-3????????????????? C. y=(x+3)2??????????? D. y=(x-3)2
2. 二次函數(shù)y=-(x-1)2+3圖像的頂點坐標(biāo)是(? )
A. (-1,3)????????????????
9、??? B. (1,3)??????????????? C. (-1,-3)??????????????? D. (1,-3)
3. 二次函數(shù)y=x2+x-6的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是(? )
A. 2和-3 ????????????????? B. -2和3 ???????????????? C. 2和3 ???????????????????? D. -2和-3
4. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a>0;②c>0;③b2-4ac>0,其中正確的個數(shù)是(? )
A. 0個???????????????????????? B. 1個 ???
10、??????????????????? C. 2個???????????????????????? D. 3個
5. (2006年常德市)根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應(yīng)值,判斷方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))的一個解x的范圍是(? )
??? x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.04
A. 6
11、
C. 6.18
12、個單位,則此時拋物線的解析式是________。
9. (2006年錦州市)已知二次函數(shù)的圖象開口向上,且頂點在y軸的負半軸上,請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達式________。
10. (2006年長春市)函數(shù)y=x2+bx-c的圖象經(jīng)過點(1,2),則b-c的值為______。
11. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象過正方形ABOC的三個頂點A,B,C,則ac的值是________。
12. 觀察下面的表格:
??? x
0
1
2
?? ax2
?
2
?
ax2+bx+c
4
?
6
(1)求a,b,c的
13、值,并在表格內(nèi)的空格中填上正確的數(shù);
(2)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點坐標(biāo)與對稱軸。
13. (2006年南通市)已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A,B,C三點,當(dāng)x≥0時,其圖象如圖所示。
(1)求拋物線的解析式,寫出拋物線的頂點坐標(biāo);
(2)畫出拋物線y=ax2+bx+c當(dāng)x<0時的圖象;
(3)利用拋物線y=ax2+bx+c,寫出x為何值時,y>0。
14. (2006年長春市)如圖,P為拋物線y=x2-x+上對稱軸右側(cè)的一點,且點P在x軸上方,過點P作PA垂直x軸于點A,PB垂直y軸于點B,得到矩形PAOB. 若AP=1,求矩形PAOB的面積。
14、15. (2006年莆田市)枇杷是莆田名果之一。某果園有100棵枇杷樹,每棵平均產(chǎn)量為40千克?,F(xiàn)準(zhǔn)備多種一些枇杷樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹接受的陽光就會減少。根據(jù)實踐經(jīng)驗,每多種一棵樹,投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產(chǎn)量0.25千克。問:增種多少棵枇杷樹,投產(chǎn)后可以使果園枇杷的總產(chǎn)量最多?最多總產(chǎn)量是多少千克?[注:拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)是(-,)
16. (2006年常州市)在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)y=a(x-1)2+k的圖像與x軸相交于點A、B,頂點為C,點D在這個二次函數(shù)圖像的對稱軸上,若四邊形ABCD是一個邊長
15、為2且有一個內(nèi)角為60°的菱形,求此二次函數(shù)的表達式。
【試題答案】
1. D?????????? 2. B??????? 3. A??????? 4. C??????? 5. C??????? 6. C
7. x=-1
8. y=(x+4)2-2(y=x2+8x+14)?
9. 答案不唯一,符合要求即可. 如:y=x2-2?
10. 1?
11. -2?
12. (1)a=2,b=-3,c=4,0,8,3? (2)頂點(,)對稱軸是直線x=
13. (1)y=-x2+x+2,頂點坐標(biāo)(,) (2)略,(3)當(dāng)-10。
14. ∵PA⊥x軸,AP
16、=1,∴點P的縱坐標(biāo)為1。當(dāng)y=1時,x2-x+=1,
即x2-2x-1=0,解得x1=1+,x2=1-,
∵拋物線的對稱軸為x=1,點P在對稱軸的右側(cè),
∴x=1+,∴矩形PAOB的面積為(1+)個平方單位。
15. 設(shè)增種x棵時,果園的總產(chǎn)量為y千克,
根據(jù)題意得:y=(100+x)(40-0.25x)=4000-25x+40x-0.25x2=-0.25x2+15x+4000,
∵a=-0.25<0,
∴當(dāng)x=-=-=30時,y最大,
y最大值===4225。
答:當(dāng)增種30棵枇杷樹時,投產(chǎn)后果園總產(chǎn)量最多,達4225千克.
16. 解:本題共四種情況,設(shè)二次函數(shù)
17、的圖像的對稱軸與x軸相交于點E,
(1)如圖①,
當(dāng)∠CAD=60°時,因為ABCD為菱形,一邊長為2,
所以DE=1,BE=,所以點B的坐標(biāo)為(1+,0),點C的坐標(biāo)為(1,-1),
解得k=-1,a=,所以y=(x-1)2-1。
(2)如圖②,當(dāng)∠ACB=60°時,由菱形性質(zhì)知點A的坐標(biāo)為(0,0),
點C的坐標(biāo)為(1,-),解得k=-,a=,所以y=(x-1)2-,
同理可得:y=-(x-1)2+1,y=-(x-1)2+,
所以符合條件的二次函數(shù)的表達式有:
y=(x-1)2-1,
y=(x-1)2-,
y=-(x-1)2+1,
y=-(x-1)2+。