北京工業(yè)大學線性代數(shù)第三章第四節(jié)平面、空間直線及其方程.ppt

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1、1,第四節(jié) 平面、空間直線及其方程,一平面及其方程 二 空間直線及其方程 三 直線與平面的位置關系,2,一平面及其方程, 平面的點法式方程,如果非零向量垂直于一個平面，,則稱這個向量為該平面的法向量,法向量：,說明：,,則,一個平面的法向量不唯一,任意兩個法 向量共線.,3,,是空間一點，,則過 且以,為法向量的平面是唯一的,,一個平面的法向量與平面內(nèi)任意向量正交.(法向量的特征),4,內(nèi)任意一點，,則,因為,即,所以,,,為平面的,點法式方程。,,5,例1,求過三點,的平面方程,解：,方法一,由點法式方程,所求平面方程為,6,方法二,,,,共面，,所以,即,為所求平面方程。,內(nèi)任意一點，則,

2、7, 平面的一般式方程,由平面的點法式方程,為平面的一般式方程,法向量是,,8,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面方程為,該平面過原點,平面方程為,該平面平行x 軸，法向量,同理，可討論,平面方程為,該平面平行于xy 面，法向量,同理可討論,9, 三個坐標面的方程,xy 面的方程：,法向量,yz 面的方程為：,法向量,xz 面平面方程為：,法向量, 平面的截距式方程,,,,,,為平面的截 距式方程,10,,,,,,,4. 兩平面的夾角,定義,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.,,兩平面夾角余弦公式,（通常取銳角）,11,5. 兩平面位置特征：,,利用線性方程組解的情況進行研究 ,看:,1

3、2,,方程組無解,方程組有解且有一個 多余方程,13,,不對應成比例,線,方程組有解且無多余方程,特別地，,14,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解:,15,設平面為,由平面過原點知,所求平面方程為,解:,16,6. 點到平面的距離,,,,,,,d,點到平面距離公式,17,二 空間直線及其方程, 空間直線的一般方程,,,空間直線可看成兩平面的交線,為空間直線l的一般式方程。,,線 為,18, 空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程,方向向量：,,,如果一非零向量 平行于一條已知直線l ，這個向量稱為這條直線的方向向量,設,為直線l上的一定點，,為直線l 上的任意一點，則,直線的對稱式方程.,,19,其中m ,n , p為直線的方向數(shù)。,令,則有,直線的參數(shù)方程。,,20,例4 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點,取,解得,點坐標,21,因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對稱式方程,參數(shù)方程,22,解,所以交點為,所求直線方程,23,作 業(yè),P116 33 (1)(2)(4) 36 (1)(2)(3) 37 (1),