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1、,,,,CAI使用說明,1、斜體文字 表示有備注供查看,2、加下劃線的變色文字 表示有超鏈接,3、, 表示返回至鏈接來處,,4、, 表示到上一張幻燈片,,5、, 表示到下一張幻燈片,6、, 表示到首頁,,,,,,,中學(xué)物理奧賽解題研究,第七專題 萬有引力定律與天體運動,解題知識與方法研究,疑難題解答研究,例題3（星球運動的阻力）,例題1（天體軌道的判定）,,,,,例題4（飛船著陸問題）,例題5（飛船和宇航站對接問題）,例題2（利用萬有引力作用下的質(zhì)點 運動求橢圓曲率半徑）,一、對宇宙中復(fù)雜的天體受力運動的 簡化,二、引力問題的基本運動方程,三、行星繞日運動的軌道與能量,例題6（雙星問
2、題）,,一、對宇宙中復(fù)雜的天體受力運動的簡化,（1）天體通常相距很遠，故可將天體處理為質(zhì)點.,（2）很多時候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個是主要的：,b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對很大）在某慣性系中可認為幾乎不動，這 時問題很簡單（我們通常討論的就是這種情況）.,二、引力問題的基本動力學(xué)方程,如圖，行星m在太陽M的有心引力作用下運動.,行星的橫向加速度 等于零.,解題知識與方法研究,,,,,,,,,,,,,此式變化后即得開普勒第二定律：,,,,,,,,,三、天體繞日運動的軌道與能量,,,,,,根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律（角動 量守恒、機械能守恒等）可導(dǎo)出在如
3、圖的極坐標下 的繞日運動的天體的軌道方程：,軌道方程為一圓錐曲線方程：,（1）,（即開普勒第一定律）；,（2）,,,,,（3）,,,,,例1（天體軌道的判定） 如圖，太陽系中星體A做半徑為R1的圓運動，星體B作拋物線運動. B在近日點處與太陽的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運動方向也相同. 設(shè)B運動到近日點時，A恰好運動到B與太陽連線上. A、B隨即發(fā)生某種強烈的相互作用而迅速合并成一個新的星體. 其間的質(zhì)量損失可忽略. 試證明新星體繞太陽的運動軌道為橢圓.,解,計算新星體C的機械能.,所以C到太陽的距離為,研究式中的vA、vB：,因A作圓運動，,,疑難題解答研究,,,,,,
4、所以,利用，C星體的機械能為,因此，新星體C的軌道為橢圓.,,,,,B作拋物線運動，機械能為零.,因而有,例2（利用引力作用下的質(zhì)點運動求橢圓曲率半徑） 行星繞太陽作橢圓運動，已 知軌道半長軸為A，半短軸為B，太陽質(zhì)量記為MS. 試用物理方法求橢圓各定點處的曲率 半徑.,解,行星運動情況如圖.,由圖可知,代入式得,,由 解得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,求頂點1處的曲率半徑1：,將前面得到的v1代入，,求頂點3處的曲率半徑3：,,,將前面得到的v3代入，,,,,,,,即得,,即得,例3（星體運動的阻力）一個質(zhì)量為M、半徑為R的星球以速度V通過質(zhì)量密度為 的非常
5、稀薄的氣體, 由于它的引力場，此星球?qū)⑽娼咏牧Ｗ?，并俘獲撞在它表面上的所有的氣體分子. 設(shè)相對于速度V，分子的熱運動速度可忽略. 分子間的相互作用不計. 求作用在星體上的阻力.,解,為方便研究問題取星球為參照系.,氣體分子的運動及與星球的碰撞如圖所示.,,在橫截面為 的圓柱體內(nèi)的分子 才能與星球相碰.,研究圓截面邊緣上的一個分子：,設(shè)被俘獲前的瞬間（A點處） 的速度為v.,,由角動量守恒得,由機械能守恒得,,,,,設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所 受阻力），,,,得到,,例4（飛船著陸問題） 一質(zhì)量為m=12103kg的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運動 ，其高度h=100km.
6、 為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動機在圖中P點作一短時間發(fā)動. 從噴 口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面的落體加 速度g=1.7m/s2. 飛船可用兩種不同方式到達月球（如圖所示）：,（1）向前噴射氣流，使飛船到達月球背面的A點 （與P點相對），并相切. （2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心 的動量，飛船軌道與月球表面B點相切. 試計算上述兩種情況下所需要的燃料量.,解,設(shè)飛船噴氣前的速度v0，月球質(zhì)量為M，,月球表面的重力加速度為,代入上式，便得,,,,,,,,,則有,（1）,聯(lián)立此兩式消去vA解得,對噴氣前后的短暫過程， 由動量
7、守恒有,解得,（2）,從而飛船的速度變?yōu)?,,,,,則由角動量守恒和能量守恒得,設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為m1,,聯(lián)立此兩式消去vB解得,對噴氣前后的短暫過程， 在沿原半徑方向上由動量守恒有,解得,,,,,,設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為m2,,例5 質(zhì)量為M的宇航站和已對接上的質(zhì)量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運動著，其 軌道半徑是地球半徑的n=1.25倍. 某瞬間，飛船從宇航站沿運動方向射出后沿橢圓軌道 運動，其最遠點到地心的距離為8nR. 問飛船與宇航站的質(zhì)量比m/M為何值時，飛船繞地 球運行一周后正好與宇航站相遇.,解,發(fā)射前后飛船、宇航站的運動情況如圖.,,,,記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.,由,得
8、,記分離后的瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.,由動量守恒有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,研究分離后的飛船：,由開普勒第二定律 及能量守恒定律有,研究分離后的宇航站：,由開普勒 第二定律及能量守恒定律有,,,,,,,設(shè)遠地心點的速度為v，,設(shè)近地心點的速度為V ，距地心r.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,設(shè)飛船的周期為t，宇航站的周期為T.,由開普勒第三定律有,即,確定t/T：,因飛船運行一周恰好與宇航站相遇，所以,將代入，得,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,即,所以,由上述式求m/M：,得,可見k只
9、能取兩個值：k=10，11.,相應(yīng)有,,,,,例6 一雙星系統(tǒng)，兩顆星的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)Mm），距離為d，在引力作用 下繞不動的質(zhì)心作圓周運動. 設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點. 在超新星爆炸中，質(zhì)量為M的星體 損失質(zhì)量M. 假設(shè)爆炸是瞬時的、球?qū)ΨQ的，并且對殘余體不施加任何作用力（或作用 力抵消），對另一顆星也無直接作用. 試求，在什么條件下，余下的新的雙星系統(tǒng)仍被約 束而不相互遠離.,解,需計算爆炸后的總機械能.,如圖，爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn).,旋轉(zhuǎn)的角速度 滿足,爆炸后的瞬間，因球?qū)ΨQ爆炸所以（M-M）位置、速度均不變.,旋轉(zhuǎn)半徑滿足,,,,,,,新系統(tǒng)的勢能為,新系統(tǒng)在新質(zhì)心參照系中的動能為,
10、由系統(tǒng)動量的質(zhì)心表達可知新系統(tǒng)質(zhì)心速度為,注意到式中的,,,,,所以,進而得到系統(tǒng)在新質(zhì)心系中的動能為,新系統(tǒng)仍被約束的條件是,,,,,,,,另解,用二體問題折合質(zhì)量法,爆炸前：,兩星折合質(zhì)量,兩星折合質(zhì)量,等效的運動如圖（a）.,旋轉(zhuǎn)的速度v 滿足,爆炸后：,等效的運動如圖（b）.,新系統(tǒng)的勢能,新系統(tǒng)的動能,代入系統(tǒng)約束的條件,解得,,,,,對m2，由牛頓第二定律有,將（1）代入（2）：,則有,（3）式表明，若取m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立） ，則在此參照系中m2的運動完全相同于質(zhì)量為 的質(zhì)點在中心力 的作用下按牛頓第二 定律所形成的運動，而無須考慮慣性力的作用.,取二者的質(zhì)心C為參照系（慣性系）. 設(shè)C到m1的矢徑為 .,有,,,,,,,,,,,,,
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