8 第8講 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布

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1、第8講離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 理教材▼ 教材回顧?基礎自測. .知枳硫理上 1．離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 ??? x. i ??? x n P p1 p2 ??? pi ??? p n (1)均值 稱E(X=工￡++工畀2^x/.Hxnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.它反映了離 散型隨機變量取值的平均水平. (2)方差 n 稱D(X)=(X二EXW?為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的 平均偏離程度，并稱其算術平方根叮D(X)為隨機變

2、量X的標準差. 2. 均值與方差的性質 (1) E(aX+b)=aE(X)+b. (2) D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù)) 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1) 若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2) 若X?B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(l-p). 4．正態(tài)曲線的特點 (1) 曲線位于x軸上方，與x軸不相交. (2) 曲線是單峰的，它關于直線x=“對稱. (3) 曲線在x=〃處達到峰值一—. 列2n (4) 曲線與x軸之間的面積為1. (5) 當o一定時，曲線隨著“的變化而沿x軸平移. (6)

3、 當“一定時，曲線的形狀由o確定.o越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；o越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越一分散. 嘉肪導師提醒 牢記均值與方差的七個常用性質 若Y=aX+b，其中a,b是常數(shù)，X是隨機變量，則 (1) E(k)二k,D(k)=0，其中k為常數(shù). (2) E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a^D(X). (3) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). (4) D(X)二E(X2)-(E(X))2. ⑸若X1,X2相互獨立，則E(X(X2)=E(X)E(X2). ⑹若X服從兩點分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-p).

4、 (7)若X服從二項分布，即X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). ＜診斷自測 o判斷正誤(正確的打“廠，錯誤的打“X”) (1) 隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定．() (2) 隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準 差越小，則偏離變量的平均程度越小．() (3) 正態(tài)分布中的參數(shù)“和o完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)“是正態(tài)分布的均值，。是正 態(tài)分布的標準差．() (4) 一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它 就服從或近似服從正態(tài)分布．() (5) 均值是算術平

5、均數(shù)概念的推廣，與概率無關．() 答案：(1”(2)V(3)V(4)V(5)X ?已知X的分布列為 X -1 0 1 1 1 1 P P 2 3 6 設Y=2X+3,則E(Y)的值為() 7 A.3B.4 C．－1D．1 解析：選A.E(X)=-2+6=-3， 27 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-3+3=3- ?已知d?b(4,3),并且n=2{+3,則方差D(n)=() A. 32 9 C. 43 9 D. 59 9 解析：選A.由題意知，D?=4x3x 1-| 832因為n=2^+

6、3，所以D(n=4?d(^)=4x9^9. 0已知隨機變量E服從正態(tài)分布N(2,°2)，且p(d<4)=0.8,則P(0<^<4)=() A．0.6B．0.4 C．0.3D．0.2 解析：選A.由P(d<4)=0.8，得P(&4)=0.2. 又正態(tài)曲線關于x=2對稱，則P(dW0)=P({24)=0.2，所以P(0 <^<4)=1-P@W0)-P(d±4)=0.6. ?一個正四面體ABCD的四個頂點上分別標上1分，2分，3分和4分，往地面拋擲一 次，記不在地面上的頂點的分數(shù)為X,則X的均值為. 解析：X的分布列為 X 1 2 3 4 1 1 1 1 p

7、 JL 4 4 4 4 所以E(X)=1X1+2X1+3X1+4x4=|. 答案：2 ?一個人將編號為1，2，3，4的四個小球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子， 每個盒子放一個小球，球的編號與盒子的編號相同時就放對了，否則就放錯了．設放對個數(shù) 記為<5則E的期望為. 解析：將四個不同小球放入四個不同盒子，每個盒子放一個小球，共有A4種不同放法， 93 放對的個數(shù)<可取的值有0,1,2,4,其中P(<=0)=A4=8 QX21C2111311 p(<=1)=^A^=3，p(<=2)=a4=4，p(<=4)=a4=24,e(<)=0X8+1X

8、3+2X4+ 4X24=1. 答案：1 離散型隨機變量的均值與方差(多維探究) 口角度一離散型隨機變量的均值與方差的計算 例1某小組共10人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會． (1) 設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2) 設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望與方差． C1C1+C21 【解】(1)由已知，有戶(4)=七23=亍. 所以事件A發(fā)生的概率為3. (2)隨機變量X的所有可能取值為0,

9、1,2. 4 15 P(X=1)= P(X=2) P(X=0)= 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P ￡ _7_ _4 15 15 15 474 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=0X15+1X15+2X15=1. 方差D(X)=詈(0_1)2+*(1_1)2+令(2_1)2=令. 口角度二二項分布的均值與方差的計算 働2(2019.成都第一次診斷性檢測)某部門為了解一企業(yè)在生 產(chǎn)過程中的用水量情況，對其每天的用水量做了記錄，得到了大量該[''?oQo35o7o9 企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取12天的數(shù)95789

10、 據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：噸).若用水量不低于95噸，則稱這一天的用水量超標． (1) 從這12天的數(shù)據(jù)中隨機抽取3個，求至多有1天的用水量超標的概率； (2) 以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標的頻率作為概率，估計該企業(yè)未來3天中用水量超標的天數(shù)，記隨機變量X為未來這3天中用水量超標的天數(shù)，求X的分布列、數(shù)學期望和方差． 解】(1)記“從這12天的數(shù)據(jù)中隨機抽取3個，至多有1天的用水量超標”為事件 A， 則p(竺+里二168申 則P(A)c；2C3222055. (2) 以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標的頻率作為概率，易知用水量超標的概率為1 X的所有可能取值為

11、0，1，2，3， 易知X~B(3,￡,p(X=k)=C3(j^3'\k=0,1,2,3, 8421 則p(x=0)=27，p(x=i)=9，p(x=2)=9，p(x=3)=27- 所以隨機變量x的分布列為 X 0 1 2 3 P _8_ 4 2 丄 27 9 9 27 數(shù)學期望E(X)=3x|=1 D(X)=3xjx 1-| 2 3. 規(guī)律方法 (1) 求離散型隨機變量d的均值與方差的步驟 ① 理解d的意義，寫出d可能的全部取值； ② 求d取每個值的概率； ③ 寫出d的分布列； ④ 由均值的定義求E(d)； ⑤ 由方差的定義求

12、D(d). (2) 二項分布的期望與方差 如果d~B(n,p)，則用公式E(d)=np；D(d)=np(1-p)求解，可大大減少計算量. ［提醒］均值E(X)由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不 變的，它描述X取值的平均水平. 變式訓練; 1.(2019.洛陽市第一次統(tǒng)一考試)霧霾天氣對人體健康有傷害，應對霧霾污染、改善空 氣質量的首要任務是控制PM2.5，要從壓減燃煤、嚴格控車、調整產(chǎn)業(yè)、強化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點領域，嚴格考核指標．某省環(huán)保部門為加強環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，派遣四個不同的專家組對A、B、C三個城市進行治霾落實情況抽

13、查. (1) 若每個專家組隨機選取一個城市，四個專家組選取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一個城市沒有專家組選取的概率； (2) 每一個城市都要由四個專家組分別對抽查情況進行評價，并對所選取的城市進行評價，每個專家組給檢查到的城市評價為優(yōu)的概率為2若四個專家組均評價為優(yōu)則檢查通過不用復檢，否則需進行復檢.設需進行復檢的城市的個數(shù)為X,求X的分布列和期望. 解：(1)隨機選取，共有34=81種不同方法， 恰有一個城市沒有專家組選取的有C3(C4A2+C4)=42種不同方法， 故恰有一個城市沒有專家組選取的概率為 42 81 14 27' (2)設事件A:“一個城市需復檢”，

14、則P(A)=1- 2j4=H,X的所有可能取值為0,1 2，3， P（x=0）=烏（封=J7）96'P（X=1）=（刖=4^096>P（X=2）=■&= 675 4096 =3375 =4096- 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 1 45 675 3375 4096 4096 4096 4096 1亦，16),財=3煜=器. 2．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對6只小白鼠進行病毒DNA化驗來確定哪一只受到了感染．下面是兩種化驗方案：方案甲：逐個化驗，直到能確定感染病毒的小白鼠為止．方案乙：將6只小白鼠分為兩組

15、，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗物質混合在一起化驗，若化驗結果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當中，然后逐個化驗，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗結果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個進行化驗． (1) 求執(zhí)行方案乙化驗次數(shù)恰好為2次的概率； (2) 若首次化驗的化驗費為10元，第二次化驗的化驗費為8元，第三次及以后每次化驗的化驗費都是6元，求方案甲所需化驗費的分布列和期望． 解：(1)執(zhí)行方案乙化驗次數(shù)恰好為2次的情況分兩種:第一種，先化驗一組，結果顯 示不含病毒DNA，再從另一組中任取一只進行化驗，其恰好含有病毒DNA，此種情況的概 C311

16、 率為C3Xd?=6；第二種，先化驗—組，結果顯示含病毒DNA，再從中逐個化驗，恰好第一63 C211 只含有病毒，此種情況的概率為豈乂吉畔 63 所以執(zhí)行方案乙化驗次數(shù)恰好為2次的概率為6+1=3. (2)設用方案甲化驗需要的化驗費為"(單位：元)，則"的可能取值為10,18,24,30,36. P("=10)=6， 511 p(n=18)=6X5=6， 5411 P(n=24)=6X5X4=6， 54311 P(n=3°)=6X5X4X3=6， 54321 P(n=36)=6X5X4X3=3， 則化驗費n的分布列為 n 10 18 24 30 36

17、 1 1 1 1 1 P P 6 6 6 6 3 1111177所以E(n)=10X6+18X6+24X6+30X6+36X3=5(兀). 均值與方差的實際應用(師生共研) 例3(2018.高考全國卷I)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0Vp<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立. (1) 記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率

18、為f(p)，求f(p)的最大值點p0. (2) 現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用． (1) 若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X求EX； (ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 【解】(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C20p2(1-pZ因此f(p)=C20[2p(1-p)】8-18p2(l-p)i7]=2C|0p(1-p)%l-10p).令f(p

19、)=0,得p=0.1.當pW(0,0.1)時，f(p)>0；當pW(0.1,1)時，fe)v0.所以fp)的最大值點為p0=0.1. (2) 由(1)知,p=0.1. (i) 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y~B(180,0.1), X=20X2+25Y，即X=40+25Y. 所以EX=E(40＋25Y)=40＋25EY=490. (ii) 如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元. 由于EX>400,故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗. 規(guī)律方法 均值與方差的實際應用 (1) D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平

20、均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用\；D(X)來描述X的分散程度. (2) 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定. 變式訓練; 1.(2019.廣東省七校聯(lián)考)某工廠的檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上生產(chǎn)零件的情況，現(xiàn)從產(chǎn) 品中隨機抽取了80個零件進行測量，根據(jù)測量的數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖． 注：尺寸數(shù)據(jù)在［63.0，64.5)內的零件為合格品，頻率作為概

21、率． (1) 從產(chǎn)品中隨機抽取4個，記合格品的個數(shù)為乙求d的分布列與期望. (2) 從產(chǎn)品中隨機抽取n個，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值. (3) 為了提高產(chǎn)品合格率，現(xiàn)提出A,B兩種不同的改進方案進行試驗.若按A方案進行試驗后，隨機抽取15個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)X的期望是2；若按B方案進行試驗后，隨機抽取25個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)Y的期望是4?你會選擇哪種改進方案？ 解：(1)由頻率分布直方圖可知，抽取的產(chǎn)品為合格品的頻率為(0.75+0.65+0.2)X0.5 4 =0.8，即抽取1個產(chǎn)品為合格品的概率為5,從產(chǎn)品中隨機抽取4個，合格品的個數(shù)d的所有可能取值為0，1，2

22、，3，4，則 P(d=0)=(|)"=625， p(d=1)=C.x5x(g3=拱’ p(d=2)=C2xg)2xg)2=625, P(d=3)=c3xg)3xi=62|, P(d=4)=3=6S 所以d的分布列為 0 1 2 3 4 P 1 16 96 256 256 625 625 625 625 625 416 g的數(shù)學期望E(d)=4X4=1：z-. (2)從產(chǎn)品中隨機抽取n個產(chǎn)品，全是合格品的概率為③"，依題意得③"三0.3，故n的 最大值為5. (3) 設按A方案進行試驗后，隨機抽取1個產(chǎn)品是不合格品的概率是a，則隨機抽取1

23、5 個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)X~B(15,a)；設按B方案進行試驗后，隨機抽取1個產(chǎn)品是不合格 品的概率是b，則隨機抽取25個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)Y~B(25,b). 24依題意得E(X)=15a=2,E(Y)=25b=4，所以a=15,b二云. 24 因為，所以應選擇方案a. 2.(2019?遼寧五校聯(lián)合體模擬)某商場決定從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出 3種商品進行促銷活動． (1) 試求選出的3種商品中至少有一種是家電的概率； (2) 該商場對選出的某商品采用抽獎方式進行促銷，即在該商品現(xiàn)價的基礎上將價格提高60元，規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎機會，若中獎一次，則獲

24、得數(shù)額為n元的獎金;若中獎兩次，則獲得數(shù)額為3n元的獎金；若中獎三次，則獲得數(shù)額為6n元的獎金.假設顧客每次抽獎中獎的概率都是4請問：該商場將獎金數(shù)額n最高定為多少元，才能使促銷方案對該商場有利？ 解：(1)設選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A, 從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品，共有騎種不同的選法，選出的3種商品中，沒有家電的選法有C6種， 6 所以選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為 P(A)二1 C6=1-2t=2?. 0 (2)設顧客三次抽獎所獲得的資金總額(單位：元)為隨機變量E, 則其所有可能的取值為0，n，3n，6n.

25、 當汴0時，表示顧客在三次抽獎中都沒有中獎. P(d=n)=C 所以P(^=0)=C 2 3_27 =64 _27 =64 P(g=3n)=C 1 2 64， P憶=6n)=C 丄 64. 所以顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是 27279115n e(滬0^64+必64+3必64+6必64二肓， 由幫W6°，解得nW64, 所以該商場將獎金數(shù)額n最高定為64元，才能使促銷方案對該商場有利. 正態(tài)分布(師生共研) (1)(2019?惠州市第二次調研)設隨機變量E服從正態(tài)分布N(4,3),若P@a+1)

26、，則實數(shù)a等于() A．7 B．6 C．5D．4 (2)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,O勺，若P(X>2)=0.15,則P(0WXW1)=() A．0.85B．0.70 C．0.35 D．0.15 【解析】(1)由隨機變量d服從正態(tài)分布N(4，3)可得正態(tài)分布密度曲線的對稱軸為直 線x=4，又P(da+1)，所以x=a-5與x=a+1關于直線x=4對稱，所以(a -5)+(a+1)=8,即a=6.選B. (2)P(0WXW1)=P(1WXW2)=0.5-P(X>2)=0.35. 【答案】(1)B(2)C 規(guī)律方法 正態(tài)分布下的概率

27、計算常見的兩類問題 (1) 利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x二〃對稱，及曲線與x軸之間的面積為1. (2) 利用3。原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的口，。進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(p-O,P+O),(P-2。，#+2。)，3-3。，p+3o)中的哪一個. 變式訓練; 1.(2019?太原模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(X24)=0.1587,則 P(2

28、)，且P(x24)=0.1587,所以P(XW2)二0.1587，所以P(20,試卷滿分150分)，統(tǒng)計結果顯示數(shù)學考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總 3 人數(shù)的3,則此次月考中數(shù)學考試成績不低于110分的學生約有人. 解析：因為成績服從正態(tài)分布X~N(90,a2), 所以其正態(tài)分布曲線關于直線x=90對稱， 3 又因為成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總人數(shù)的專, 所以此次數(shù)學考試成 由對稱性知成績在1

29、10分以上的人數(shù)約為總人數(shù)的jx(1-|)=|績不低于110分的學生約有5x900=180(人). 答案：180 素養(yǎng)提升?助學培優(yōu). 利用期望與方差進行決策 某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件 不足再購買.則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并 整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率， 記X表示2臺機器三年

30、內共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù). (1) 求X的分布列： (2) 若要求P(XWn)三0.5，確定n的最小值; (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一.選用哪個？ 【解】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件 數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2. 可知X的所有可能取值為16,17,18,19,20,21,22, P(X=16)=0.2X0.2=0.04; P(X=17)=2X0.2X0.4=0.16； P(X=18)=2X0.2X0.2＋0.4

31、X0.4=0.24； P(X=19)=2X0.2X0.2＋2X0.4X0.2=0.24； P(X=20)=2X0.2X0.4＋0.2X0.2=0.2； P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08； P(X=22)=0.2X0.2=0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2) 由⑴知P(XW18)=0.44,P(XW19)=0.68，故n的最小值為19. (3) 記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元). 當n=19時，

32、 E(Y)=19X200X0.68＋(19X200＋500)X0.2＋(19X200＋2X500)X0.08＋(19X200 3X500)X0.04=4040. 當n=20時， E(Y)=20X200X0.88＋(20X200＋500)X0.08＋(20X200＋2X500)X0.04=4080. 可知當n=19時所需費用的期望值小于n=20時所需費用的期望值，故應選n=19. 利用期望與方差進行決策的方法 (1)若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量￡的期望，當E(G=E(?) 時，不應誤認為它們一樣好，需要用D(￡),D(?)來比較這兩個隨機變量的偏離程度

33、，偏離 程度小的更好． (2) 若我們希望比較穩(wěn)定時，應先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近． (3) 若對平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時，一般先計算期望，若相等，則由方差來確定哪一個更好?若E(￡)與E(?)比較接近，且期望較大者的方差較小，顯然該變量更好；若E(￡)與E(?)比較接近且方差相差不大時，應根據(jù)不同選擇給出不同的結論，即是選擇較 理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定． (2019?洛陽第一次統(tǒng)考)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每

34、單抽成7元．假設同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 15 10 10 5 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 5 10 10 20 5 (1) 現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率． (2) 若將頻率視為概率，回答下列兩個問題： ① 記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布

35、列和數(shù)學期望E(X)； ② 小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為小王作出選擇，并說明理由． 解：(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M, 則p(m)=C|5=i236. (2)①設乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a, 當a=38時，X=38X6=228, 當a=39時，X=39X6=234, C．2D.8 當a=40時，X=40X6=240, 當a=41時，X=40X6+1X7=247, 當a=42時，X=40X6＋2X7=254. 所以X的所有可能取值為228,234,240,247,254. 故X的分布列

36、為 X 228 234 240 247 254 P 丄 1 1 2 丄 10 1 1 1 10 所以E(X)=228X:^+234x|+240x|+247x|+254Xi10=241.8. ②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為38X0.2+39X0.3+40X0.2+41X0.2+ 42X0.1=39.7， 所以甲公司送餐員的日平均工資為80+4X39.7=238.8元. 由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元. 因為238.8<241.8，所以推薦小王去乙公司應聘． ［基礎題組練］ C．2D.| 1?設隨機變量

37、X服從正態(tài)分布N(0,1),若P(X>1)=p,則P(-10)=P(X<0)=2,P(X>1)=P(X<-1)=p，所以P(-1

38、以取出的球的最大編號X的可能取值為2,3,所以P(X=2)=^2=|,P(X=3) ~2 晉二彳，所以E(X)=2x|+3x|=|. 3.(2018?安徽合肥一模)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質量X(單位：克)服從正態(tài)分布 N(100,4),現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取10000件產(chǎn)品，其中質量在［98,104］內的產(chǎn)品估計有() (附：若X服從N@,°2)，貝yP3—o

39、4］ 內的產(chǎn)品的概率為P(^-2a

40、8-E(X)=8-10X0.6=2, D(n)=(-1)2D(X)=10x0.6x0.4=2.4. 5?某籃球隊對隊員進行考核，規(guī)則是①每人進行3個輪次的投籃；②每個輪次每人投 2籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊員甲投籃1次投中的概率為彳 如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個輪次通過的次數(shù)X的期望是() A.3B.8 81 解析：選B.在一輪投籃中，甲通過的概率為P=8，未通過的概率為9?由題意可知，甲3 個輪次通過的次數(shù)X的可能取值為0,1,2,3, 則p(x=o)=M\1 729 p(x=i)7x(8)x(9)=72-

41、 p(X=2)=C2X(8)2xg)= 192 729 P(X=3)=⑨ _512=729. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 1 24 192 512 729 729 729 729 數(shù)學期望E(X)=0X7|9+1x7|9+2X12|+3x729=8. 6.(2019?遼寧五校聯(lián)合體模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(72,4),則P(X<70或X>76)等于. (附：(P?—o

42、。=2，所以P(7076)=0.02275，所以P(X<70或X>76)=0.15865+0.02275=0.1814. 答案：0.1814 7.若隨機變量E的分布列如下表所示，E(勺=1.6,則a—b=. § 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 解析：易知a,be[0,1]，由0.1+a+b+0.1=1，得a+b=0.8，又由E(￡=0X0.1+1Xa ＋2xb＋3x0.1=1.6，得a＋2b=1.3，解得a=0.3，b=0.5，則a－b=－0.2.

43、答案：—0.2 8．某學校為了給運動會選拔志愿者,組委會舉辦了一個趣味答題活動．參選的志愿者 回答三個問題，其中兩個是判斷題，另一個是有三個選項的單項選擇題，設§為回答正確的題數(shù)，則隨機變量§的數(shù)學期望E(勺=. 解析：由已知得疋的可能取值為0,1,2,3. P(^=0)=2x|xj= 2 12 p(^=i)=1x2x2 112111 +2x2x3+2x2x3二 5 12 P(^=2)=|x2x| 111111 +lxlx5+lxlx5= 4 12 1 12. 25414 所以e(^)=0^12+1^12+2^12+3^12=3. 答案：3

44、 9.（2019?西安模擬）一個盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為［5，15］，（15，25］，（25，35］，（35，45］，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）. （1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值； （2）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在［5,15］內的小球個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.（以直方圖中的頻率作為概率）. 解：(1)由題意，得(0.02+0.032+a+0.018)x10=1, 解得a=0.03.由頻率分布直方圖可估計盒子中小球重量的

45、眾數(shù)為20克， 而50個樣本中小球重量的平均數(shù)為x=0.2x10＋0.32x20＋0.3x30＋0.18x40= 24.6（克）． 故由樣本估計總體,可估計盒子中小球重量的平均數(shù)為24.6克． （2）該盒子中小球重量在［5，15］內的概率為1,則X~B（3,￡,X的可能取值為0,1,2,3. P(X_0) 丄艸4)3__64 5丿乜丿_125 p(x_1)_c3(5)1X (4\2_A8 V5丿_125 P(X_2)_C2(S2X(4)_ 12 125 P(X_3)_C3⑨③七 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 64 48 12 1

46、 125 125 125 125 6448121 所以E(X)_0X^+1X^+2X^+3X^_ 13 (或者E(X)_3X5_5?) 10.(2019?長沙模擬)某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，下雨會影響藥材品質，基地收益如下表所示： 周一 無雨 無雨 有雨 有雨 周二 無雨 有雨 無雨 有雨 收益/萬元 20 15 10 7.5 若基地額外聘請工人，可在下周一當天完成全部采摘任務．無雨時收益為20萬元；有雨時，收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元. 已知下周

47、一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36. (1) 若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益； (2) 該基地是否應該額外聘請工人，請說明理由. 解：(1)設下周一無雨的概率為p，由題意得，p2_0.36，解得p_0.6, 基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，則P(X_20)_0.36,P(X_15)_0.24,P(X _10)_0.24，P(X_7.5)_0.16. 所以基地收益X的分布列為 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 E(X)=20X0.36

48、+15X0.24+10X0.24+7.5X0.16=14.4(萬元), 所以基地的預期收益為14.4萬元． (2)設基地額外聘請工人時的收益為Y萬元， 則其預期收益E(Y)=20X0.6+10X0.4-a=16-a(萬元),E(Y)-E(X)=1.6-a(萬元). 綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不額外聘請工人；成本低于1.6萬元時，額外聘請工人；成本恰為1.6萬元時，額外聘請或不聘請工人均可以． ［綜合題組練］ 1．某鮮奶店每天以每瓶3元的價格從牧場購進若干瓶鮮牛奶，然后以每瓶7元的價格 出售．如果當天賣不完，剩下的鮮牛奶作垃圾處理． (1) 若鮮奶店一天購進30

49、瓶鮮牛奶，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位： 瓶，n^N)的函數(shù)解析式； (2) 鮮奶店記錄了100天鮮牛奶的日需求量(單位：瓶)，繪制出如下的柱形圖(例如：日 需求量為25瓶時，頻數(shù)為5)： 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． ① 若該鮮奶店一天購進30瓶鮮奶，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學期望； ② 若該鮮奶店計劃一天購進29瓶或30瓶鮮牛奶,你認為應購進29瓶還是30瓶？請說明理由． 解：(1)當n±30時，y=30X(7-3)=120; 7n-90,0WnW29 當nW29時,y=(7-3)n-3(30-n)=

50、7n-90.故y=［,neN. 、120,n±30 (2)①X的可能取值為85,92,99,106,113,120, P(X=85)=0.05， P(X=92)=0.1, P(X=99)=0.1, P(X=106)=0.05, P(X=113)=0.1, P(X=120)=0.6. X的分布列為 X 85 92 99 106 113 120 P 0.05 0.1 0.1 0.05 0.1 0.6 E(X)=(85+106)X0.05+(92+99+113)X0.1+120X0.6=111.95. ②購進29瓶時，當天利潤的數(shù)學期望為t=(25X

51、4-4X3)X005+(26X4-3X3)X0.1+(27X4－2X3)X0.1+(28X4－1X3)X0.05+29X4X0.7=110.75， 因為111.95>110.75，所以應購進30瓶. 2.(2019?洛陽尖子生第二次聯(lián)考)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表： 投資股市 投資結果 獲利40% 不賠不賺 虧損20% 概率 1 2 1 8 3 8 購買基金 投資結果 獲利20% 不賠不賺 虧損10% 概率 P 1 3 q (1) 當p=4時，求q的值. (2) 已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”

52、進行投資，如果一年后他 4 們中至少有一人獲利的概率大于5，求p的取值范圍. (3) 丙要將家中閑置的10萬元錢進行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知p=1，q=6,那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學期望較大？請說明理由. 解：(1)因為“購買基金”后，投資結果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種，且三種投資結果相互獨立， 所以p+*+q二1?又p=4，所以q^ii' (2)記事件A為“甲投資股市且獲利”事件B為“乙購買基金且獲利”事件C為“一 年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”， 貝I」C=ABUABUAB，且A,B習蟲立.

53、 由題意可知，P(A)=2,p(B)二p, 所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB) 1111 -P)+2P+2P=2+2P' 1143 因為p(C)=2+2P>5，所以p>5' (32乜，3_ 1_2又p+3+q二1，q$°，所以pW§. 所以P的取值范圍為 (3) 假設丙選擇“投資股市”的方案進行投資，記X為丙投資股市的獲利金額(單位：萬 元)， 所以隨機變量X的分布列為 X 4 0 -2 1 1 3 P 2 8 8 1135 貝I」E(X)=4X2+0X§+(-2)X8=4. 假設丙選擇“購買基金”的方案進行投

54、資，記Y為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元), 所以隨機變量Y的分布列為 所以丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學期望較大． 3. (2019?高考全國卷I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物實驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1

55、分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和〃，一輪試驗中甲藥的得分記為X. (1) 求X的分布列； (2) 若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,#2=0,1,…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，P^ap.^+bp.+cp.+衛(wèi)=1，2,…,7)，其中a=P(X=—1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設a=0.5,0=0.8. (i)證明:譏+1—#.}(.=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列; (ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋

56、這種試驗方案的合理性. 解：(1)X的所有可能取值為-1,0,1. P(X=-1)=(1?, P(X=0)=a^+(1-a)(1-P), P(X=1)=a(1-P). 所以X的分布列為 X-1o1 P(l-a)/3?/?+(!-?)(?-/3)a(l-0) (2)(i)證明：由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此p.=0.4p.-1＋0.5p.＋0.1p.＋1, 故0.1(p.＋1-p.)=0.4(p.-p.-1), 即p.＋1-p.=4(p.-p.-1). 又因為p1-p0=p1*0，所以{pi+1-p.}(i=0,1,2,-,7)為公比為4，首項為p1的等 比數(shù)列. (ii)由(i)可得 p8=p8-p7+p7-p6+-+p1-p0+p0 =(P8-P7)+(P7-P6)+…+(P1-P0) 48－1 二~3~1. 3 由于p=i，故PL—，所以 8148－1 p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(P]-p0) 44-1 二丁1 _1 =257 p4表示最終認為甲藥更有效的概率?由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥 治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4_217=0.0039,此時得出錯誤結論的概率非常 小，說明這種試驗方案合理．