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1、
數(shù)學(xué)高中必修5習(xí)題
第二章 數(shù)列
1．{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差為d＝3的等差數(shù)列，如果an＝2 005，則序號n等于( )．
A．667 B．668 C．669 D．670
2．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前三項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝( )．
A．33 B．72 C．84 D．189
3．如果a1，a2，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，則( )．
A．a(chǎn)1a8＞a4a5 B．a(chǎn)1a8＜a4a5 C．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5 D．a(chǎn)1a8＝a4a
2、5
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則
｜m－n｜等于( )．
A．1 B． C． D．
5．等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項(xiàng)和為( ).
A．81 B．120 C．168 D．192
6．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是( )．
A．4 005 B．4 00
3、6 C．4 007 D．4 008
7．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列, 則a2＝( )．
A．－4 B．－6 C．－8 D． －10
8．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則＝( )．
A．1 B．－1 C．2 D．
9．已知數(shù)列－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，則的值是( )．
A． B．－ C．－或 D．
10．在等差數(shù)列{an}中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，則n＝(
4、 )．
A．38 B．20 C．10 D．9
二、填空題
11．設(shè)f(x)＝，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為 .
12．已知等比數(shù)列{an}中，
(1)若a3·a4·a5＝8，則a2·a3·a4·a5·a6＝ ．
(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，則a5＋a6＝ ．
(3)若S4＝2，S8＝6，則a17＋a18＋a19＋a20＝
5、.
13．在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為 ．
14．在等差數(shù)列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則此數(shù)列前13項(xiàng)之和為 .
15．在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10＝ .
16．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝ ；當(dāng)n＞4時(shí)，f(n)＝ ．
三、解答題
17．(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n，求證數(shù)
6、列{an}成等差數(shù)列.
(2)已知，，成等差數(shù)列，求證，，也成等差數(shù)列.
18．設(shè){an}是公比為 q 的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列．
(1)求q的值；
(2)設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說明理由．
19．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3…)．
求證：數(shù)列{}是等比數(shù)列．
20．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a且公比不等于1的等比數(shù)列，Sn
7、為其前n項(xiàng)和，a1，2a7，3a4成等差數(shù)列，求證：12S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列.
第二章 數(shù)列
參考答案
一、選擇題
1．C
解析：由題設(shè)，代入通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．
2．C
解析：本題考查等比數(shù)列的相關(guān)概念，及其有關(guān)計(jì)算能力．
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由題意得a1＋a2＋a3＝21，
即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．
解得q＝2或q＝－3(不合題意，舍去)，
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．
3．B．
解
8、析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．
又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，
∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．
4．C
解析：
解法1：設(shè)a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中兩根之和為2，x2－2x＋n＝0中兩根之和也為2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，
∴d＝，a1＝，a4＝是一個(gè)方程的兩個(gè)根，a1＝，a3＝是另一個(gè)方程的兩個(gè)根．
∴，分別為m或n，
∴｜m－n｜＝，故選C．
解法2：設(shè)方程的四個(gè)根為x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2
9、，x1·x2＝m，x3·x4＝n．
由等差數(shù)列的性質(zhì)：若g＋s＝p＋q，則ag＋as＝ap＋aq，若設(shè)x1為第一項(xiàng)，x2必為第四項(xiàng)，則x2＝，于是可得等差數(shù)列為，，，，
∴m＝，n＝，
∴｜m－n｜＝．
5．B
解析：∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27，
∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，
∴S4＝＝＝120．
6．B
解析：
解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又a1＞0，則公差為負(fù)數(shù)，否則各項(xiàng)總為正數(shù)，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2
10、 004＜0.
∴S4 006＝＝＞0，
∴S4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，
故4 006為Sn＞0的最大自然數(shù). 選B．
(第6題)
解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，
∴S2 003為Sn中的最大值．
∵Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，如草圖所示，
∴2 003到對稱軸的距離比2 004到對稱軸的距離小，
∴在對稱軸的右側(cè)．
根據(jù)已知條件及圖象的對稱性可得4 006在圖象中右側(cè)零點(diǎn)B的左側(cè)，4 007，4 008都在其右側(cè)，Sn＞0的最大自然數(shù)是4
11、 006．
7．B
解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，
又由a1，a3，a4成等比數(shù)列，
∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，
∴a2＝－8＋2＝－6．
8．A
解析：∵＝＝＝·＝1，∴選A．
9．A
解析：設(shè)d和q分別為公差和公比，則－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，
∴d＝－1，q2＝2，
∴＝＝．
10．C
解析：∵{an}為等差數(shù)列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，
又an≠0，∴an＝2，{an}為常數(shù)數(shù)列，
而an＝，即2n－1＝＝19，
∴n＝10．
二、填空題
11．．
解析：∵f(x)
12、＝，
∴f(1－x)＝＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．
設(shè)S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，
則S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6，
∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3．
12．（1）32；（2）4；（3）32．
解析：（1）由a3·a5＝，得a4＝2，
∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32．
（2），
∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．
（3），
∴a17＋
13、a18＋a19＋a20＝S4q16＝32．
13．216．
解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及計(jì)算，由插入三個(gè)數(shù)后成等比數(shù)列，因而中間數(shù)必與，同號，由等比中項(xiàng)的中間數(shù)為＝6，插入的三個(gè)數(shù)之積為××6＝216．
14．26．
解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，
∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，
∴S13＝＝＝＝26．
15．－49．
解析：∵d＝a6－a5＝－5，
∴a4＋a5＋…＋a10
＝
＝
＝7(a5＋2d)
＝－49．
16．5，(n＋1)(n－2)．
解析：同一平面內(nèi)兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的
14、每條直線都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．
由f(3)＝2，
f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，
……
f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，
相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
三、解答題
17．分析：判定給定數(shù)列是否為等差數(shù)列關(guān)鍵看是否滿足從第2項(xiàng)開始每項(xiàng)與其前一項(xiàng)差為常數(shù)．
證明：（1）n＝1時(shí)，a1＝S1＝3－2＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
n＝1時(shí)，亦滿足，∴an＝6n－5(n∈N*)．
首項(xiàng)a1＝1，a
15、n－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常數(shù))(n∈N*)，
∴數(shù)列{an}成等差數(shù)列且a1＝1，公差為6．
（2）∵，，成等差數(shù)列，
∴＝＋化簡得2ac＝b(a＋c)．
＋＝＝＝＝＝2·，
∴，，也成等差數(shù)列．
18．解：（1）由題設(shè)2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，
∴q＝1或－．
（2）若q＝1，則Sn＝2n＋＝．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn．
若q＝－，則Sn＝2n＋ (－)＝．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－bn＝Sn－1＝，
故對于n∈N+，當(dāng)2≤n≤9時(shí)，Sn＞bn；當(dāng)n＝10
16、時(shí)，Sn＝bn；當(dāng)n≥11時(shí)，Sn＜bn．
19．證明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1) Sn，
所以＝．
故{}是以2為公比的等比數(shù)列．
20．證明：由a1，2a7，3a4成等差數(shù)列，得4a7＝a1＋3a4，即4 a1q6＝a1＋3a1q3，
變形得(4q3＋1)(q3－1)＝0，
∴q3＝－或q3＝1(舍)．
由＝＝＝；
＝－1＝－1＝1＋q6－1＝；
得＝．
∴12S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列．
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