靜態(tài)場中的邊值問題.ppt

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1、4.1 問題的分類 4.2 惟一性定理 4.3 直角坐標(biāo)中的分離變量法 4.5 鏡像法,第4章 靜態(tài)場中的邊值問題,解邊界值問題的方法： 1、理論計(jì)算方法 解析法 近似計(jì)算法 數(shù)值計(jì)算法 圖解法 2、場的實(shí)驗(yàn)研究方法： 直接測量法 電模擬法,4.1 問題的分類,一、分布型問題 (1) 已知場源分布，求解電場或磁場。 (2) 已知電場（或電位）、磁場分布，反推場源。 二、邊值型問題 邊值型問題究竟是什么？ 邊值型問題都有哪些類型？ 怎樣保證邊值型問題有且僅有惟一解？ （惟一性定理 ）,靜態(tài)場邊值型問題：已知場量（或其位函數(shù)）在場域邊界上的值（含法向?qū)?shù)），求解場域內(nèi)部任

2、一點(diǎn)的場量。 定解條件=泛定方程+邊界條件+初始條件。 銜接條件：在場域內(nèi)，媒質(zhì)參數(shù)必須是已知的，但允許它們突變（即存在不同媒質(zhì)的分界面）或漸變（是空間坐標(biāo)的函數(shù)）。 在不同媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場量（或其位函數(shù)）應(yīng)滿足邊值關(guān)系，在偏微分方程定解問題中常被稱為銜接條件。,靜態(tài)場邊值問題解滿足3個(gè)條件： (1) 對(duì)于場域的內(nèi)點(diǎn)（既非邊界點(diǎn)又不在媒質(zhì)分界面上的點(diǎn)）泛定方程成立； (2) 在不同媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場量（或位函數(shù)）邊值關(guān)系（銜接條件）成立； (3) 對(duì)于場域的邊界點(diǎn)，場量（或其位函數(shù)）符合給定的邊界條件。,邊值型問題的分類方法 （以電位函數(shù)的泊松方程為例） 第一類邊值問題的特征：已知全部邊

3、界上任一點(diǎn)的電位。為狄里赫利問題（Dirichlet）。 第二類邊值問題的特征：已知全部邊界上任一點(diǎn)的電位的法向?qū)?shù)。稱為諾埃曼問題(Neumann)。 第三類邊值問題的特征是：已知部分邊界上任一點(diǎn)的電位和另一部分邊界上任一點(diǎn)的電位的法向?qū)?shù)。稱為混合邊值問題(Robbin)。,4.2 惟一性定理,惟一性定理：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一 【反證法】 假如存在兩個(gè)滿足相同邊界條件的不同解 和 令 在場域 內(nèi)，U滿足拉普拉斯方程 在邊界上，要么 （第一類邊值問題），要么 （第二類邊值問題）。 令格林第一恒等式（1-157）中的 ，即,,,,,,,,因?yàn)? ，并且U

4、（或U的法向?qū)?shù)）沿 處處等于0，上式簡化為 即U梯度等于0。故在場域內(nèi)，U=常數(shù)。對(duì)于第一類邊值型問題，電位不可躍變，故在場域內(nèi)，U=0，從而 。 故對(duì)于第一類邊值問題，電位的解惟一 對(duì)于第二類邊值型問題，U未必是0，可以是任一常數(shù)，但對(duì)于電場強(qiáng)度和電位移矢量來說，解仍然是惟一的，因?yàn)槌?shù)的梯度恒等于0。,,,,,,說明： 第一、二、三類邊值問題是適定的 因?yàn)樗鼈儗?duì)邊界條件提出的要求既是充分的也是必要的。 求解時(shí)先判斷問題的邊界條件是否足夠，當(dāng)滿足必要條件時(shí)，則可斷定解是唯一的。 用不同方法得到的形式上不同的解是等價(jià)的。 定理說明：只要能夠找一個(gè)滿足邊界條件的位函數(shù)，且這個(gè)位函數(shù)又滿

5、足拉普拉斯方程，則這就是所求的解。,4.3 直角坐標(biāo)中的分離變量法,分離變量法：通過偏微分方程求解邊值問題。 基本思想： 1.要求給定邊界與一個(gè)適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者至少分段地與坐標(biāo)面相合； 2.在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個(gè)函數(shù)的乘積，其中的每個(gè)函數(shù)分別僅是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。 3.通過分離變量將偏微分方程化為常微分方程求解。, 二維問題的分離變量過程： 若邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)表示，則在直角坐標(biāo)系中求解，以二維的拉普拉斯方程為例，求解電位函數(shù)，設(shè) ，電位函數(shù)滿足 （4-1） 待求的電位函數(shù)用二個(gè)函數(shù)的乘積表示為

6、 （4-2） 將式（4-2）代入式（4-1），得,,,,,用 除上式，得 （4-3） 上式成立的唯一條件是二項(xiàng)中每項(xiàng)都是常數(shù)，故有 （4-4） （4-5） 為分離常數(shù)，是待定的常數(shù)，須滿足 （4-6 ）,,,,,,,,,1.當(dāng) 時(shí) 方程（4-4）和(4-5)的解為 方程（4-1）的解為 (4-7) 2.當(dāng) , 時(shí), 方程（4-5）和(4-6)的解為 (4-8)

7、 (4-9a） 或,,,,,,,,,,所以 (4-10a) 或 (4-10b) 3.當(dāng) , 時(shí)， 同理可得 （4-11a） （4-11b） 綜上所述： a：當(dāng) 時(shí)，偏微分方程（4-1）的通解 為,,,,,,,,(4-12a） 或 （4-12b） b.當(dāng) 時(shí)，偏微分方程（4-1）的通解為 （4-13a）,,,,,,,,或

8、 （4-13b） 拉普拉斯方程的解： 然后根據(jù)所給定的邊界條件定出滿足所有邊界條件的具體問題的解 （包括待定常數(shù)和分離常數(shù)）。,,,,4.5 鏡像法, 鏡像法的基本思想： 1.電場區(qū)域外某個(gè)位置上，有一假想鏡像電荷。 2.電荷的引入不改變所求電場區(qū)域的場方程，鏡像電荷產(chǎn)生的電場與導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)產(chǎn)生的電場等效。 3.鏡像電荷代替導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)后： 首先所求電場區(qū)域內(nèi)的場方程不變， 其次給定的邊界條件仍滿足，,由靜電場的惟一性定理：用鏡像電荷代替后所解得 的電場必是唯一正確的解。 鏡像法的實(shí)質(zhì)： 將靜電場

9、的邊值問題轉(zhuǎn)化為無界空間中計(jì)算電荷分布的電場問題。 在區(qū)域外的假象電荷（或電流）稱為鏡像電荷（或電流），大多是一些點(diǎn)電荷或線電荷（二維平面場情況）。 鏡像法往往比分離變量法簡單，容易寫出所求問題的解，但它只能用于一些特殊的邊界情況。,應(yīng)用鏡像法求解的關(guān)鍵： 如何確定像電荷 鏡像電荷的確定應(yīng)應(yīng)遵循以下兩條原則： （根據(jù)唯一性定理） (1) 所有的鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中。 (2) 鏡像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小由滿足場域邊界上的邊界條件來確定。,一、 靜電場中的鏡像法 1. 平面邊界的鏡像法 【例4-6】 設(shè)在無限大導(dǎo)體平面( )附近有一點(diǎn)電荷，與平面距離為 ，導(dǎo)體平面是

10、等位面，假設(shè)其電位為零，如圖4-6所示。求上半空間中的電場。 （a） （b） 圖4-6 平面邊界的鏡像法,,,,【解】 1.在 的上半空間內(nèi)，除點(diǎn)電荷外，電位滿足拉普拉斯方程； 2.由于導(dǎo)體接地，所以在 處， 。 3.設(shè)導(dǎo)體平面不存在，在 平面與點(diǎn)電荷對(duì)稱地放置一點(diǎn)電荷(相反電荷)，則平面仍為零電位面。 4.在 的上半空間內(nèi)，圖4-6（a）和圖4-6（b）具有相同的電荷分布。根據(jù)唯一性定理，圖4-6（a）中上半空間的電位分布與圖4-6（b）的上半空間電位分布相同?？捎煤推湎耠姾蓸?gòu)成的系統(tǒng)來代替原來的邊值問題。上半空間內(nèi)任意點(diǎn)的電位為

11、,,,,,,（4-66） 由（4-66）式，可求出平面導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為 （4-67） 導(dǎo)體平面上總的感應(yīng)電荷為 （4-68） 可見：導(dǎo)體平面上總的感應(yīng)電荷恰好等于所設(shè)置的鏡像電荷。,,,,,【例4-7】 如圖4-7所示， 為無限大接地的導(dǎo)電（ 平面（電壁），在 處有一無限長均勻帶電的細(xì)直導(dǎo)線，導(dǎo)線與y軸平行且經(jīng)過直角坐標(biāo)（0，0，h）點(diǎn)，求上半空間（ ）場的電位函數(shù)。 圖4-7 線電荷的平面鏡像,,,,,,【解】 電壁的作用可以等效為：鏡像位置 處的鏡像線電荷（線電荷密度不變，但極性相

12、反）。設(shè)細(xì)直導(dǎo)線的電荷密度為 ，則鏡像線電荷密度為 。這時(shí)，帶電體系在空間的電位為 式中 不能選為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。同樣,,,,,,,式中， 所以,,,,2. 角形區(qū)域的鏡像法 圖4-9所示為相交成直角的兩個(gè)導(dǎo)體平面AOB附近的一個(gè)點(diǎn)電荷的情形，也可以用鏡像法求解。 圖4-9 點(diǎn)電荷對(duì)角形區(qū)域的鏡像,,q在OA面的鏡像為在 點(diǎn)的-q，又q在OB面的鏡像為在 點(diǎn)的-q，這樣并不能使OA和OB平面成為等位面。若在 點(diǎn)處再設(shè)置一個(gè)電荷q，則一個(gè)原點(diǎn)電荷和三個(gè)像電荷共同的作用將OA和OB保持相等電位能滿足原來的邊界條件，故所求區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的電位函數(shù) 不僅相交成直角的兩個(gè)導(dǎo)體平面間的場可

13、用鏡像法求解，所有相互成 的兩塊半無限大接地導(dǎo)體平面間的場都可用鏡像法求解，像電荷個(gè)數(shù)為 。例如，兩塊半無限大接地導(dǎo)體平面角域內(nèi)點(diǎn)電荷的像電荷，如圖4-10所示。,,,,,,,圖4-10 夾角為兩塊半無限大接地導(dǎo)板的鏡象,3. 球面邊界的鏡像法 基本思想： 當(dāng)一個(gè)電荷位于導(dǎo)體球面附近時(shí)，導(dǎo)體球面上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，球外任一點(diǎn)的電位由點(diǎn)電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。 這類問題仍用鏡像電荷來代替分界面的感應(yīng)電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)，出發(fā)點(diǎn)仍是在所求解區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿足方程和邊界條件。,【例4-9】 設(shè)一點(diǎn)電荷與半徑為a的接地導(dǎo)體球心相距，如圖4-11所示。試推導(dǎo)球外的電位函數(shù)。

14、 圖4-11 點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像,,【解】: 接地后，球上只剩下同 異號(hào)的感應(yīng)電荷。球面上感應(yīng)電荷分布在面對(duì) 的一側(cè)密度較大， 設(shè)想在 點(diǎn)有一個(gè)鏡像電荷 ， 點(diǎn)是在OP1線上偏離球心的一點(diǎn)，設(shè)與球心距離為 。 根據(jù)鏡像法，將原導(dǎo)體球移去， 及像電荷 在原球面上任一點(diǎn)處產(chǎn)生的電位應(yīng)為零。即 在球面上取兩特殊點(diǎn)，上式轉(zhuǎn)化為,,,,,,,,,,,由以上兩個(gè)方程解得 球外任意點(diǎn)的電位為 式中，,,,,,這樣可求得電場的分量為 時(shí)，球面上的感應(yīng)電荷密度為,,,,,,球面上總感應(yīng)電量為 導(dǎo)體上總的感應(yīng)電荷量等于像電荷的電荷量。 在上述問題中，若導(dǎo)體球不接地，球面上除了分布有感應(yīng)負(fù)電

15、荷外，還分布有感應(yīng)正電荷，且球面的凈電荷為零，此時(shí)導(dǎo)體球的電位不為零，為保持球面是等位面還需在球上再加上一個(gè)鏡像電荷 ；且此 必須放在球心處，如圖4-12所示。,,,,,圖4-12 點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像 這種情況下球外任意點(diǎn)的電位為 此時(shí)球的電位等于 在球面上產(chǎn)生的電位 它等于球不存在時(shí) 在O點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的電位。,,,,,,4. 柱面邊界的鏡像法 【例4-10】線電荷密度為 的無限長帶電直線與半徑為a的接地?zé)o限長導(dǎo)體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為 ，如圖4-13所示。求圓柱外空間的電位函數(shù)。 圖4-13 線電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像,,,,【解】導(dǎo)體圓柱在線電荷的

16、電場作用下，柱面上會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷。柱外空間任一點(diǎn)的電位等于線電荷和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電位的迭加。顯然，柱面上感應(yīng)電荷在離線電荷近的一側(cè)多，離線電荷遠(yuǎn)的一側(cè)少，且其分布具有對(duì)稱性。假設(shè)在與圓柱軸線的距離為 ，且平行于軸線方向上放置一條鏡像線電荷，密度為 ，可由邊界條件確定之。 圓柱外空間一點(diǎn)電位為 由于圓柱接地，圓柱面上電位為零，設(shè)圖4-13中的 ，則,,,,,,上式對(duì)任意 值均成立，在上式兩端對(duì) 求導(dǎo)可得 比較等式兩端相應(yīng) 項(xiàng)的系數(shù)，可得 聯(lián)解以上兩式可得 后一組解不合理，應(yīng)舍去。,,,,,,,,圓柱外任一點(diǎn)的電位為 由 時(shí)，可求得 圓柱面上的感應(yīng)電荷密度為 圓柱面上單位長度

17、的感應(yīng)面電荷為,,,,,,二、靜磁場中的鏡像法 靜磁場的邊值問題也可用鏡像法求解。 【例4-11】設(shè)分界面為平面的兩個(gè)半無限大空間中，分別充滿磁導(dǎo)率為 和 的兩種均勻介質(zhì)，在介質(zhì)1中存在一平行于分界面的長直線電流I，與分界面的距離為d，試求空間的磁場。 【解】采用直角坐標(biāo)系，取分界面為 平面，電流沿y方向流動(dòng)，如圖4-14(a)所示。 求解上半空間的磁場時(shí)，以分界面為對(duì)稱面，在原電流的對(duì)稱位置上用一鏡像電流代替分界面上的磁化電流。這樣，可以為整個(gè)空間充滿磁導(dǎo)率為 的,,,,,均勻介質(zhì)，如圖4-14(b)所示。因此，區(qū)域1內(nèi)任一點(diǎn)P的矢量磁位為 圖4-14 電流的鏡像,,,求解上半空間的磁場時(shí)，也可用鏡像電流來等效地代替分界面上的磁化電流。根據(jù)鏡像法，鏡像電流只能在區(qū)域1內(nèi)，如圖4-14 (c )所示。區(qū)域2內(nèi)任一點(diǎn)P的矢量磁位為 鏡像電流和可由邊界條件確定，在分界面（ ）上 從而得到,,,,,,聯(lián)立求解可得 由上式可知，鏡像電流 和 的方向由 和 決定，若 ， 與原電流的方向一致，而 則相反；反之也然。則可得,,,,,,,,,,,,,,相應(yīng)的磁場為,,,